درخت حوزه‌های تخصصی

از زمانی که گودل تلاش کرد صورت بندی ای منطقی از برهان وجودی ارائه دهد، بحث های قابل توجهی درباره اعتبار برهان وی صورت گرفته است. برای مثال، سوبل تلاش می کند کاستی های برهان گودل را نشان دهد. پتر هایک، منطق دان و ریاضی دان اهل جمهوری چک، تلاش می کند برهان وجودی گودل را به نحوی بازسازی کند که از انتقادات سوبل در امان باشد. به باور او، اگر برهان در سیستم موجهه S5 با اندکی تفاوت بازسازی شود، می تواند از انتقادات سوبل در امان بماند. در عین حال، هایک معتقد است اثبات اعتبار برهان وجودی ارتباطی به اثبات وجود خداوند ندارد. در این نوشته، ابتدا شرحی از بازسازی هایک از برهان وجودی ارائه و این نکته نشان داده می شود که چگونه این نسخه هایک از برهان مسئله شکست وجهی برهان را که نسخه گودل با آن مواجه است حل می کند. آنگاه تلاش می شود ادعای اخیر هایک درباره بی ارتباطی الهیاتی برهان در قالب دعاوی فیلسوفانی نظیر ویلیام رو و باس ون فراسن فهمیده و ارزیابی شود. در اینجا نشان خواهیم داد که در فرض خاصی می توان نشان داد که چنین برهانی می تواند به اثبات وجود خدا مرتبط باشد.

«منطق به صورت نامحدود ... صوری نیست. اگر چنین بود، بدون محتوا می بود ... هیچ علمی کاملاً صوری نیست» (Frege, 1971:109). در ۱۸۹۹، دیوید هیلبرت نظام اصلِ موضوعیِ منقحی برای هندسة اقلیدسی عرضه کرد و با اثبات مشروط فراقضیه های سازگاری و استقلال برای این نظام، راه حلی برای یکی از مسائل دیرپای ریاضیات (مشهور به مسئلة خطوط موازی) ارائه داد. گوتلوب فرگه، پایه گذار منطق صوری جدید، مخالفت های بنیادینی با رویکرد فرمالیستی هیلبرت و برهان های او برای فراقضیه های سازگاری و استقلال ابراز داشت. بررسی دلایل این مخالفت نشان می دهد که دیدگاه فرگه نسبت به صوری بودن منطق و قضیه های فرانظریه ای به کلی متفاوت از دیدگاه پذیرفته شدة امروزی است. در این مقاله پس از شرح مختصر روش اثبات هیلبرت برای فراقضیه های سازگاری و استقلال و همین طور انتقادهای اصلی فرگه به آن، به روش پیش نهادی خود فرگه برای پرداختن به این مسائل اشاره خواهم کرد و سپس به این بحث خواهم پرداخت که چرا در نهایت ریاضی دانان و منطق دانان، به پیروی از هیلبرت، به نکته سنجی های فرگه وقعی ننهادند و منطق جدید با معرفی نظریة مدل گام در راهی نهاد که از نگاه فرگه به هیچ وجه قابل قبول نبود. در پایان نتیجه ای که از این بررسی می گیرم این است که در واقع، فرگه و هیلبرت، هر یک بر اساس اندیشه ها و علایق خود، برداشت های متفاوتی از مفاهیمی مانند سازگاری و استقلال در دستگاه های اصل موضوعی داشته اند، جایی که فرگه به دنبال «سازگاری اندیشه ای» است هیلبرت صرفاً «سازگاری نحوی» را اثبات می کند. برداشت سخت گیرانة فرگه از مفهوم سازگاری و استقلال دامنة پژوهش های بعدی را به شدت محدود می ساخت، حال آن که برداشت هیلبرتی امکانات وسیع و جذابی برای انجام بحث های فرانظریه ای فراهم می آورد.

گودل امکان فرضیه تعمیم یافته پیوستار را از رهگذر برهان بر عدم امتناعِ آن ثابت می کند؛ این در حالی است که بر پایه سخن ابن سینا در بند ما قبل آخرِ اشارات، عدم برهان بر امتناعِ چیزی برای اثبات امکان آن بسنده است. اکنون شایسته است بپرسیم که آیا کار گودل بیهوده است، یا سخن ابن سینا نادرست؟ پاسخ این جستار گزینه سوم است: هیچ کدام. «امکان» در فلسفه اسلامی دست کم هشت معنا دارد:1 امکان عام؛ 2 امکان خاص؛ 3 امکان اخص؛ 4 امکان استقبالی؛ 5 امکان استعدادی؛ 6 امکان وقوعی؛ 7 امکان فقری؛ 8 احتمال. در سخن ابن سینا امکان به معنای احتمال است که امری ذهنی، انفسی، و سوبژکتیو است، و از این رو به چیزی بیش از عدم برهان بر امتناع نیاز ندارد؛ امّا امکان در کلام گودل امری عینی، آفاقی، و اُبژکتیو است که نیازمند برهان بر عدم امتناع است. بنابراین، نه کار گودل بیهوده است و نه سخن ابن سینا نادرست.

جردن هوارد سوبل در مقالة ۱۹۸۷، و سپس در کتاب ۲۰۰۴ خود، نشان داد که استدلال هستی شناسیک جدیدی که گودل در سال ۱۹۷۰ پیشنهاد کرد با شکست وجهی مواجه است و درواقع صحیح نیست. سی. انتونی اندرسون در سال ۱۹۹۰ اصلاحاتی پیشنهاد کرد و در آن راه را بر اثبات قضایای سوبل بست و نشان داد که می توان روایتی از استدلال گودل داشت که با شکست وجهی مواجه نباشد. اما گراهام آپی با نقیضه ای که در سال ۱۹۹۶، و سپس ۲۰۰۰، مطرح ساخت نشان داد که استدلال هنوز نتایج نامطلوبی دارد و همچنان می توان در صحت آن شک داشت. الکساندر پراس نیز در مقالة ۲۰۰۹ خود از چند استدلال هستی شناسیک گودلی دفاع کرد که در برابر این نقیضه مصون هستند. در این مقاله، پس از اشاره ای کوتاه به استدلال هستی شناسیک گودل (روایت اسکات)، به انتقادات سوبل، اصلاحات اندرسون، نقیضة آپی و درنهایت استدلال هایی که پراس مطرح کرده است خواهم پرداخت.