رهیافت دوزبانی تارسکی (مقاله پژوهشی حوزه)
درجه علمی: علمی-پژوهشی (حوزوی)
آرشیو
چکیده
در مقاله حاضر ابتدا چگونگی پیدایش مسئله صدق در لهستان معاصرِ تارسکی مورد بررسی قرار گرفته است و سپس مراحل ورود تارسکی به عرصه معناشناسی توضیح داده شده است. به‌علاوه ضمن تاکید بر روش خاص تارسکی در معناشناسی و حل مسائل آن، تعریف مسئله صدق تارسکی و پاسخ ویژه او ارائه می‌گردد و در نهایت خاطرنشان می‌شود که رهیافت دوزبانی تارسکی کلید درک پاسخ او به مسئله تعریف صدق است.متن
1. مقدمه
آغازگر بحث صدق در تفکر معاصر لهستان کازیمیرز تواردوسکی است که خود با هوسرل و ماینونگ از شاگردان فرانتس برنتانو فیلسوف برجستة اتریشی معاصر محسوب می‌شود(1) و از نظریة ارسطویی (کلاسیک) صدق که میراث برنتانو بود، دفاع می‌کرد. بحث درباب سرشت صدق به‌تدریج در میان شاگردان توادوسکی درگرفت و بزرگانی چون کوتاربینسکی، لزنیوسکی و لوکاسیه‌ویچ در آن شرکت کردند. کوتاربینسکی صدق را مطابقت و همخوانی با واقعیت دانست و لزنیوسکی احتمالاً برای نخستین‌بار در اروپا مطالعه منظمی درباب معناشناسی آغاز کرد.(2) و درباب پارادوکس راسل درباب مجموعه‌ها و پارادوکس دروغگو وقت فراوانی صرف کرد. لوکاسیه‌ویچ نیز در طرد هرگونه تناقض از مبانی ریاضیات و منطق با دیگر فیلسوفان این حوزه (که به فیلسوفان مکتب لوف - ورشو معروفند) همداستان شد. با این‌همه نباید پیشرفت فکری آنان را مستقل از تاثیرگذاری ریاضی‌دان و معرفت‌شناس برجسته معاصر، دیوید هیلبرت، مورد بررسی قرار داد. دل‌مشغولی و برنامه پژوهشی هیلبرت نیز حل پارادوکس‌ها از طریق اثبات سازگاری دستگاه‌های ریاضیات صوری‌شده بود اما او تعلیم مهمتری می‌داد. او می‌آموخت که مفاهیمی از قبیل سازگاری دستگاه‌های صوری، مفاهیمی هستند که به فراریاضیات تعلق دارند و تحلیل آنها نیز لاجرم در فرازبان ریاضی انجام می‌گیرد. این اندیشه نتیجه می‌دهد که پژوهش درباب ریاضیات مستلزم به‌کارگیری دو زبان است، زبانی برای تحلیل اشیا و مقولات ریاضی (زبان موضوعی) و زبانی برای تحلیل خود ریاضیات (فرازبان). مطلب مهم و قابل تاکید همین است که در گوتینگن و ورشو 1930 تحلیل مفاهیم فراریاضی به کمک رهیافت دوزبانی روش رایجی بود و کسانی چون لوکاسیه‌ویچ و لزینوسکی در این مسیر گام می‌زدند. درواقع در آن دوره اهتمام متفکران لهستانی به کاربرد رهیافت دوزبانی در حل مسائل فراریاضی بدان حد رسیده بود که با عنوان «روش لهستانی» از آن یاد می‌کردند.(3)
2. مراحل ورود تارسکی به معناشناسی
به‌طور کلی می‌توان از منظر ورود به معناشناسی، تفکر تارسکی را به دو مرحلة متفاوت تقسیم کرد: مرحله اول به قبل از 1931 یا 1935 و مرحلة دوم به بعد از آن مربوط می‌شود.
در مرحله اول تارسکی تحت تاثیر پژوهش‌های هیلبرت قرار داشت. همچون او به مفاهیم فراریاضی می‌پرداخت و همچون او در تحلیل مفاهیم مزبور از رهیافت فرازبانی سود می‌جست. اما نکتة مهم این است که تارسکی در آن دوره مفاهیم فراریاضی (و حتی معناشناختی) را به‌عنوان مفاهیمی نحوی(syntactic) تلقی می‌کرد.(4) او به‌محض مواجهه با مفهومی فراریاضی به‌جای آنکه آن را به زبان موضوعی ارجاع دهد به فرازبان می‌برد و مورد بررسی و تحلیل قرار می‌داد. (مثلاً می‌توان به تحلیل او از مفاهیم تمامیت، جزمیت و شاخه‌پذیری فرانکل در این‌خصوص اشاره کرد.)(5)
اما در مرحله دوم، تارسکی از اعتقاد به تحلیل همة ابعاد زبان یا تحلیل همة مفاهیم فرازبانی در نحو منطقی سرباز زد و با انتخاب رویکرد معناشناختی از نحوگرایی افراطی دست کشید. او معناشناسی(semantic) علمی را به‌تدریج بنیان نهاد و آن‌را بررسی روابط اشیای زبان‌شناختی و مدلول‌های آنها لحاظ کرد و از آن‌جا که اینگونه روابط با مفاهیمی نظیر نام، دلالت، صدق‌پذیری، تعریف و ترادف، معنا، اشاره کردن بیان می‌شوند، معناشناسی به دانش تبیین‌کننده مفاهیم مذکور تعریف می‌شود.(6)
به‌عبارت دیگر تارسکی در مرحله دوم تحلیل مفاهیمی همطراز مفاهیم فراریاضی (مفاهیم معناشناسانه) را همچنان در دستور کار داشت و همچنان رهیافت فرازبانی هیلبرتی را در تحلیل آنها بکار می‌برد و آنها را نه در زبان موضوعی بلکه در فرازبان مورد بررسی قرار می‌داد. لکن، مفاهیم مورد نظر را مفاهیمی سمانتیکی و معناشناختی تلقی می‌کرد. یعنی تارسکی رهیافت دوزبانی را از حیطه نحو منطقی به قلمرو معناشناختی بسط داد. و چنانکه خواهیم گفت تعریف «صدق» تنها گام نخستین او در این برنامه پژوهشی بود.(7) او اندکی بعد اهمیت رهیافت دوزبانی را در مشخص ساختن معانی واژه‌های دیگری نظیر شاخه‌پذیری، مقولاتی بودن و نتیجه منطقی نشان داد.
البته در روزگار او تمام تلاش‌ها برای تعریف دقیق مفاهیم معناشناختی با شکست مواجه شده و هرجا و در هر پژوهشی که این مفاهیم ظاهر می‌شدند؛ درعین حال که تحقیق واجد پیش‌فرض‌های کاملاً مجاز و به‌ظاهر بدیهی بود، غالباً تناقض‌ها و تعارض‌هایی رخ می‌نمود (مانند تناقض گرلینگ - نلسون و تناقض ریچارد) و این مساله به‌ظاهر لاینحل می‌نمود که چگونه می‌توان تبیینی از مفاهیم مزبور ارایه داد که منجر به تناقض و تعارض نگردد. این مساله در تعریف صدق با هیبت و عظمت بیش‌تری خودنمایی می‌کرد. قصه آزاردهنده تعریف صدق و جمله صادق آن بود که منطق‌دانان و فیلسوفان هرگاه درصدد تعریف آن برمی‌آمدند و با تکیه بر آموزة ارسطویی «جمله صادق را جمله مطابق با واقع» لحاظ می‌کردند، ناگهان خود را با تناقض دروغگو مواجه می‌دیدند.(8)
3. روش خاص تارسکی در معناشناسی
به‌هرحال تارسکی با تنقیحِ مفهومی و تعریف «جمله صادق» و رفع مشکلات آن درگیر شد اما همواره باید به‌یاد داشت که او در این پژوهش تنها قابلیت «روش خاصی» را مورد آزمون قرار داده بود و بر آن بود تا درصورت موفقیت روش مزبور آن را در تعریف دیگر مفاهیم معناشناسانه به‌کار گیرد.
چنانکه توضیح خواهیم داد ماحصل صدق‌پژوهی تارسکی آن بود که تعریف به‌لحاظ صوری صحیح و به‌لحاظ مادی و محتوایی کافی جمله صادق در زبان موضوعی و محاوره‌ییcolloquial ) language) ناممکن است و نتیجه چنان تعریفی رویاروشدن با تنازع دروغگو است و تنها اگر زبان موضوعی صوری شده‌یی را مورد نظر قرار دهیم در آن صورت می‌توان در فرازبان آن به چنان تعریفی دست یازید.
تفکیک میان زبانی که برای آن یک مفهوم معناشناختی تعریف می‌گردد (زبان موضوعی) از زبانی که در آن مفهوم مزبور تعریف می‌شود (فرازبان)، صوری کردن زبان موضوعی، استفاده از شیوة بازگشتی و ابتنای تعاریف بر مفهوم کلیدی و پایه‌ای صدق‌پذیری و... کمابیش، روش خاص تارسکی را در تعریف مفاهیم معناشناختی آشکار می‌سازند.
در این مختصر نمی‌توان شرح داد که شکل‌گیری دانش معناشناسی و خصوصاً تحلیل معناشناختی مفهوم «صدق» تنها با مبارزه‌یی جدی علیه رهیافت تک‌زبانی راسل و آرای زبان‌شناختی ویتگنشتاین و معتقدات معرفت‌شناختی کسانی چون کوفمان و رایشنباخ و همراه کردن متفکران بزرگی چون کارناپ فراهم آمده است.
4. مسأله تعریف صدق
تارسکی می‌نویسد که مساله اساسی او عبارت است از تعریفی قانع‌کننده از صدق. یعنی تعریفی که از لحاظ صوری صحیح و از لحاظ مادی و محتوایی کافی باشد.(9) البته چنانکه برخی متذکر شده‌اند او در عمل بیش‌تر دستیابی تعریفی از صدق را که به لحاظ مادی کافی باشد مورد نظر داشت. بر این مطلب نیز باید تاکید نمود که تارسکی از جمله صادق خبر می‌گیرد و از صدق امور دیگری نظیر قضاوت باورها و هیجان‌ها و... یا از زیبایی حقیقی و غیره پرسش نمی‌کرد. و تنها به صدق جملات خبری می‌پرداخت.(10) شکی نیست که در این خصوص او تعریف ارسطو از صادق بودن جملات خبری را می‌پذیرفت. حسب رأی ارسطو جمله صادق جمله‌یی است که بگوید: «حالت امور چنین و چنان است و حالت امور چنین و چنان باشد»(11) (نظریه مطابقی صدق) اما تارسکی معتقد بود که محتوای سخن ارسطو بیان دقیقی ندارد و شکل و صورت آن ناکافی است.(12) بنابراین ضروری است تا صورتبندی جدیدی از آن به‌عمل آید و مسئله تارسکی به‌صورت جزئی‌تر عبارت است از همین صورتبندی دقیق نظریه مطابقی و ارسطویی صدق جمله.(13) او خاطرنشان می‌سازد که این هدف را می‌توان و باید در دو سطح تعقیب کرد: در مورد جملة خاصی که صادق است و در مورد همه جملات صادق. دستیابی به هدف نخست چندان مشکل نیست و تنها صورتبندی کلی صدق است که با مشکلات به‌ظاهر لاینحل روبه‌رو است. اما یک جمله خاص مثل «برف سفید است» براساس رای ارسطو، تحت چه شرایطی صادق خواهد بود؟ پاسخ آن است که اگر در عالم خارج واقعاً برف سفید باشد. به‌عبارت دیگر:
«برف سفید است» اگر و فقط اگر برف سفید باشد.
این بیان شرط لازم و کافی صادق بودن جمله مزبور را دارا است و به‌صورت یک هم‌ارزی (دوشرطی) منطقی نمایش داده شده است و می‌توان از آن به‌عنوان هم‌ارزی صدق (یا صورتبندی منطقیT برای جمله خاص) یاد کرد. (مختصراً صورتبندیT یا هم‌ارزی صدق هم خوانده می‌شود).
هم‌ارزی فوق دو طرف راست و چپ دارد. در طرف راست آن عبارت «برف سفید است»، داخل علامت نقل قول قرار داده شده و در سمت چپ هم‌ارزی، همان عبارت بدون علامت نقل قول آمده است. عبارت داخل علامت نقل قول نام جمله است و عبارت بدون علامت نقل قول خود جمله. اما چرا در سمت راست هم‌ارزی به‌جای خود جمله، به نام آن نیاز داریم؟
پاسخ آن است که از دیدگاه دستور زبان، بیانی به شکل «X صادق است»، فقط هنگامی یک جملة معنی‌دار است کهX یک نام باشد. به‌عبارت دیگر موضوع جمله تنها می‌تواند یک اسم یا عبارتی با کارکرد اسمی باشد. ثانیاً بنابر قراردادهای اساسی در مورد استفادة از زبان، در هر بیانی پیرامون یک شیء باید از نام آن شیء بهره گرفت نه خود آن. پس اگر بخواهیم چیزی دربارة جمله‌ای بگوئیم، باید از نام آن جمله استفاده کنیم نه از خود آن.
به‌هرحال می‌توان نتیجه گرفت که براساس نظریة مطابقی صدق، شرط لازم و کافی بودن یک جملة خاص بنامP را باید به‌شکل کلی زیر بیان کرد:
(T) «P» صادق است، اگر و فقط اگرP
اما صورتبندیT تنها بیانگر یک تعریف جزئی از صدق است. یعنی گذشته از آنکه صورتبندی مزبور یک جمله نبوده و تنها طرح و صورت و فرم یک جمله است، هیچ نمونه و مصداقی از آن‌را نیز نمی‌توان بیش از یک «تعریف جزئی از صدق» دانست. این طرح را فقط در پاسخ به این پرسش که فلان «جملة خاص» تحت چه شرایطی صادق است می‌توان مورد استفاده قرار داد. بنابراین جای طرح این پرسش اساسی باقی است که اگر بخواهیم تعریفی مطابقی و ارسطویی از اصطلاح «جملة صادق» ارائه دهیم که عام، کلی و فراگیر بوده و درباب همة جملات صادق یک زبان (و نه فقط یک جملة خاص آن) به‌کار رود، تعریف مزبور چگونه بیان خواهد شد.
تارسکی تاکید می‌کند که مسألة اساسی او در پژوهش‌هایش درباب صدق، همین مسأله است: «صورتبندی دقیق تحلیل ارسطویی صدق درباب هر جملة صادق».
به‌علاوه تارسکی دستیابی به صورتبندی کلی صدق جملات را دستیابی به چنان تعریفی از صدق لحاظ می‌کند که به لحاظ محتوا و مضمون (ماده) کفایت دارد.(14)
5. پاسخ تارسکی به مسئله صدق
تارسکی قبل از بیان پاسخ خود متذکر می‌شود که «جمله‌ها در زبانها قرار دارند» یعنی هرگاه از جمله سخن می‌گوئیم و فی‌المثل می‌پرسیم که معنای یک یا هر جمله صادق چیست؟ لاجرم به جمله یا جملات زبانی خاصی توجه داریم. او می‌نویسد:
«همواره باید مفهوم صدق را، مانند مفهوم جمله، به یک زبان خاص مربوط بدانیم، زیرا واضح است که اگر جمله‌ای در یک زبان صادق باشد، می‌تواند در زبان دیگری دروغ یا بی‌معنا باشد»(15)
و در جای دیگر می‌نویسد:
«مفهوم صدق از لحاظ محتوا و دلالت، اساساً به زبانی که در موردش به‌کار می‌رود، وابسته است. فقط هنگامی می‌توانیم از صدق و کذب یک جمله سخن بگوئیم که آن‌را بخشی از یک زبان خاص درنظر بگیریم.»(16)
با لحاظ آنچه نقل شد قید دیگری به مسألة اساسی تارسکی افزوده می‌شود. گفتیم که او در صدد است تا صورتبندی دقیقی از تحلیل ارسطویی صدق درباب هر جملة صادقی ارائه دهد. اما اینک باید متذکر شد که او می‌خواهد هر جملة صادق «فلان زبان معین» را مورد بررسی قرار دهد و مشمول صورتبندی دقیقی از تفسیر ارسطویی و مطابقی صدق گرداند.
از این‌رو تارسکی با بیان این مطلب که تعریف صدق جمله‌ها همواره معطوف و متکی به زبانی است که جمله‌ها در آن قرار دارند (تعریف نسبی صدق جمله)، لاجرم باید مسألة اساسی خود را در زبان‌های مختلف مطرح کند. یعنی مثلاً بپرسد که آیا در زبان الف می‌توان تعریف ارسطویی و معناشناختی صدق هر جمله را دقیقاً مشخص کرد؟ در زبان ب چطور؟ و همین طور الی آخر. در این‌جا است که خود را با این مسأله مواجه می‌بیند که: اساساً چند نوع زبان داریم؟ و قرار است در چند زبان مسألة تعریف صدق را مورد بررسی قرار دهیم؟ در آثار تارسکی به‌طور کلی دوگونه طبقه‌بندی زبان به‌چشم می‌خورد. در طبقه‌بندی اول تارسکی ابتدا زبان را به محاوره‌یی و صوری تقسیم می‌کند و سپس زبان‌های صوری محدود را از نامحدود تفکیک کرده و در ارزیابی‌های صوری دارای مرتبه محدود نیز سه نوع اول، دوم و سوم را از هم متمایز می‌کند. اما در طبقه‌بندی دوم ابتدا زبان‌های محدود را از نامحدود تفکیک کرده و سپس به بیان انواع زبان‌های نامحدود می‌پردازد.
ما در این مقاله به بیان و شرح طبقه‌بندی اول زبانها خواهیم پرداخت که مفصل‌تر و کامل‌تر از طبقه‌بندی دوم است و در نمودار زیر نشان داده شده است:
نوع اول
محاوره‌یی دارای مرتبه محدود نوع دوم
زبان نوع سوم
صوری شده
دارای مرتبه نامحدود
5 - 1. تعریف زبان محاوره‌یی و زبان صوری‌شده
به‌طور کلی تارسکی دو ویژگی بنیادی زبان محاوره‌یی را در قیاس با زبان صوری ذکر می‌کند و براساس آنها طرح تحقیقی خود را تعقیب می‌کند. او می‌نویسد:
[اولاً]... زبان محاوره‌یی، محدود، بسته یا کران‌دار نیست. معلوم نیست که چه لغاتی ممکن است به این زبان اضافه شود و چه لغاتی به‌طور بالقوه به آن تعلق دارد. نمی‌توانیم از لحاظ ساختاری، آن عبارت‌هایی را که جمله نامیده می‌شوند، مشخص کنیم، چه‌رسد به آن که، جملة صادق را معین سازیم.(17)
به‌عبارت دیگر زبان طبیعی دارای ساختار معین و مشخص نیست: فهرست کامل لغات (علامت‌ها) و جملات آن در دسترس قرار ندارد چراکه قاعده‌یی وجود ندارد که براساس آن معین کنیم دقیقاً چه شکلی از عبارات می‌تواند به‌عنوان جمله تلقی گردد. یک عبارت خاص ممکن است در زمینة معین به‌عنوان یک جمله عمل کند، درحالی‌که عبارتی با همان شکل در زمینة دیگری چنان عمل نکند. به‌علاوه مجموعة جملات زبان محاوره‌یی حداقل به‌طور بالقوه نامتناهی است.
اما گذشته از فقدان ساختار مشخص، ویژگی دوم زبان محاوره‌یی آن است که دارای عمومیت است. یعنی این زبان چنان لحاظ می‌شود که برای بیان هرآنچه بیان‌شدنی است، تسهیلات کافی در اختیار دارد: نه‌تنها واجد لغات و مفردات و جملات است، بلکه اسامی اینگونه امور نیز در آن یافت می‌شود و حتی مفاهیم معناشناختی نظیر صدق، نام و معرف که از رابطة میان اشیای زبان‌شناختی و مدلولات آنها حکایت می‌کنند نیز در آن گنجانده شده‌اند.
در نقطه مقابل زبان‌های محاوره‌ای، زبان‌های صوری‌شده قرار دارند. این زبانها از یک‌سو واجد ساختار صوری مشخص هستند و معنای هر عبارتی در آنها به‌طور یگانه، توسط شکل آن معین می‌شود. یعنی منحصراً با نگاه به یک عبارت باید بتوان تصمیم گرفت که عبارت مذکور جمله است یا نه.(18) به‌علاوه زبان‌های صوری‌شده واجد صفت عمومیت نیستند.
5 - 2. انواع زبان‌های صوری‌شده
چنانکه گفتیم تارسکی زبان‌های صوری‌شده را بر دو نوع می‌داند: زبان‌های صوری‌شدة دارای رتبة محدود و زبان‌های صوری‌شده دارای رتبة نامحدود. او سپس زبان‌های دارای رتبة محدود را بر سه نوع دانسته که در مجموع با لحاظ یک نوع زبان دارای رتبة نامحدود، چهار نوع زبان به قرار زیر خواهیم داشت:
1. زبان‌هایی که همة متغیرهایشان به یک «مقولة معناشناختی»semantical category) )تعلق دارند (نمونه آنها زبان حساب مجموعه‌هاست).
2. زبان‌هایی که تعداد مقوله‌های دربردارندة متغیرهایشان بیش از یک اما محدود است (نمونه آنها زبان منطق نسب دوحدی است).
3. زبان‌هایی که متغیرهایشان به تعداد نامحدودی از مقوله‌های متفاوت تعلق دارند. اما رتبة این متغیرها از عددِ از پیش‌تعیین‌شدةN افزون نمی‌شود. (نمونه اینگونه زبانها زبان منطق نسب چندحدی است).
این سه‌گونه زبان دارای رتبة محدود هستند. اما رتبة زبان‌های نوع چهارم نامحدود است و در تعریف آنها می‌گوییم:
4. زبان‌هایی که دربردارندة متغیرهایی با رتبة بالای دلخواه هستند. (که نمونه آنها نظریه عمومی مجموعه‌هاست).(19)
5 - 3. مقوله معناشناختی
ملاحظه می‌شود که برای فهم دسته‌بندی فوق از زبانها لازم است با مفهوم کلیدی «مقوله معناشناختی» و نیز «محدود بودن یا نبودن مقوله‌های دربردارندة متغیرها» آشنا شویم.
تارسکی مفهوم «مقوله معناشناختی» را از لزنیوسکی و به‌واسطه او از هوسرل وام گرفته است.(20) او از ارائة یک تعریف ساختاری دقیق از «مقوله معناشناختی» بنابر دلایلی صرف‌نظر کرده و تنها به صورتبندی تقریبی آن بسنده می‌کند. تارسکی آن‌را مفهوم و قالبی برای وحدت‌بخشیدن عبارات و هرگونه عناصر زبان‌شناختی نظیر نام‌ها، توابع جمله‌یی و متغیرها لحاظ می‌کند. از این‌رو برای واحد قلمداد کردن عبارات به بیان شرائطی می‌پردازد که توجیه‌کنندة چنان اتحادی باشند. تارسکی می‌نویسد:
دو عبارت به یک مقولة معناشناختی تعلق دارند اگر: اولاً یک تابع جمله‌یی وجود داشته باشد که شامل یکی از این عبارت‌ها باشد. ثانیاً هر تابع جمله‌یی شامل یکی از آنها، با تعویض آن دو با همدیگر، باز هم یک تابع جمله‌یی باقی بماند.(21)
به‌هرحال نتیجة کلام تارسکی آن است که مقولة معناشناختی از یک‌سو عامل وحدت‌بخش برخی عبارت‌ها است و از دیگرسو عامل دسته‌بندی و تجزیه عبارت‌های زبان است و به هرحال زبان واجد چنین واحدهای درونی است.
ساده‌ترین مثال‌های مقولات معناشناختی از نظر تارسکی عبارتند از: مقولة توابع جمله‌یی و مقولات شامل نام افراد، دسته‌های افراد، روابط دوحدی میان افراد، و مانند آن. به‌علاوه متغیرهایی که نشان‌دهندة نام مقولات معناشناختی هستند (و نیز عبارت‌های دارای متغیر) یک مقولة واحد را تشکیل می‌دهند.
به‌هرحال نظریه مقولات معناشناختی نظریه‌ای است برای طبقه‌بندی اموری نظیر عبارات، توابع جمله‌یی، اسامی افراد و متغیرهای نمایش‌دهندة افراد و گنجاندن امور مذکور تحت عناوینی چون مقوله، نوع و نیز رتبه‌بندی کردن مقولات و الی آخر.
5 - 4. طبقه‌بندی زبانها براساس مقوله معناشناختی
تارسکی براساس نظریه مقوله معناشناختی سعی می‌کند تا نحوه تفکیک عبارت‌های زبانی را روشن سازد و توضیح دهد که در یک زبان مفروض کثرت مقولات معناشناختی چه مقدار است. آیا عبارت‌ها و به‌ویژه متغیرهای آن زبان به تعداد متناهی از مقوله‌ها تعلق دارند یا به تعداد نامتناهی؟ و اگر تعداد مقوله‌هایی که عبارت‌ها و متغیرهای زبان مذکور در آن گنجانده شده‌اند نامتناهی است، رتبه‌های این مقولات از بالا محدود است یا نه؟
براین اساس است که از نظر تارسکی می‌توان به‌نحو خاصی زبانها را دسته‌بندی کرد:
زبان‌های دارای رتبه نامحدود زبان‌هایی هستند که مقولات معناشناختی آنها دارای رتبه‌یی از بالا نامحدود است.
اما زبان‌های دارای رتبه محدود زبان‌هایی هستند که مقولات معناشناختی آنها از بالا محدود است. و این نوع اخیر زبانها خود بر سه قسم‌اند:
آنها که همة متغیرهایشان به یک مقولة معناشناختی واحد تعلق دارند،
آنها که تعداد مقوله‌های دربردارندة متغیرهایشان بیش از یک اما محدود است،
و آنها که متغیرهایشان به تعداد نامحدودی از مقولات تعلق دارند اما رتبة این متغیرها از عددِ از پیش‌تعیین شدةN افزون نمی‌شود.(22)
5 - 5. تعریف معناشناختی و کلی جمله صادق در زبان‌های مختلف
گفتیم که مسئلة اساسی تارسکی «صورتبندی دقیق تحلیل ارسطویی صدق درباب هر جملة صادق» است و نیز توضیح دادیم که او حل مسئله حاضر را درگرو تعیین زبانی می‌داند که قرار است صدق جملات آن‌را تعریف نماید. اینک پس از آشنایی با طبقه‌بندی خاص تارسکی از زبانها نوبت آن فرارسیده است که متناسب با هریک از زبان‌های موجود در طبقه‌بندی او مسئله مذکور را مطرح کرده و پاسخ تارسکی را دریافت داریم، اما به‌دلیل پرهیز از پیچیده و فنی کردن بحث هدف خود را تنها در زبان محاوره‌ای و در زبان صوری‌شدة نوع اول دنبال می‌کنیم.
5 - 5 - 1. تعریف معناشناختی و کلی جمله صادق در زبان محاوره‌ای. درباره ویژگی‌های زبان محاوره‌یی در صفحات گذشته مختصراً گفتگو کردیم و فقدان ساختار صوری و برخورداری از صفت عمومیت را به‌عنوان دو ویژگی عمدة آن از نظر تارسکی برشمردیم. حال مسئلة اصلی تارسکی را نسبت به زبان محاوره‌یی مورد بررسی قرار می‌دهیم: آیا می‌توان تعریفی ارسطویی و کلی از جملات صادق زبان محاوره‌یی ارایه کرد؟ تارسکی به این سوال پاسخ منفی می‌دهد و پاسخ منفی او یکی از مهم‌ترین ادعاهای او درباب صدق به‌شمار می‌رود.
تارسکی می‌پذیرد که تعریف ارسطویی و مطابقی صدق را می‌توان در مورد برخی از جملات صادق زبان محاوره‌یی اعمال کرد. یعنی وقتی می‌گوییم «X» یک جملة صادق است منظورمان آن است که:
(1X .( یک جمله صادق است اگر و فقط اگر.P و برای فراهم آوردن یک تعریف واقعی به‌جایP در (1) یک جمله و به‌جای «X» یک نام منفرد برای آن جمله قرار می‌دهیم. با داشتن نام منفردی برای جملة مذکور، می‌توانیم توضیحی از نوع (2) عرضه کنیم:
(2). «برف می‌بارد» یک جملة صادق است اگر و فقط اگر برف ببارد.
در این صورتبندی نام جمله برف می‌بارد بدین‌گونه ساخته شده است که جملة مذکور را داخل علامت نقل قولی گذاشته‌ایم. این شیوة نام‌گذاری جمله از نظر تارسکی معمولی‌ترین و مهم‌ترین نوع نام‌گذاری جمله‌ها است.
شیوة دیگر نام‌گذاری جمله‌ها، شیوة توصیفی - ساختاری است که بنابر آن روش واژه‌های تشکیل‌دهندة بیانی را که مدلول نام است و علامت‌هایی که هر واژه از آنها تشکیل شده و نیز ترتیب توالی این واژه‌ها و علامت را توصیف می‌کنیم. به‌هرحال بنابراین روش ما می‌توانیم به هر نام واجد علامت نقل قول یک نام توصیفی - ساختاری نسبت دهیم که درعین حال که از همان مدلول سابق (همان جمله) دلالت می‌کند، دارای علامت نقل قول نیست. در آن صورت می‌توان به‌جای (2)، صورتبندی (3) را قرار داد:
(3). عبارتی متشکل از دو واژه، که واژة اولِ آن از حروف بِ، رِ، فِ (با همین ترتیب) و واژة دوم آن از حروف میم، یِ، بِ، الف، رِ، دال (با همین ترتیب) تشکیل شده، صادق است اگر و فقط اگر برف ببارد.
جملاتی شبیه (2) و (3) متناظر با جمله (1) هستند و در وضوح مضمون و صحت شکل آنها تردیدی نیست اما به‌هرحال هرسه جمله تعریفی جزئی از صدق ارائه می‌دهند، درحالی که ما درصددیم تا صورتبندی از صدق معناشناختی جملات بیاوریم که کلی و عام باشد.
حال اگر بخواهیم صورت‌بندی‌های (1) یا (2) یا (3) را (که بنابه تقریرهای بعدی تارسکی همان صورتبندیT است) به‌عنوان صورتبندی کلی و عام صدق جملات تلقی کنیم، ناگهان با مشکلات جدی مواجه می‌شویم. چراکه گاه به موقعیت‌هایی برخورد می‌کنیم که در آنها جملاتی شبیه 2 و 3 در ترکیب با پیش‌فرض‌های دیگری که دارای وضوح شهودی کمتری هم نیستند، به تناقضاتی آشکار منجر می‌شوند؛ تناقضاتی نظیر تناقض دروغگو.
تارسکی صورتبندی ژان لوکاسیه‌ویچ، منطق‌دان برجستة لهستانی را از تناقض دروغگو به‌قرار زیر نقل می‌کند:
جملة زیر را درنظر بگیرید:
(1). «جملة نوشته شده در سطر 2 صفحهn این مقاله صادق نیست»
به‌منظور خلاصه‌سازی این جمله را با «S» نمایش می‌دهیم. بنابر هم‌ارزیT داریم:
(2). «S» صادق است اگر و فقط اگر جملة نوشته شده در سطر 2 صفحهn این مقاله صادق نباشد.
(3). از سوی دیگر با درنظر گرفتن معنای نمادها به‌طور تجربی می‌دانیم که: «S» همان جملة نوشته شده در سطر 2 صفحهn این رساله است.
حال با استفاده از قاعدة آشنایی از نظریة همانی (یعنی قاعده لایب‌نیتس) از 3 می‌توانیم نتیجه بگیریم که به‌جای عبارت:
«جملة نوشته شده در سطر 2 صفحهn این رساله» در (1) نماد «S» را قرار دهیم، در آن صورت خواهیم نوشت:
(4). «S» صادق است اگر و فقط اگرS صادق نباشد.(23)
ملاحظه می‌کنیم که آشکارا با تناقضی مواجه شده‌ایم. اما در مواجهه با تناقض دروغگو و هرگونه تناقضی نباید به راهی رفت که آن‌را شوخی‌هایی حاکی از ذکاوت مردان بزرگ تلقی نمود. بلکه ضرورت دارد به‌عنوان پدیده‌هایی کاملاً جدی و قابل تامل نگریسته شوند. مساله این است که چگونه وقتی با مقدماتی بدیهی تفکری را آغاز می‌کنیم و با استدلال‌هایی مطمئن به جلو می‌رویم ناگهان به تناقض برخورد می‌کنیم؟
برای حل این مسئله چاره‌ای نیست جر آنکه در مقدمات و قواعد استدلال‌های خود بازنگری کنیم و احیاناً برخی از آنها را معیوب یافته و اصلاح کنیم. بدیهی است وقتی در زبانی نظیر زبان محاوره‌یی هم به تناقض دروغگو برخورد کنیم لازم است چنان عمل نمائیم. اگر به فرضیاتی که منجر به تنازع دروغگو شده‌اند مراجعه شود در آن صورت فرضیات زیر یافت می‌شوند:
اول آنکه تلویحاً فرض کرده‌ایم که زبانی که تنازع دروغگو در آن ساخته می‌شود زبانی است که علاوه بر عبارت‌ها شامل نام آنها و نیز اصطلاحات معناشناختی (نظیر «صادق») راجع به جملات نیز می‌باشد. و حتماً فرض کرده‌ایم که تمام جملاتی که از این اصطلاحات استفاده مناسب می‌کنند نیز در همین زبان قابل تبیین و تعریف هستند. زبانی با این خصوصیات را «زبانی از لحاظ معناشناختی بسته» می‌نامیم.
دوم آنکه فرض کرده‌ایم که تمام قوانین منطق در آن زبان برقرارند.
و سوم آنکه فرض کرده‌ایم که عبارتی تجربی مانند حکم (3) در آن زبان قابل صورتبندی و تبیین است. حال ببینیم کدام‌یک از آن فرض‌ها عامل پیدایش تنازع دروغگو بوده است: فرض سوم چندان اساسی نیست چراکه بدون آن هم می‌توان تنازع دروغگو ساخت درحالی که فرض‌های اول و دوم اساسی‌اند پس حداقل یکی از آنها باطل است. اما فرض دوم قابل رد کردن نیست و اساساً امکان ندارد منطق را عوض کنیم. پس فقط به رد فرض اول می‌پردازیم و تصمیم می‌گیریم که دیگر از هیچ زبانی که به‌لحاظ معناشناختی بسته باشد استفاده نکنیم.
نتیجه آن که ریشة پیدایش تناقض دروغگو در زبان محاوره‌یی، صفت بسته بودن یا عام بودن زبان مذکور است. چنانکه گفتیم در یک جمع‌بندی ساده این زبان چنان است که در آن لغات منفرد و جملات و اسامی آنها و واژگان معناشناختی نظیر صدق وجود دارند. درنتیجه برای هر جمله‌یی که در زبان معمولی صورتبندی می‌شود، می‌توانیم جمله‌یی بسازیم که صدق یا کذب جملة اول را ادعا کند و با یک تمهید اضافی می‌توانیم جمله‌یی در آن زبان پدید آوریم که درباره خود اظهار نظر کند. یعنی جمله‌یی که مدعی است خود صادق (یا کاذب) است و این همان تناقض دروغگو است.
از نظر تارسکی تحلیل و ریشه‌یابی تناقض دروغگو وظیفة حتمی محققی است که به تعریف معناشناختی و کلی صدق کمر همت می‌بندد.
به‌هرحال تارسکی معتقد می‌شود که هرگونه تلاشی برای بازسازی تعریفی معناشناختی و عام از جملة صادق لزوماً با تناقض مواجه می‌گردد و توام با شکست است و هیچ راه گریزی یافت نمی‌شود.
تارسکی ظهور تناقضات (نظیر تناقض دروغگو) را در سرشت و ساختار زبان محاوره‌یی مشاهده می‌کند، چراکه: زبان محاوره‌یی برخلاف زبان‌های علمی عمومیت دارد. یعنی نباید هیچ واژه‌ای در زبان دیگری پیدا شود که به این زبان قابل ترجمه نباشد. به دیگر سخن اگر به طرز معنی‌داری راجع به چیزی حرف برنیم باید بتوانیم به زبان محاوره‌ای نیز در آن‌خصوص سخن بگوییم. حال اگر بخواهیم عمومیت زبان محاوره‌ای را در بررسی‌های معناشناختی (مثلاً در تعریف عام صدق جملات) حفظ کنیم، باید علاوه بر جملات و دیگر عبارات زبان، نام این جملات و عبارات و نیز جملاتی شامل این نام‌ها و عبارت‌های معناشناختی‌ای نظیر جملة صادق، نام، دلالت و غیره را نیز در زبان مزبور راه دهیم. اما همین امر سبب می‌شود که تنازعات معناشناختی نظیر تنازع دروغگو نیز وارد زبان محاوره‌یی شوند. در یک کلام، این تنازعات نشان می‌دهند که هروقت زبانی همانند زبان روزمره عام باشد و قوانین منطق در آن صادق باشد، ناسازگار خواهد شد.
به‌نظر تارسکی، به‌طور کلی می‌توان گفت که:
اگر در زبانی شرط‌های زیر برقرار باشد، چنان زبانی لزوماً ناسازگار است:
1. به‌ازای هرجمله‌ای که در آن زبان ظاهر می‌شود، نام معینی برای آن جمله نیز در زبان مذکور ظاهر شود.
2. هر عبارت به‌دست آمده از صورتبندیT با جایگزین کردن نمادP با جمله‌یی از زبان و جایگزین کردن نماد «P» با نام آن جمله، یک جملة صادق از آن درنظر گرفته شود.
3. یک پیش‌فرض (مانند «S یک جملة صادق نیست» همانS است) که از لحاظ تجربی صحیح باشد، در زبان مورد نظر قابل صورتبندی باشد و یک جملة صادق لحاظ شود.
4. قواعد معمول منطق در آن برقرار باشد.(24)
2-5-5. تعریف معناشناختی و کلی جمله صادق در زبان صوری‌شده نوع اول. دربارة ماهیت زبان‌های صوری‌شده از نظر تارسکی توضیح مختصری قبلاً ارائه شد و گفتیم ساختار مشخص صوری داشتن و فقدان ویژگی عمومیت سبب می‌شود که زبان‌های صوری در نقطه مقابل زبان محاوره‌ای قرار داشته باشند. به اشاره نیز گفته شد که ویژگی دوم عاملی است تا به هنگام پژوهش پیرامون یک علم قیاسی صوری‌شده، میان زبانی که درباره‌اش حرف می‌زنیم و زبانی که در آن حرف می‌زنیم تمایز قائل شویم. زبان نخست را زبان موضوعی(object-language) و زبان دوم را فرازبان(meta-language) می‌نامیم.
اینک نوبت آن رسیده است تا دربارة ساختار صوری زبان نوع اول و نیز فرازبان (و فرانظریه) آن، از نظر تارسکی، سخن بگوئیم و پس از آن، درباب امکان یا عدم امکان تعریف معناشناختی و کلی «صدق» (و جملة صادق) در اینگونه زبان (باز هم از نگاه تارسکی) وارد بحث شویم.
5 - 5 - 2 - 1. ساختار صوری زبان نوع اول. تارسکی زبان حساب مجموعه‌ها را نمونه‌ای از زبان صوری‌شده نوع اول معرفی می‌کند و ساختار صوری آن‌را چنین توضیح می‌دهد که عبارت‌های این زبان از دو نوع علامت ساخته شده است. علامت ثابت‌ها و علامت متغیرها. علامت نفیN ، علامت جمع منطقیA ، سور عمومی و سرانجام علامت شمول چهار نوع از ثابت‌های این زبانند و در مورد متغیرها باید گفت که: اصولاً هر دستة دلخواهی از نمادها را می‌توان به‌عنوان متغیر استفاده کرد، به‌شرط آنکه تعداد آنها محدود نباشد و از لحاظ شکل با ثابت‌ها فرق داشته باشند. (مانند سX ، طX ، سط.(X در تعبیر شهودی زبان که در این‌جا مد نظر است، متغیرها نمایان‌گر نام مجموعه‌های افراد هستند که عبارت‌های زبان حساب مجموعه‌ها یا ثابت‌ها و متغیرهای تنها هستند و یا مجتمعی از این علامت‌ها که پشت هم می‌آیند (مثل طX و سN1 X و طNX سX )
تارسکی سپس به فرازبان و فرانظریة حساب مجموعه‌ها می‌پردازد و متذکر می‌شود که اولاً برشماری علامت‌ها و عبارت‌هایی که در فرازبان مورد استفاده قرار می‌گیرند و ثانیاً ساختِ دستگاهی از اصول موضوعه که برای برپا داشتن فرانظریه کافی باشند ضرورت دارد. بنابر توضیحات او عبارت‌هایی که در فرازبان مورد استفاده قرار می‌گیرند، بر دو نوعند: اول عبارت‌های دارای ویژگی منطقی عام که از یک دستگاه توسعه‌یافتة منطق ریاضی استنباط گشته‌اند و خود به عبارت‌های اولیه و عبارت‌های تعریف‌شده تقسیم می‌شوند و دوم عبارت‌هایی که برخلاف عبارت‌های نوع اول، اصطلاحات خاص فرازبان با ویژگی توصیفی - ساختاری هستند و بنابر این نام علامت‌ها و عبارت‌های زبان حساب مجموعه‌ها محسوب می‌شوند. به‌علاوه در فرازبان به نمادهایی نیازمندیم که به کمک آنها از متغیرهای فرازبان سخن بگوئیم. ساخت دستگاه اصول موضوعی در تاسیس فرانظریه نیز بدین‌گونه است که متناظر با دو نوع عبارت در فرازبان، دستگاه اصل موضوعی فرازبان نیز شامل دو نوع اصل موضوعة کاملاً متمایز خواهد بود: اصول موضوعة منطقی عام که برای یک دستگاه نسبتاً فراگیر منطق ریاضی کافی است و اصول موضوعة خاص فرازبان که توصیف‌کنندة برخی از خواص ابتدایی مفاهیم توصیفی - ساختاری بوده و با دریافت شهودی ما سازگار هستند.
حال می‌توان با استفاده از عبارت‌ها و نمادهایی که در فرازبان برشمرده شد به تعریف آن مفاهیمی پرداخت که حساب مجموعه‌ها را به یک علم استنتاجی صوری‌شده مبدل می‌کند. آن مفاهیم عبارتند از: مفهوم جمله، اصل موضوعه، نتیجه و جملة اثبات‌پذیر، اما مقدم بر تعریف آنها لازم است تعدادی از نمادهای کمکی تعریف شوند که نشان‌گر انواع گوناگونی از عبارت‌های ساده هستند و معرفی مفاهیم مذکور را تسهیل می‌کنند. این نمادها عبارتند از: نمادهای شمول، نقیض، جمع منطقی، جمع منطقی یک دنبالةn حدی محدود عطف، سور عمومی، تابع جمله‌ای و متغیر آزاد تابع جمله‌ای. و به کمک همه این مفاهیم می‌توان اصطلاحات: «دستگاه استنتاجی»، «سازگاری مجموعه‌یی از جملات»، «تمامیت مجموعه‌یی از جملات» و درنهایت «جملات هم‌ارز» را تعریف کرد.(25)
5 - 5 - 5 - 2. تعریف صدق در زبان حساب مجموعه‌ها. اکنون می‌توان به مسئله اصلی خود پرداخت: آیا می‌توان تعریفی معناشناختی و کلی از «جملة صادق» در زبان حساب مجموعه‌ها ارایه کرد؟ تارسکی ابتدا نشان می‌دهد که جملة صادق در زبان یک علم استنتاجی صوری‌شده همان «قضیه اثبات‌پذیر» نیست. او از زاویه دیگری به تعریف جملة صادق نزدیک می‌شود. توضیح او از این قرار است:(26)
می‌دانیم که متناظر با هر جملة زبان حساب مجموعه‌ها، نه‌تنها یک نام توصیفی - ساختاری برای آن جمله در فرازبان وجود دارد، بلکه جمله‌یی نیز با همان معنا وجود دارد. برای روشن کردن محتوا و مفهوم صدق در مورد جملة خاصی از زبان مورد نظر، می‌توانیم همان شیوه‌یی را که در صورتبندیT به‌کار بردیم، مورد استفاده قرار دهیم. (به‌جایX نام جمله را بگذاریم و به‌جای «P» ترجمة آن‌را در فرازبان قرار دهیم.)
تمام جملاتی که به این روش به دست می‌آیند، طبعاً به فرازبان تعلق دارند و معنای عباراتی به‌شکل «X یک جملة صادق است» را توضیح می‌دهند. حال می‌توانیم با استفاده از نماد «Tr» به‌جای مجموعة همه جمله‌های صادق قرارداد زیر را ارائه دهیم:
قرارداد.T یک تعریف صحیح از لحاظ صوری برای نماد «Tr» که در فرازبان صورتبندی شده باشد، یک تعریف کافی از صدق خوانده می‌شود اگر دارای پیامدهای زیر باشد:
- (a) تمام جملاتی که از عبارت «XeTr اگر و فقط اگرP » با قراردادن یک نام توصیفی - ساختاری برای هر جمله‌یی از زبان مورد نظر به‌جای نماد «X» و قراردادن عبارتی که ترجمة آن جمله به فرازبان است به‌جای نماد «P» بدست می‌آیند؛
- (b) جمله «به‌ازای هرX ، اگرXeTr آنگاهXeS » (به‌عبارت دیگرTrS ») حال می‌گوئیم: اگر زبان مورد نظر فقط شامل تعداد محدودی جمله باشد که از ابتدا درنظر گرفته شده‌اند، و اگر می‌توانستیم این جمله‌ها را بشماریم، آنگاه مسئله تعریف صدق با مشکلی مواجه نمی‌شود. بدین منظور کافی است طرح زیر را کامل کنیم:
XeTr اگر و فقط اگر یا 1X=X و 1P، یا 2X=X و 2P و یاX=Xn وPn ، که نمادهای «1X»، «2X»،...، «Xn» توسط نام‌های توصیفی - ساختاری تمام جمله‌های زبان مورد نظر جایگزین می‌شود و به‌جای «1P»، «2P»،...، «Pn» ترجمه‌های این جملات در فرازبان قرار می‌گیرند.
اما همیشه وضع اینگونه نیست که زبان مفروض ما شامل جملات محدودی باشد. پس باید به زبان‌هایی بپردازیم که تعداد جملات آنها نامحدود باشد. در آن صورت تعریفی که مطابق طرح پیش‌گفته انجام پذیرد، از تعداد نامحدودی واژه تشکیل می‌شود و چنان جملاتی را نمی‌توان در فرازبان یا هر زبان دیگری صورتبندی کرد. در نتیجه کار ما بسیار پیچیده است.
آیا می‌توان از روش بازگشتی استفاده کرد؟ تارسکی ابتدا پاسخ منفی می‌دهد و استدلال می‌کند که: در روش بازگشتی جملات زبان را به ابتدایی و پیچیده تقسیم کرده و نحوة پیدایش جملات مرکب از جملات ساده را بازگو می‌کنیم و سپس طریقة وابستگی «صدق و کذب جمله‌های مرکب» به «صدق و کذب جمله‌های ساده» تعیین می‌شوند. اما مانعی جدی بر سر این راه وجود دارد: جملات مرکب به هیچ‌وجه عموماً از جملات ساده ساخته نشده‌اند. توابع جمله‌یی از توابع ابتدایی نشأت می‌گیرند و جمله‌ها موارد خاص از توابع جمله‌یی هستند. بنابراین به هیچ‌وجه نمی‌توان جملة صادق را در زبان‌های دارای جملات نامحدود از طریق بازگشتی تعریف نمود.
با این همه تارسکی اضافه می‌کند که:
«به‌هرحال، این امکان به ذهن می‌رسد که بتوان یک تعریف عمومی‌تر را که در مورد هر تابع جمله‌یی به‌کار می‌رود، به‌طور بازگشتی ارائه داد و بدین‌ترتیب با به‌کار گرفتن آن درخصوص جملات، به مفهوم صدق رسید.(27)
تارسکی در ادامة بحث همین شیوه را در پیش می‌گیرد؛ مطابق توضیح او استفاده از روش بازگشتی (با مبنا قرار دادن توابع جمله‌یی و نه جملات) زمانی میسر می‌گردد که مفهوم «صدق‌پذیری یک تابع جمله‌یی معین توسط اشیای معین» (و در این مورد مجموعه‌های معین از افراد) به‌خوبی ادراک گردد.
5 - 5 - 5 - 2 - 1. تعریف صدق‌پذیری. معنای معمولی این مفهوم را در کاربرد عادی با چند مثال روشن می‌کنیم:
1. در مورد یک تابع جمله‌یی معین که فقط دارای یک متغیر آزاد است وقتی می‌گوئیم «فلان شیء این تابع جمله‌یی را صدق‌پذیر می‌کند» منظورمان چیست؟ برای توضیح طرح زیر را در نظر بگیرد:
به‌ازای هرa ،a تابع جمله‌ییX را صدق‌پذیر می‌کند اگر و فقط اگرP .
حال به‌جای «P» تابع جمله‌یی داده شده را قرار می‌دهیم (البته بعد از قراردادن «a» به‌جای متغیر آزاد آن و به‌جایX یک نام منفرد برای این تابع.) بدین‌ترتیب در زبان محاوره‌یی می‌توانیم صورتبندی زیر را فراهم آوریم:
به‌ازای هرa ،a تابع جمله‌یی «X سفید است» را صدق‌پذیر می‌کند اگر و تنها اگرa سفید باشد. (از این‌جا می‌توان نتیجه گرفت که برف تابع جمله‌یی «X سفید است» را صدق‌پذیر می‌کند.)
2. در موردی که تابع جمله‌یی دارای دو متغیر آزاد متمایز باشد هم، به شیوه‌ای کاملاً مشابه عمل می‌کنیم. فقط با این تفاوت که مفهوم «صدق‌پذیری» اینک نه به اشیای منفرد بلکه به جفت‌های مرتب اشیأ دلالت می‌کند. بدین‌ترتیب به صورتبندی زیر می‌رسیم:
به‌ازای هرa وb ،a وb ، تابع جمله‌یی «X،Y را می‌بیند» را صدق‌پذیر می‌کنند، اگر و فقط اگرa ،b ، را ببیند؛ به‌ازای هرa وb ،a وb ، تابع جمله‌یی 3و2lه (یعنی طX و س(IX را صدق‌پذیر می‌کند اگر و فقطab .
3. سرانجام به حالت کلی می‌رسیم که در آن تابع جمله‌یی مورد نظر شامل تعداد دلخواهی متغیر آزاد است. می‌گوئیم، یک دنبالة نامحدود از اشیای مفروض، یک تابع جمله‌یی مفروض را صدق‌پذیر می‌کند. اگر خود را به توابع حساب مجموعه‌ها محدود کنیم، آنگاه ارایة توضیح روشنی پیرامون این عبارت توسط این واقعیت که تمام متغیرهای موجود در زبان این علم، در یک دنباله مرتب گشته‌اند (شمارش شده‌اند)، تسهیل می‌شود.
در بررسی این پرسش که کدام دنباله‌ها یک تابع جمله‌یی معین را صدق‌پذیر می‌کنند، همواره یک تناظر یک به چند را میان برخی از حدود دنبالةf و متغیرهای آزادِ تابع جمله‌یی مد نظر خواهیم داشت، که در آن به‌ازای هر متغیر، یک حد از دنباله با همان شاخص متناظر شده است. به‌طور کلی می‌توان طرح زیر را مد نظر داشت:
f تابع جمله‌ییX را صدق‌پذیر می‌کند اگر و تنها اگرf یک دنبالة نامحدود از مجموعه‌ها باشد و P.
با داشتن هر تابع جمله‌یی از حساب مجموعه‌ها، مثلاً،S ، به‌جای «X» در طرح مزبور، یک نام منفرد (توصیفی - ساختاری) برایS قرار می‌دهیم که در فرازبان ساخته شده باشد؛ درعین حال به جای تمام متغیرهای آزادS ، نهادهای متناظر «fk» و «(fl و غیره را قرار می‌دهیم و به‌جای «P» در طرح پیش‌گفته، عبارتی را که بدین طریق ازS به‌دست می‌آید می‌گذاریم (یعنی عبارتی که با ترجمةS به فرازبان فراهم می‌آید).
حال می‌توانیم برای تعریف کلی «صدق‌پذیر شدن یک تابع جمله‌یی توسط دنباله‌یی از مجموعه‌ها» از شیوة بازگشتی بهره بگیریم که تمام تعاریف جزئی این مفهوم را که از طریق طرح پیش‌گفته حاصل می‌گردند، به‌عنوان حالت‌های خاص دربر بگیرد.
بعد از این توضیحاتی به تعریف «صدق‌پذیری یک تابع جمله‌یی توسط اشیای معین» می‌پردازیم: تعریف:
«دنبالةf تابع جمله‌ییX را صدق‌پذیر می‌کند، اگر و فقط اگرf یک دنبالة محدود از مجموعه‌ها و X یک تابع جمله‌یی باشد و اگرf وX به‌گونه‌یی باشند که یا:
(a) اعداد طبیعیK وl وجود داشته باشند به‌گونه‌یی کهl وX=lK وfKfl ؛
(b) تابع جمله‌ییy وجود داشته باشد به‌گونه‌یی که ژX=y وf تابعy را صدق‌پذیر نکند؛
(g) توابع جمله‌ییy وX وجود داشته باشند به‌گونه‌یی کهX=y+Z وf یا درy صدق کند یا درZ ؛ یا سرانجام:
(d) یک عدد طبیعیK و یک تابع جمله‌ییy وجود داشته باشد به‌گونه‌یی کهky هX= و هر دنبالة نامحدود از مجموعه‌ها که حداکثر به‌جایK اُم ازf متمایز است،y را صدق‌پذیر کند.
مفهوم صدق‌پذیری یک تابع جمله‌یی در بررسی‌های معناشناختی زبان اهمیت بسزایی دارد و معانی تعداد فراوانی از مفاهیم معناشناختی را می‌توان به کمک آن مفهوم تعریف کرد. در ادامه بحث مفهوم صدق یا جملة صادق را به کمک مفهوم مزبور تعریف می‌کنیم.
5 - 5 - 5 - 2 - 2. تعریف صدق (یا جملة صادق). می‌توان دریافت که صدق کردن یا نکردن یک دنباله در یک تابع جمله‌ای فقط به حدودی از دنباله وابسته است که با متغیرهای آزاد تابع در تناظر باشد، لذا در حالتی که تابع جمله‌یی مذکور یک جمله است و هیچ متغیر آزادی ندارد، صدق‌پذیری تابع توسط دنباله، به خواص حدود دنباله بستگی ندارد. در آن صورت فقط دو امکان باقی می‌ماند:
اول: یا هر دنبالة نامحدود از مجموعه‌ها، جملة مزبور را صدق‌پذیر می‌کنند.
دوم: یا هیچ دنباله‌یی در آن جمله صادق نیست.
جمله اول صادق و جمله دوم کاذب خوانده می‌شود.
تعریف جمله صادق: «X یک جملة صادق است - به‌طور نمادین- XeTr اگر و فقط اگرXeS و هر دنبالة نامحدود از مجموعه‌هاX را صدق‌پذیر کند.»
در درستی صوری تعریف مذکور شکی نیست ولی آیا از لحاظ محتوایی هم، حداقل به معنایی که قبلاً در «قراردادT » مطرح شد، درست است؟
پاسخ مثبت است. تعریف مذکور یک تعریف عام (کافی) از صدق به معنایی که در قراردادT آمده می‌باشد. چراکه نتایج آن شامل تمام لوازم قرارداد است. تعداد این نتایج نامحدود و اثبات آن تعریف مستلزم ساخت یک ابزار استدلالی کاملاً جدید است که ترجیحاً وارد آن نمی‌شویم.(28)
خلاصة رأی تارسکی
جان کلام تارسکی آن است که (با صرف نظر از زبان محاوره‌یی که هرگونه تلاش برای تعریف مفهوم صدق و جملات صادق در آن به پارادوکس منتهی می‌شود) اگر از معنای کلی صادق بودن جمله در یک زبان صوری شده خاص پرسش کنید، می‌توان معنای آن‌را توضیح داد اما نمی‌توان یک تعریف کلی و عام برای صدق جملات در هر زبان صوری‌شده ارائه کرد. مراحل دستیابی به مفهوم جمله صادق (در یک زبان صوری‌شده خاص) به اختصار تمام چنین است که:
ابتدا باید در مورد هر زبان صوری‌شده خاص یک فرازبان و یک فرانظریه را که حیطة ویژة تحقیق را تشکیل دهد، معین ساخت. سپس با کامل شدن فرانظریه باید به تشخیص توابع جمله‌یی و به‌ویژه جمله‌ها از بقیه عبارت‌های زبان پرداخت و به‌دنبال این کارهای مقدماتی است که می‌توانیم تکلیف اصلی‌مان یعنی تعریف جملة صادق را در دستور کار قرار دهیم. تارسکی توضیح می‌دهد که شیوه ساخت این مفهوم مستلزم تعریف مفهوم دیگری است که در پژوهش‌های معناشناختی زبانی اهمیت بسزایی دارد. یعنی مفهوم «صدق‌پذیر شدن یک تابع جمله‌یی توسط دنباله‌یی از اشیا» برای تعریف صحیح «صدق‌پذیری» باید از تعریف بازگشتی بهره گرفت. بدین منظور کافی است با رجوع به تعریف بازگشتی تابع جمله‌یی و معنای شهودی توابع جمله‌یی ابتدایی و اعمال بنیادی دو موضوع را روشن کنیم:
اول اینکه چه دنباله‌هایی توابع بنیادی را صدق‌پذیر می‌کنند؟ و دوم آنکه رفتار مفهوم صدق‌پذیری هنگام به‌کار بردن هریک از اعمال بنیادی چگونه است؟ یا به بیان دقیق‌تر با فرض اینکه می‌دانیم کدام دنباله‌ها توابع جمله‌یی مورد نظر را صدق‌پذیر می‌کنند، می‌خواهیم بدانیم، کدام دنباله‌ها توابع جمله‌یی به‌دست آمده از آنها را با به‌کارگیری یکی از عمل‌های بنیادی صدق‌پذیر می‌کنند.
به محض آنکه توانستیم معنای دقیق صدق‌پذیری را دریابیم، تعریف صدق کار چندان دشواری نخواهد بود:
«جملات صادق جملاتی هستند که هر دنبالة دلخواهی از اشیأ آنها را صدق‌پذیر می‌کنند.» اما دریافت معنای «صدق‌پذیری» چندان آسان نیست و در این خصوص گاه با موانع بنیادی برخورد می‌کنیم. توضیح سرشت معضلات و موانع مزبور مستلزم بحث درباره مفهوم مقولة معناشناختی است. تارسکی تذکر می‌دهد که از دیدگاه ساختار منطقی، زبان‌های نوع اول (نظیر زبان حساب مجموعه‌ها) ساده‌ترین زبانها هستند و تعریف صدق‌پذیر شدن یک تابع جمله‌یی توسط دنباله‌یی از اشیأ و نیز تعریف جملة صادق در این زبان مشکلی ایجاد نمی‌کند. مشکلات فقط هنگامی ظاهر می‌شوند که زبان‌های بغرنج‌تر (مثلاً نوع دوم و سوم و چهارم را درنظر بگیریم.(29)
چنانکه پیدا است تعریف جمله صادق با همه اجزا و ترتیبی که دارد، در محدوده فرازبان صورت می‌پذیرد و اگر مرزی و میزی میان آن با زبان صوری‌شده موضوعی رسم نمی‌گردید، تعریف مفهوم صدق محال بود.
پی‌نوشت‌ها
.1 مطالب این قسمت از مقاله‌یی در منبع زیر استخراج گردیده است:
London: Routledge and Kegan Paul Ltd, 7691, PP. ؛Henryk Skolimovski, Polish Analytical Philosophy .24-55
.43. John Passmore. A Hundred Years of Philosophy. New York, Penguin Books, 7591, P. 2
. A. Coffa. The Semantic Tradition From Kant to Carnap. New York, Cambridge University Press,3 .199289. P 1
.281. ibid, P. 4
.283. ibid, P. 5
. A. Tarski, "The Establishment of Scientific Semantics" in: Logic, Semantics, Metamathematics. New6 .689402, P. 1York, Oxford,
.281. A. Coffa, OP. Cit, P. 7
.8 ارنست ناگل، ج نیومن و آلفرد تارسکی، برهان گودل و حقیقت و برهان، ترجمه محمد اردشیر، تهران: انتشارات مولی، چاپ اول، 1364، ص 121.
.53. A Tarski. The Semantic Conception of Truth the Foundation of Semantic. P. 9
.10 ارنست ناگل و...، همان، ص 110.
1. A. Tarski. The Concept of Truth in Formalized Langueges.in: Logic, Semantics, Metamathematics,1 .65954, P. 1New York, Oxford,
.12 ارنست ناگل و...، همان، ص 115.
.13 همان، ص 116.
.14 همان، ص 117.
.553. A Tarski. The Semantic Conception of Truth,... P. 1
.6567. A Tarski. The Concept... P. 1
.7267. ibid, P. 1
.8166. A. Tarski. op.cit, 1
.9215. A. Tarski. op.cit, P. 1
.0216. ibid, P. 2
.1216. ibid, P. 2
.2220. ibid, P. 2
.3158. ibid, P. 2
.4155-165. ibid, PP. 2
.5175-193. A. Tarski, op.cit, PP. 2
.6186-199. ibid, PP. 2
.7402. A. Tarski. The Establishment of... P. 2
.8186-199. A. Tarski. The Concept of Truth... PP. 2
.9209-215. ibid, PP. 2
آغازگر بحث صدق در تفکر معاصر لهستان کازیمیرز تواردوسکی است که خود با هوسرل و ماینونگ از شاگردان فرانتس برنتانو فیلسوف برجستة اتریشی معاصر محسوب می‌شود(1) و از نظریة ارسطویی (کلاسیک) صدق که میراث برنتانو بود، دفاع می‌کرد. بحث درباب سرشت صدق به‌تدریج در میان شاگردان توادوسکی درگرفت و بزرگانی چون کوتاربینسکی، لزنیوسکی و لوکاسیه‌ویچ در آن شرکت کردند. کوتاربینسکی صدق را مطابقت و همخوانی با واقعیت دانست و لزنیوسکی احتمالاً برای نخستین‌بار در اروپا مطالعه منظمی درباب معناشناسی آغاز کرد.(2) و درباب پارادوکس راسل درباب مجموعه‌ها و پارادوکس دروغگو وقت فراوانی صرف کرد. لوکاسیه‌ویچ نیز در طرد هرگونه تناقض از مبانی ریاضیات و منطق با دیگر فیلسوفان این حوزه (که به فیلسوفان مکتب لوف - ورشو معروفند) همداستان شد. با این‌همه نباید پیشرفت فکری آنان را مستقل از تاثیرگذاری ریاضی‌دان و معرفت‌شناس برجسته معاصر، دیوید هیلبرت، مورد بررسی قرار داد. دل‌مشغولی و برنامه پژوهشی هیلبرت نیز حل پارادوکس‌ها از طریق اثبات سازگاری دستگاه‌های ریاضیات صوری‌شده بود اما او تعلیم مهمتری می‌داد. او می‌آموخت که مفاهیمی از قبیل سازگاری دستگاه‌های صوری، مفاهیمی هستند که به فراریاضیات تعلق دارند و تحلیل آنها نیز لاجرم در فرازبان ریاضی انجام می‌گیرد. این اندیشه نتیجه می‌دهد که پژوهش درباب ریاضیات مستلزم به‌کارگیری دو زبان است، زبانی برای تحلیل اشیا و مقولات ریاضی (زبان موضوعی) و زبانی برای تحلیل خود ریاضیات (فرازبان). مطلب مهم و قابل تاکید همین است که در گوتینگن و ورشو 1930 تحلیل مفاهیم فراریاضی به کمک رهیافت دوزبانی روش رایجی بود و کسانی چون لوکاسیه‌ویچ و لزینوسکی در این مسیر گام می‌زدند. درواقع در آن دوره اهتمام متفکران لهستانی به کاربرد رهیافت دوزبانی در حل مسائل فراریاضی بدان حد رسیده بود که با عنوان «روش لهستانی» از آن یاد می‌کردند.(3)
2. مراحل ورود تارسکی به معناشناسی
به‌طور کلی می‌توان از منظر ورود به معناشناسی، تفکر تارسکی را به دو مرحلة متفاوت تقسیم کرد: مرحله اول به قبل از 1931 یا 1935 و مرحلة دوم به بعد از آن مربوط می‌شود.
در مرحله اول تارسکی تحت تاثیر پژوهش‌های هیلبرت قرار داشت. همچون او به مفاهیم فراریاضی می‌پرداخت و همچون او در تحلیل مفاهیم مزبور از رهیافت فرازبانی سود می‌جست. اما نکتة مهم این است که تارسکی در آن دوره مفاهیم فراریاضی (و حتی معناشناختی) را به‌عنوان مفاهیمی نحوی(syntactic) تلقی می‌کرد.(4) او به‌محض مواجهه با مفهومی فراریاضی به‌جای آنکه آن را به زبان موضوعی ارجاع دهد به فرازبان می‌برد و مورد بررسی و تحلیل قرار می‌داد. (مثلاً می‌توان به تحلیل او از مفاهیم تمامیت، جزمیت و شاخه‌پذیری فرانکل در این‌خصوص اشاره کرد.)(5)
اما در مرحله دوم، تارسکی از اعتقاد به تحلیل همة ابعاد زبان یا تحلیل همة مفاهیم فرازبانی در نحو منطقی سرباز زد و با انتخاب رویکرد معناشناختی از نحوگرایی افراطی دست کشید. او معناشناسی(semantic) علمی را به‌تدریج بنیان نهاد و آن‌را بررسی روابط اشیای زبان‌شناختی و مدلول‌های آنها لحاظ کرد و از آن‌جا که اینگونه روابط با مفاهیمی نظیر نام، دلالت، صدق‌پذیری، تعریف و ترادف، معنا، اشاره کردن بیان می‌شوند، معناشناسی به دانش تبیین‌کننده مفاهیم مذکور تعریف می‌شود.(6)
به‌عبارت دیگر تارسکی در مرحله دوم تحلیل مفاهیمی همطراز مفاهیم فراریاضی (مفاهیم معناشناسانه) را همچنان در دستور کار داشت و همچنان رهیافت فرازبانی هیلبرتی را در تحلیل آنها بکار می‌برد و آنها را نه در زبان موضوعی بلکه در فرازبان مورد بررسی قرار می‌داد. لکن، مفاهیم مورد نظر را مفاهیمی سمانتیکی و معناشناختی تلقی می‌کرد. یعنی تارسکی رهیافت دوزبانی را از حیطه نحو منطقی به قلمرو معناشناختی بسط داد. و چنانکه خواهیم گفت تعریف «صدق» تنها گام نخستین او در این برنامه پژوهشی بود.(7) او اندکی بعد اهمیت رهیافت دوزبانی را در مشخص ساختن معانی واژه‌های دیگری نظیر شاخه‌پذیری، مقولاتی بودن و نتیجه منطقی نشان داد.
البته در روزگار او تمام تلاش‌ها برای تعریف دقیق مفاهیم معناشناختی با شکست مواجه شده و هرجا و در هر پژوهشی که این مفاهیم ظاهر می‌شدند؛ درعین حال که تحقیق واجد پیش‌فرض‌های کاملاً مجاز و به‌ظاهر بدیهی بود، غالباً تناقض‌ها و تعارض‌هایی رخ می‌نمود (مانند تناقض گرلینگ - نلسون و تناقض ریچارد) و این مساله به‌ظاهر لاینحل می‌نمود که چگونه می‌توان تبیینی از مفاهیم مزبور ارایه داد که منجر به تناقض و تعارض نگردد. این مساله در تعریف صدق با هیبت و عظمت بیش‌تری خودنمایی می‌کرد. قصه آزاردهنده تعریف صدق و جمله صادق آن بود که منطق‌دانان و فیلسوفان هرگاه درصدد تعریف آن برمی‌آمدند و با تکیه بر آموزة ارسطویی «جمله صادق را جمله مطابق با واقع» لحاظ می‌کردند، ناگهان خود را با تناقض دروغگو مواجه می‌دیدند.(8)
3. روش خاص تارسکی در معناشناسی
به‌هرحال تارسکی با تنقیحِ مفهومی و تعریف «جمله صادق» و رفع مشکلات آن درگیر شد اما همواره باید به‌یاد داشت که او در این پژوهش تنها قابلیت «روش خاصی» را مورد آزمون قرار داده بود و بر آن بود تا درصورت موفقیت روش مزبور آن را در تعریف دیگر مفاهیم معناشناسانه به‌کار گیرد.
چنانکه توضیح خواهیم داد ماحصل صدق‌پژوهی تارسکی آن بود که تعریف به‌لحاظ صوری صحیح و به‌لحاظ مادی و محتوایی کافی جمله صادق در زبان موضوعی و محاوره‌ییcolloquial ) language) ناممکن است و نتیجه چنان تعریفی رویاروشدن با تنازع دروغگو است و تنها اگر زبان موضوعی صوری شده‌یی را مورد نظر قرار دهیم در آن صورت می‌توان در فرازبان آن به چنان تعریفی دست یازید.
تفکیک میان زبانی که برای آن یک مفهوم معناشناختی تعریف می‌گردد (زبان موضوعی) از زبانی که در آن مفهوم مزبور تعریف می‌شود (فرازبان)، صوری کردن زبان موضوعی، استفاده از شیوة بازگشتی و ابتنای تعاریف بر مفهوم کلیدی و پایه‌ای صدق‌پذیری و... کمابیش، روش خاص تارسکی را در تعریف مفاهیم معناشناختی آشکار می‌سازند.
در این مختصر نمی‌توان شرح داد که شکل‌گیری دانش معناشناسی و خصوصاً تحلیل معناشناختی مفهوم «صدق» تنها با مبارزه‌یی جدی علیه رهیافت تک‌زبانی راسل و آرای زبان‌شناختی ویتگنشتاین و معتقدات معرفت‌شناختی کسانی چون کوفمان و رایشنباخ و همراه کردن متفکران بزرگی چون کارناپ فراهم آمده است.
4. مسأله تعریف صدق
تارسکی می‌نویسد که مساله اساسی او عبارت است از تعریفی قانع‌کننده از صدق. یعنی تعریفی که از لحاظ صوری صحیح و از لحاظ مادی و محتوایی کافی باشد.(9) البته چنانکه برخی متذکر شده‌اند او در عمل بیش‌تر دستیابی تعریفی از صدق را که به لحاظ مادی کافی باشد مورد نظر داشت. بر این مطلب نیز باید تاکید نمود که تارسکی از جمله صادق خبر می‌گیرد و از صدق امور دیگری نظیر قضاوت باورها و هیجان‌ها و... یا از زیبایی حقیقی و غیره پرسش نمی‌کرد. و تنها به صدق جملات خبری می‌پرداخت.(10) شکی نیست که در این خصوص او تعریف ارسطو از صادق بودن جملات خبری را می‌پذیرفت. حسب رأی ارسطو جمله صادق جمله‌یی است که بگوید: «حالت امور چنین و چنان است و حالت امور چنین و چنان باشد»(11) (نظریه مطابقی صدق) اما تارسکی معتقد بود که محتوای سخن ارسطو بیان دقیقی ندارد و شکل و صورت آن ناکافی است.(12) بنابراین ضروری است تا صورتبندی جدیدی از آن به‌عمل آید و مسئله تارسکی به‌صورت جزئی‌تر عبارت است از همین صورتبندی دقیق نظریه مطابقی و ارسطویی صدق جمله.(13) او خاطرنشان می‌سازد که این هدف را می‌توان و باید در دو سطح تعقیب کرد: در مورد جملة خاصی که صادق است و در مورد همه جملات صادق. دستیابی به هدف نخست چندان مشکل نیست و تنها صورتبندی کلی صدق است که با مشکلات به‌ظاهر لاینحل روبه‌رو است. اما یک جمله خاص مثل «برف سفید است» براساس رای ارسطو، تحت چه شرایطی صادق خواهد بود؟ پاسخ آن است که اگر در عالم خارج واقعاً برف سفید باشد. به‌عبارت دیگر:
«برف سفید است» اگر و فقط اگر برف سفید باشد.
این بیان شرط لازم و کافی صادق بودن جمله مزبور را دارا است و به‌صورت یک هم‌ارزی (دوشرطی) منطقی نمایش داده شده است و می‌توان از آن به‌عنوان هم‌ارزی صدق (یا صورتبندی منطقیT برای جمله خاص) یاد کرد. (مختصراً صورتبندیT یا هم‌ارزی صدق هم خوانده می‌شود).
هم‌ارزی فوق دو طرف راست و چپ دارد. در طرف راست آن عبارت «برف سفید است»، داخل علامت نقل قول قرار داده شده و در سمت چپ هم‌ارزی، همان عبارت بدون علامت نقل قول آمده است. عبارت داخل علامت نقل قول نام جمله است و عبارت بدون علامت نقل قول خود جمله. اما چرا در سمت راست هم‌ارزی به‌جای خود جمله، به نام آن نیاز داریم؟
پاسخ آن است که از دیدگاه دستور زبان، بیانی به شکل «X صادق است»، فقط هنگامی یک جملة معنی‌دار است کهX یک نام باشد. به‌عبارت دیگر موضوع جمله تنها می‌تواند یک اسم یا عبارتی با کارکرد اسمی باشد. ثانیاً بنابر قراردادهای اساسی در مورد استفادة از زبان، در هر بیانی پیرامون یک شیء باید از نام آن شیء بهره گرفت نه خود آن. پس اگر بخواهیم چیزی دربارة جمله‌ای بگوئیم، باید از نام آن جمله استفاده کنیم نه از خود آن.
به‌هرحال می‌توان نتیجه گرفت که براساس نظریة مطابقی صدق، شرط لازم و کافی بودن یک جملة خاص بنامP را باید به‌شکل کلی زیر بیان کرد:
(T) «P» صادق است، اگر و فقط اگرP
اما صورتبندیT تنها بیانگر یک تعریف جزئی از صدق است. یعنی گذشته از آنکه صورتبندی مزبور یک جمله نبوده و تنها طرح و صورت و فرم یک جمله است، هیچ نمونه و مصداقی از آن‌را نیز نمی‌توان بیش از یک «تعریف جزئی از صدق» دانست. این طرح را فقط در پاسخ به این پرسش که فلان «جملة خاص» تحت چه شرایطی صادق است می‌توان مورد استفاده قرار داد. بنابراین جای طرح این پرسش اساسی باقی است که اگر بخواهیم تعریفی مطابقی و ارسطویی از اصطلاح «جملة صادق» ارائه دهیم که عام، کلی و فراگیر بوده و درباب همة جملات صادق یک زبان (و نه فقط یک جملة خاص آن) به‌کار رود، تعریف مزبور چگونه بیان خواهد شد.
تارسکی تاکید می‌کند که مسألة اساسی او در پژوهش‌هایش درباب صدق، همین مسأله است: «صورتبندی دقیق تحلیل ارسطویی صدق درباب هر جملة صادق».
به‌علاوه تارسکی دستیابی به صورتبندی کلی صدق جملات را دستیابی به چنان تعریفی از صدق لحاظ می‌کند که به لحاظ محتوا و مضمون (ماده) کفایت دارد.(14)
5. پاسخ تارسکی به مسئله صدق
تارسکی قبل از بیان پاسخ خود متذکر می‌شود که «جمله‌ها در زبانها قرار دارند» یعنی هرگاه از جمله سخن می‌گوئیم و فی‌المثل می‌پرسیم که معنای یک یا هر جمله صادق چیست؟ لاجرم به جمله یا جملات زبانی خاصی توجه داریم. او می‌نویسد:
«همواره باید مفهوم صدق را، مانند مفهوم جمله، به یک زبان خاص مربوط بدانیم، زیرا واضح است که اگر جمله‌ای در یک زبان صادق باشد، می‌تواند در زبان دیگری دروغ یا بی‌معنا باشد»(15)
و در جای دیگر می‌نویسد:
«مفهوم صدق از لحاظ محتوا و دلالت، اساساً به زبانی که در موردش به‌کار می‌رود، وابسته است. فقط هنگامی می‌توانیم از صدق و کذب یک جمله سخن بگوئیم که آن‌را بخشی از یک زبان خاص درنظر بگیریم.»(16)
با لحاظ آنچه نقل شد قید دیگری به مسألة اساسی تارسکی افزوده می‌شود. گفتیم که او در صدد است تا صورتبندی دقیقی از تحلیل ارسطویی صدق درباب هر جملة صادقی ارائه دهد. اما اینک باید متذکر شد که او می‌خواهد هر جملة صادق «فلان زبان معین» را مورد بررسی قرار دهد و مشمول صورتبندی دقیقی از تفسیر ارسطویی و مطابقی صدق گرداند.
از این‌رو تارسکی با بیان این مطلب که تعریف صدق جمله‌ها همواره معطوف و متکی به زبانی است که جمله‌ها در آن قرار دارند (تعریف نسبی صدق جمله)، لاجرم باید مسألة اساسی خود را در زبان‌های مختلف مطرح کند. یعنی مثلاً بپرسد که آیا در زبان الف می‌توان تعریف ارسطویی و معناشناختی صدق هر جمله را دقیقاً مشخص کرد؟ در زبان ب چطور؟ و همین طور الی آخر. در این‌جا است که خود را با این مسأله مواجه می‌بیند که: اساساً چند نوع زبان داریم؟ و قرار است در چند زبان مسألة تعریف صدق را مورد بررسی قرار دهیم؟ در آثار تارسکی به‌طور کلی دوگونه طبقه‌بندی زبان به‌چشم می‌خورد. در طبقه‌بندی اول تارسکی ابتدا زبان را به محاوره‌یی و صوری تقسیم می‌کند و سپس زبان‌های صوری محدود را از نامحدود تفکیک کرده و در ارزیابی‌های صوری دارای مرتبه محدود نیز سه نوع اول، دوم و سوم را از هم متمایز می‌کند. اما در طبقه‌بندی دوم ابتدا زبان‌های محدود را از نامحدود تفکیک کرده و سپس به بیان انواع زبان‌های نامحدود می‌پردازد.
ما در این مقاله به بیان و شرح طبقه‌بندی اول زبانها خواهیم پرداخت که مفصل‌تر و کامل‌تر از طبقه‌بندی دوم است و در نمودار زیر نشان داده شده است:
نوع اول
محاوره‌یی دارای مرتبه محدود نوع دوم
زبان نوع سوم
صوری شده
دارای مرتبه نامحدود
5 - 1. تعریف زبان محاوره‌یی و زبان صوری‌شده
به‌طور کلی تارسکی دو ویژگی بنیادی زبان محاوره‌یی را در قیاس با زبان صوری ذکر می‌کند و براساس آنها طرح تحقیقی خود را تعقیب می‌کند. او می‌نویسد:
[اولاً]... زبان محاوره‌یی، محدود، بسته یا کران‌دار نیست. معلوم نیست که چه لغاتی ممکن است به این زبان اضافه شود و چه لغاتی به‌طور بالقوه به آن تعلق دارد. نمی‌توانیم از لحاظ ساختاری، آن عبارت‌هایی را که جمله نامیده می‌شوند، مشخص کنیم، چه‌رسد به آن که، جملة صادق را معین سازیم.(17)
به‌عبارت دیگر زبان طبیعی دارای ساختار معین و مشخص نیست: فهرست کامل لغات (علامت‌ها) و جملات آن در دسترس قرار ندارد چراکه قاعده‌یی وجود ندارد که براساس آن معین کنیم دقیقاً چه شکلی از عبارات می‌تواند به‌عنوان جمله تلقی گردد. یک عبارت خاص ممکن است در زمینة معین به‌عنوان یک جمله عمل کند، درحالی‌که عبارتی با همان شکل در زمینة دیگری چنان عمل نکند. به‌علاوه مجموعة جملات زبان محاوره‌یی حداقل به‌طور بالقوه نامتناهی است.
اما گذشته از فقدان ساختار مشخص، ویژگی دوم زبان محاوره‌یی آن است که دارای عمومیت است. یعنی این زبان چنان لحاظ می‌شود که برای بیان هرآنچه بیان‌شدنی است، تسهیلات کافی در اختیار دارد: نه‌تنها واجد لغات و مفردات و جملات است، بلکه اسامی اینگونه امور نیز در آن یافت می‌شود و حتی مفاهیم معناشناختی نظیر صدق، نام و معرف که از رابطة میان اشیای زبان‌شناختی و مدلولات آنها حکایت می‌کنند نیز در آن گنجانده شده‌اند.
در نقطه مقابل زبان‌های محاوره‌ای، زبان‌های صوری‌شده قرار دارند. این زبانها از یک‌سو واجد ساختار صوری مشخص هستند و معنای هر عبارتی در آنها به‌طور یگانه، توسط شکل آن معین می‌شود. یعنی منحصراً با نگاه به یک عبارت باید بتوان تصمیم گرفت که عبارت مذکور جمله است یا نه.(18) به‌علاوه زبان‌های صوری‌شده واجد صفت عمومیت نیستند.
5 - 2. انواع زبان‌های صوری‌شده
چنانکه گفتیم تارسکی زبان‌های صوری‌شده را بر دو نوع می‌داند: زبان‌های صوری‌شدة دارای رتبة محدود و زبان‌های صوری‌شده دارای رتبة نامحدود. او سپس زبان‌های دارای رتبة محدود را بر سه نوع دانسته که در مجموع با لحاظ یک نوع زبان دارای رتبة نامحدود، چهار نوع زبان به قرار زیر خواهیم داشت:
1. زبان‌هایی که همة متغیرهایشان به یک «مقولة معناشناختی»semantical category) )تعلق دارند (نمونه آنها زبان حساب مجموعه‌هاست).
2. زبان‌هایی که تعداد مقوله‌های دربردارندة متغیرهایشان بیش از یک اما محدود است (نمونه آنها زبان منطق نسب دوحدی است).
3. زبان‌هایی که متغیرهایشان به تعداد نامحدودی از مقوله‌های متفاوت تعلق دارند. اما رتبة این متغیرها از عددِ از پیش‌تعیین‌شدةN افزون نمی‌شود. (نمونه اینگونه زبانها زبان منطق نسب چندحدی است).
این سه‌گونه زبان دارای رتبة محدود هستند. اما رتبة زبان‌های نوع چهارم نامحدود است و در تعریف آنها می‌گوییم:
4. زبان‌هایی که دربردارندة متغیرهایی با رتبة بالای دلخواه هستند. (که نمونه آنها نظریه عمومی مجموعه‌هاست).(19)
5 - 3. مقوله معناشناختی
ملاحظه می‌شود که برای فهم دسته‌بندی فوق از زبانها لازم است با مفهوم کلیدی «مقوله معناشناختی» و نیز «محدود بودن یا نبودن مقوله‌های دربردارندة متغیرها» آشنا شویم.
تارسکی مفهوم «مقوله معناشناختی» را از لزنیوسکی و به‌واسطه او از هوسرل وام گرفته است.(20) او از ارائة یک تعریف ساختاری دقیق از «مقوله معناشناختی» بنابر دلایلی صرف‌نظر کرده و تنها به صورتبندی تقریبی آن بسنده می‌کند. تارسکی آن‌را مفهوم و قالبی برای وحدت‌بخشیدن عبارات و هرگونه عناصر زبان‌شناختی نظیر نام‌ها، توابع جمله‌یی و متغیرها لحاظ می‌کند. از این‌رو برای واحد قلمداد کردن عبارات به بیان شرائطی می‌پردازد که توجیه‌کنندة چنان اتحادی باشند. تارسکی می‌نویسد:
دو عبارت به یک مقولة معناشناختی تعلق دارند اگر: اولاً یک تابع جمله‌یی وجود داشته باشد که شامل یکی از این عبارت‌ها باشد. ثانیاً هر تابع جمله‌یی شامل یکی از آنها، با تعویض آن دو با همدیگر، باز هم یک تابع جمله‌یی باقی بماند.(21)
به‌هرحال نتیجة کلام تارسکی آن است که مقولة معناشناختی از یک‌سو عامل وحدت‌بخش برخی عبارت‌ها است و از دیگرسو عامل دسته‌بندی و تجزیه عبارت‌های زبان است و به هرحال زبان واجد چنین واحدهای درونی است.
ساده‌ترین مثال‌های مقولات معناشناختی از نظر تارسکی عبارتند از: مقولة توابع جمله‌یی و مقولات شامل نام افراد، دسته‌های افراد، روابط دوحدی میان افراد، و مانند آن. به‌علاوه متغیرهایی که نشان‌دهندة نام مقولات معناشناختی هستند (و نیز عبارت‌های دارای متغیر) یک مقولة واحد را تشکیل می‌دهند.
به‌هرحال نظریه مقولات معناشناختی نظریه‌ای است برای طبقه‌بندی اموری نظیر عبارات، توابع جمله‌یی، اسامی افراد و متغیرهای نمایش‌دهندة افراد و گنجاندن امور مذکور تحت عناوینی چون مقوله، نوع و نیز رتبه‌بندی کردن مقولات و الی آخر.
5 - 4. طبقه‌بندی زبانها براساس مقوله معناشناختی
تارسکی براساس نظریه مقوله معناشناختی سعی می‌کند تا نحوه تفکیک عبارت‌های زبانی را روشن سازد و توضیح دهد که در یک زبان مفروض کثرت مقولات معناشناختی چه مقدار است. آیا عبارت‌ها و به‌ویژه متغیرهای آن زبان به تعداد متناهی از مقوله‌ها تعلق دارند یا به تعداد نامتناهی؟ و اگر تعداد مقوله‌هایی که عبارت‌ها و متغیرهای زبان مذکور در آن گنجانده شده‌اند نامتناهی است، رتبه‌های این مقولات از بالا محدود است یا نه؟
براین اساس است که از نظر تارسکی می‌توان به‌نحو خاصی زبانها را دسته‌بندی کرد:
زبان‌های دارای رتبه نامحدود زبان‌هایی هستند که مقولات معناشناختی آنها دارای رتبه‌یی از بالا نامحدود است.
اما زبان‌های دارای رتبه محدود زبان‌هایی هستند که مقولات معناشناختی آنها از بالا محدود است. و این نوع اخیر زبانها خود بر سه قسم‌اند:
آنها که همة متغیرهایشان به یک مقولة معناشناختی واحد تعلق دارند،
آنها که تعداد مقوله‌های دربردارندة متغیرهایشان بیش از یک اما محدود است،
و آنها که متغیرهایشان به تعداد نامحدودی از مقولات تعلق دارند اما رتبة این متغیرها از عددِ از پیش‌تعیین شدةN افزون نمی‌شود.(22)
5 - 5. تعریف معناشناختی و کلی جمله صادق در زبان‌های مختلف
گفتیم که مسئلة اساسی تارسکی «صورتبندی دقیق تحلیل ارسطویی صدق درباب هر جملة صادق» است و نیز توضیح دادیم که او حل مسئله حاضر را درگرو تعیین زبانی می‌داند که قرار است صدق جملات آن‌را تعریف نماید. اینک پس از آشنایی با طبقه‌بندی خاص تارسکی از زبانها نوبت آن فرارسیده است که متناسب با هریک از زبان‌های موجود در طبقه‌بندی او مسئله مذکور را مطرح کرده و پاسخ تارسکی را دریافت داریم، اما به‌دلیل پرهیز از پیچیده و فنی کردن بحث هدف خود را تنها در زبان محاوره‌ای و در زبان صوری‌شدة نوع اول دنبال می‌کنیم.
5 - 5 - 1. تعریف معناشناختی و کلی جمله صادق در زبان محاوره‌ای. درباره ویژگی‌های زبان محاوره‌یی در صفحات گذشته مختصراً گفتگو کردیم و فقدان ساختار صوری و برخورداری از صفت عمومیت را به‌عنوان دو ویژگی عمدة آن از نظر تارسکی برشمردیم. حال مسئلة اصلی تارسکی را نسبت به زبان محاوره‌یی مورد بررسی قرار می‌دهیم: آیا می‌توان تعریفی ارسطویی و کلی از جملات صادق زبان محاوره‌یی ارایه کرد؟ تارسکی به این سوال پاسخ منفی می‌دهد و پاسخ منفی او یکی از مهم‌ترین ادعاهای او درباب صدق به‌شمار می‌رود.
تارسکی می‌پذیرد که تعریف ارسطویی و مطابقی صدق را می‌توان در مورد برخی از جملات صادق زبان محاوره‌یی اعمال کرد. یعنی وقتی می‌گوییم «X» یک جملة صادق است منظورمان آن است که:
(1X .( یک جمله صادق است اگر و فقط اگر.P و برای فراهم آوردن یک تعریف واقعی به‌جایP در (1) یک جمله و به‌جای «X» یک نام منفرد برای آن جمله قرار می‌دهیم. با داشتن نام منفردی برای جملة مذکور، می‌توانیم توضیحی از نوع (2) عرضه کنیم:
(2). «برف می‌بارد» یک جملة صادق است اگر و فقط اگر برف ببارد.
در این صورتبندی نام جمله برف می‌بارد بدین‌گونه ساخته شده است که جملة مذکور را داخل علامت نقل قولی گذاشته‌ایم. این شیوة نام‌گذاری جمله از نظر تارسکی معمولی‌ترین و مهم‌ترین نوع نام‌گذاری جمله‌ها است.
شیوة دیگر نام‌گذاری جمله‌ها، شیوة توصیفی - ساختاری است که بنابر آن روش واژه‌های تشکیل‌دهندة بیانی را که مدلول نام است و علامت‌هایی که هر واژه از آنها تشکیل شده و نیز ترتیب توالی این واژه‌ها و علامت را توصیف می‌کنیم. به‌هرحال بنابراین روش ما می‌توانیم به هر نام واجد علامت نقل قول یک نام توصیفی - ساختاری نسبت دهیم که درعین حال که از همان مدلول سابق (همان جمله) دلالت می‌کند، دارای علامت نقل قول نیست. در آن صورت می‌توان به‌جای (2)، صورتبندی (3) را قرار داد:
(3). عبارتی متشکل از دو واژه، که واژة اولِ آن از حروف بِ، رِ، فِ (با همین ترتیب) و واژة دوم آن از حروف میم، یِ، بِ، الف، رِ، دال (با همین ترتیب) تشکیل شده، صادق است اگر و فقط اگر برف ببارد.
جملاتی شبیه (2) و (3) متناظر با جمله (1) هستند و در وضوح مضمون و صحت شکل آنها تردیدی نیست اما به‌هرحال هرسه جمله تعریفی جزئی از صدق ارائه می‌دهند، درحالی که ما درصددیم تا صورتبندی از صدق معناشناختی جملات بیاوریم که کلی و عام باشد.
حال اگر بخواهیم صورت‌بندی‌های (1) یا (2) یا (3) را (که بنابه تقریرهای بعدی تارسکی همان صورتبندیT است) به‌عنوان صورتبندی کلی و عام صدق جملات تلقی کنیم، ناگهان با مشکلات جدی مواجه می‌شویم. چراکه گاه به موقعیت‌هایی برخورد می‌کنیم که در آنها جملاتی شبیه 2 و 3 در ترکیب با پیش‌فرض‌های دیگری که دارای وضوح شهودی کمتری هم نیستند، به تناقضاتی آشکار منجر می‌شوند؛ تناقضاتی نظیر تناقض دروغگو.
تارسکی صورتبندی ژان لوکاسیه‌ویچ، منطق‌دان برجستة لهستانی را از تناقض دروغگو به‌قرار زیر نقل می‌کند:
جملة زیر را درنظر بگیرید:
(1). «جملة نوشته شده در سطر 2 صفحهn این مقاله صادق نیست»
به‌منظور خلاصه‌سازی این جمله را با «S» نمایش می‌دهیم. بنابر هم‌ارزیT داریم:
(2). «S» صادق است اگر و فقط اگر جملة نوشته شده در سطر 2 صفحهn این مقاله صادق نباشد.
(3). از سوی دیگر با درنظر گرفتن معنای نمادها به‌طور تجربی می‌دانیم که: «S» همان جملة نوشته شده در سطر 2 صفحهn این رساله است.
حال با استفاده از قاعدة آشنایی از نظریة همانی (یعنی قاعده لایب‌نیتس) از 3 می‌توانیم نتیجه بگیریم که به‌جای عبارت:
«جملة نوشته شده در سطر 2 صفحهn این رساله» در (1) نماد «S» را قرار دهیم، در آن صورت خواهیم نوشت:
(4). «S» صادق است اگر و فقط اگرS صادق نباشد.(23)
ملاحظه می‌کنیم که آشکارا با تناقضی مواجه شده‌ایم. اما در مواجهه با تناقض دروغگو و هرگونه تناقضی نباید به راهی رفت که آن‌را شوخی‌هایی حاکی از ذکاوت مردان بزرگ تلقی نمود. بلکه ضرورت دارد به‌عنوان پدیده‌هایی کاملاً جدی و قابل تامل نگریسته شوند. مساله این است که چگونه وقتی با مقدماتی بدیهی تفکری را آغاز می‌کنیم و با استدلال‌هایی مطمئن به جلو می‌رویم ناگهان به تناقض برخورد می‌کنیم؟
برای حل این مسئله چاره‌ای نیست جر آنکه در مقدمات و قواعد استدلال‌های خود بازنگری کنیم و احیاناً برخی از آنها را معیوب یافته و اصلاح کنیم. بدیهی است وقتی در زبانی نظیر زبان محاوره‌یی هم به تناقض دروغگو برخورد کنیم لازم است چنان عمل نمائیم. اگر به فرضیاتی که منجر به تنازع دروغگو شده‌اند مراجعه شود در آن صورت فرضیات زیر یافت می‌شوند:
اول آنکه تلویحاً فرض کرده‌ایم که زبانی که تنازع دروغگو در آن ساخته می‌شود زبانی است که علاوه بر عبارت‌ها شامل نام آنها و نیز اصطلاحات معناشناختی (نظیر «صادق») راجع به جملات نیز می‌باشد. و حتماً فرض کرده‌ایم که تمام جملاتی که از این اصطلاحات استفاده مناسب می‌کنند نیز در همین زبان قابل تبیین و تعریف هستند. زبانی با این خصوصیات را «زبانی از لحاظ معناشناختی بسته» می‌نامیم.
دوم آنکه فرض کرده‌ایم که تمام قوانین منطق در آن زبان برقرارند.
و سوم آنکه فرض کرده‌ایم که عبارتی تجربی مانند حکم (3) در آن زبان قابل صورتبندی و تبیین است. حال ببینیم کدام‌یک از آن فرض‌ها عامل پیدایش تنازع دروغگو بوده است: فرض سوم چندان اساسی نیست چراکه بدون آن هم می‌توان تنازع دروغگو ساخت درحالی که فرض‌های اول و دوم اساسی‌اند پس حداقل یکی از آنها باطل است. اما فرض دوم قابل رد کردن نیست و اساساً امکان ندارد منطق را عوض کنیم. پس فقط به رد فرض اول می‌پردازیم و تصمیم می‌گیریم که دیگر از هیچ زبانی که به‌لحاظ معناشناختی بسته باشد استفاده نکنیم.
نتیجه آن که ریشة پیدایش تناقض دروغگو در زبان محاوره‌یی، صفت بسته بودن یا عام بودن زبان مذکور است. چنانکه گفتیم در یک جمع‌بندی ساده این زبان چنان است که در آن لغات منفرد و جملات و اسامی آنها و واژگان معناشناختی نظیر صدق وجود دارند. درنتیجه برای هر جمله‌یی که در زبان معمولی صورتبندی می‌شود، می‌توانیم جمله‌یی بسازیم که صدق یا کذب جملة اول را ادعا کند و با یک تمهید اضافی می‌توانیم جمله‌یی در آن زبان پدید آوریم که درباره خود اظهار نظر کند. یعنی جمله‌یی که مدعی است خود صادق (یا کاذب) است و این همان تناقض دروغگو است.
از نظر تارسکی تحلیل و ریشه‌یابی تناقض دروغگو وظیفة حتمی محققی است که به تعریف معناشناختی و کلی صدق کمر همت می‌بندد.
به‌هرحال تارسکی معتقد می‌شود که هرگونه تلاشی برای بازسازی تعریفی معناشناختی و عام از جملة صادق لزوماً با تناقض مواجه می‌گردد و توام با شکست است و هیچ راه گریزی یافت نمی‌شود.
تارسکی ظهور تناقضات (نظیر تناقض دروغگو) را در سرشت و ساختار زبان محاوره‌یی مشاهده می‌کند، چراکه: زبان محاوره‌یی برخلاف زبان‌های علمی عمومیت دارد. یعنی نباید هیچ واژه‌ای در زبان دیگری پیدا شود که به این زبان قابل ترجمه نباشد. به دیگر سخن اگر به طرز معنی‌داری راجع به چیزی حرف برنیم باید بتوانیم به زبان محاوره‌ای نیز در آن‌خصوص سخن بگوییم. حال اگر بخواهیم عمومیت زبان محاوره‌ای را در بررسی‌های معناشناختی (مثلاً در تعریف عام صدق جملات) حفظ کنیم، باید علاوه بر جملات و دیگر عبارات زبان، نام این جملات و عبارات و نیز جملاتی شامل این نام‌ها و عبارت‌های معناشناختی‌ای نظیر جملة صادق، نام، دلالت و غیره را نیز در زبان مزبور راه دهیم. اما همین امر سبب می‌شود که تنازعات معناشناختی نظیر تنازع دروغگو نیز وارد زبان محاوره‌یی شوند. در یک کلام، این تنازعات نشان می‌دهند که هروقت زبانی همانند زبان روزمره عام باشد و قوانین منطق در آن صادق باشد، ناسازگار خواهد شد.
به‌نظر تارسکی، به‌طور کلی می‌توان گفت که:
اگر در زبانی شرط‌های زیر برقرار باشد، چنان زبانی لزوماً ناسازگار است:
1. به‌ازای هرجمله‌ای که در آن زبان ظاهر می‌شود، نام معینی برای آن جمله نیز در زبان مذکور ظاهر شود.
2. هر عبارت به‌دست آمده از صورتبندیT با جایگزین کردن نمادP با جمله‌یی از زبان و جایگزین کردن نماد «P» با نام آن جمله، یک جملة صادق از آن درنظر گرفته شود.
3. یک پیش‌فرض (مانند «S یک جملة صادق نیست» همانS است) که از لحاظ تجربی صحیح باشد، در زبان مورد نظر قابل صورتبندی باشد و یک جملة صادق لحاظ شود.
4. قواعد معمول منطق در آن برقرار باشد.(24)
2-5-5. تعریف معناشناختی و کلی جمله صادق در زبان صوری‌شده نوع اول. دربارة ماهیت زبان‌های صوری‌شده از نظر تارسکی توضیح مختصری قبلاً ارائه شد و گفتیم ساختار مشخص صوری داشتن و فقدان ویژگی عمومیت سبب می‌شود که زبان‌های صوری در نقطه مقابل زبان محاوره‌ای قرار داشته باشند. به اشاره نیز گفته شد که ویژگی دوم عاملی است تا به هنگام پژوهش پیرامون یک علم قیاسی صوری‌شده، میان زبانی که درباره‌اش حرف می‌زنیم و زبانی که در آن حرف می‌زنیم تمایز قائل شویم. زبان نخست را زبان موضوعی(object-language) و زبان دوم را فرازبان(meta-language) می‌نامیم.
اینک نوبت آن رسیده است تا دربارة ساختار صوری زبان نوع اول و نیز فرازبان (و فرانظریه) آن، از نظر تارسکی، سخن بگوئیم و پس از آن، درباب امکان یا عدم امکان تعریف معناشناختی و کلی «صدق» (و جملة صادق) در اینگونه زبان (باز هم از نگاه تارسکی) وارد بحث شویم.
5 - 5 - 2 - 1. ساختار صوری زبان نوع اول. تارسکی زبان حساب مجموعه‌ها را نمونه‌ای از زبان صوری‌شده نوع اول معرفی می‌کند و ساختار صوری آن‌را چنین توضیح می‌دهد که عبارت‌های این زبان از دو نوع علامت ساخته شده است. علامت ثابت‌ها و علامت متغیرها. علامت نفیN ، علامت جمع منطقیA ، سور عمومی و سرانجام علامت شمول چهار نوع از ثابت‌های این زبانند و در مورد متغیرها باید گفت که: اصولاً هر دستة دلخواهی از نمادها را می‌توان به‌عنوان متغیر استفاده کرد، به‌شرط آنکه تعداد آنها محدود نباشد و از لحاظ شکل با ثابت‌ها فرق داشته باشند. (مانند سX ، طX ، سط.(X در تعبیر شهودی زبان که در این‌جا مد نظر است، متغیرها نمایان‌گر نام مجموعه‌های افراد هستند که عبارت‌های زبان حساب مجموعه‌ها یا ثابت‌ها و متغیرهای تنها هستند و یا مجتمعی از این علامت‌ها که پشت هم می‌آیند (مثل طX و سN1 X و طNX سX )
تارسکی سپس به فرازبان و فرانظریة حساب مجموعه‌ها می‌پردازد و متذکر می‌شود که اولاً برشماری علامت‌ها و عبارت‌هایی که در فرازبان مورد استفاده قرار می‌گیرند و ثانیاً ساختِ دستگاهی از اصول موضوعه که برای برپا داشتن فرانظریه کافی باشند ضرورت دارد. بنابر توضیحات او عبارت‌هایی که در فرازبان مورد استفاده قرار می‌گیرند، بر دو نوعند: اول عبارت‌های دارای ویژگی منطقی عام که از یک دستگاه توسعه‌یافتة منطق ریاضی استنباط گشته‌اند و خود به عبارت‌های اولیه و عبارت‌های تعریف‌شده تقسیم می‌شوند و دوم عبارت‌هایی که برخلاف عبارت‌های نوع اول، اصطلاحات خاص فرازبان با ویژگی توصیفی - ساختاری هستند و بنابر این نام علامت‌ها و عبارت‌های زبان حساب مجموعه‌ها محسوب می‌شوند. به‌علاوه در فرازبان به نمادهایی نیازمندیم که به کمک آنها از متغیرهای فرازبان سخن بگوئیم. ساخت دستگاه اصول موضوعی در تاسیس فرانظریه نیز بدین‌گونه است که متناظر با دو نوع عبارت در فرازبان، دستگاه اصل موضوعی فرازبان نیز شامل دو نوع اصل موضوعة کاملاً متمایز خواهد بود: اصول موضوعة منطقی عام که برای یک دستگاه نسبتاً فراگیر منطق ریاضی کافی است و اصول موضوعة خاص فرازبان که توصیف‌کنندة برخی از خواص ابتدایی مفاهیم توصیفی - ساختاری بوده و با دریافت شهودی ما سازگار هستند.
حال می‌توان با استفاده از عبارت‌ها و نمادهایی که در فرازبان برشمرده شد به تعریف آن مفاهیمی پرداخت که حساب مجموعه‌ها را به یک علم استنتاجی صوری‌شده مبدل می‌کند. آن مفاهیم عبارتند از: مفهوم جمله، اصل موضوعه، نتیجه و جملة اثبات‌پذیر، اما مقدم بر تعریف آنها لازم است تعدادی از نمادهای کمکی تعریف شوند که نشان‌گر انواع گوناگونی از عبارت‌های ساده هستند و معرفی مفاهیم مذکور را تسهیل می‌کنند. این نمادها عبارتند از: نمادهای شمول، نقیض، جمع منطقی، جمع منطقی یک دنبالةn حدی محدود عطف، سور عمومی، تابع جمله‌ای و متغیر آزاد تابع جمله‌ای. و به کمک همه این مفاهیم می‌توان اصطلاحات: «دستگاه استنتاجی»، «سازگاری مجموعه‌یی از جملات»، «تمامیت مجموعه‌یی از جملات» و درنهایت «جملات هم‌ارز» را تعریف کرد.(25)
5 - 5 - 5 - 2. تعریف صدق در زبان حساب مجموعه‌ها. اکنون می‌توان به مسئله اصلی خود پرداخت: آیا می‌توان تعریفی معناشناختی و کلی از «جملة صادق» در زبان حساب مجموعه‌ها ارایه کرد؟ تارسکی ابتدا نشان می‌دهد که جملة صادق در زبان یک علم استنتاجی صوری‌شده همان «قضیه اثبات‌پذیر» نیست. او از زاویه دیگری به تعریف جملة صادق نزدیک می‌شود. توضیح او از این قرار است:(26)
می‌دانیم که متناظر با هر جملة زبان حساب مجموعه‌ها، نه‌تنها یک نام توصیفی - ساختاری برای آن جمله در فرازبان وجود دارد، بلکه جمله‌یی نیز با همان معنا وجود دارد. برای روشن کردن محتوا و مفهوم صدق در مورد جملة خاصی از زبان مورد نظر، می‌توانیم همان شیوه‌یی را که در صورتبندیT به‌کار بردیم، مورد استفاده قرار دهیم. (به‌جایX نام جمله را بگذاریم و به‌جای «P» ترجمة آن‌را در فرازبان قرار دهیم.)
تمام جملاتی که به این روش به دست می‌آیند، طبعاً به فرازبان تعلق دارند و معنای عباراتی به‌شکل «X یک جملة صادق است» را توضیح می‌دهند. حال می‌توانیم با استفاده از نماد «Tr» به‌جای مجموعة همه جمله‌های صادق قرارداد زیر را ارائه دهیم:
قرارداد.T یک تعریف صحیح از لحاظ صوری برای نماد «Tr» که در فرازبان صورتبندی شده باشد، یک تعریف کافی از صدق خوانده می‌شود اگر دارای پیامدهای زیر باشد:
- (a) تمام جملاتی که از عبارت «XeTr اگر و فقط اگرP » با قراردادن یک نام توصیفی - ساختاری برای هر جمله‌یی از زبان مورد نظر به‌جای نماد «X» و قراردادن عبارتی که ترجمة آن جمله به فرازبان است به‌جای نماد «P» بدست می‌آیند؛
- (b) جمله «به‌ازای هرX ، اگرXeTr آنگاهXeS » (به‌عبارت دیگرTrS ») حال می‌گوئیم: اگر زبان مورد نظر فقط شامل تعداد محدودی جمله باشد که از ابتدا درنظر گرفته شده‌اند، و اگر می‌توانستیم این جمله‌ها را بشماریم، آنگاه مسئله تعریف صدق با مشکلی مواجه نمی‌شود. بدین منظور کافی است طرح زیر را کامل کنیم:
XeTr اگر و فقط اگر یا 1X=X و 1P، یا 2X=X و 2P و یاX=Xn وPn ، که نمادهای «1X»، «2X»،...، «Xn» توسط نام‌های توصیفی - ساختاری تمام جمله‌های زبان مورد نظر جایگزین می‌شود و به‌جای «1P»، «2P»،...، «Pn» ترجمه‌های این جملات در فرازبان قرار می‌گیرند.
اما همیشه وضع اینگونه نیست که زبان مفروض ما شامل جملات محدودی باشد. پس باید به زبان‌هایی بپردازیم که تعداد جملات آنها نامحدود باشد. در آن صورت تعریفی که مطابق طرح پیش‌گفته انجام پذیرد، از تعداد نامحدودی واژه تشکیل می‌شود و چنان جملاتی را نمی‌توان در فرازبان یا هر زبان دیگری صورتبندی کرد. در نتیجه کار ما بسیار پیچیده است.
آیا می‌توان از روش بازگشتی استفاده کرد؟ تارسکی ابتدا پاسخ منفی می‌دهد و استدلال می‌کند که: در روش بازگشتی جملات زبان را به ابتدایی و پیچیده تقسیم کرده و نحوة پیدایش جملات مرکب از جملات ساده را بازگو می‌کنیم و سپس طریقة وابستگی «صدق و کذب جمله‌های مرکب» به «صدق و کذب جمله‌های ساده» تعیین می‌شوند. اما مانعی جدی بر سر این راه وجود دارد: جملات مرکب به هیچ‌وجه عموماً از جملات ساده ساخته نشده‌اند. توابع جمله‌یی از توابع ابتدایی نشأت می‌گیرند و جمله‌ها موارد خاص از توابع جمله‌یی هستند. بنابراین به هیچ‌وجه نمی‌توان جملة صادق را در زبان‌های دارای جملات نامحدود از طریق بازگشتی تعریف نمود.
با این همه تارسکی اضافه می‌کند که:
«به‌هرحال، این امکان به ذهن می‌رسد که بتوان یک تعریف عمومی‌تر را که در مورد هر تابع جمله‌یی به‌کار می‌رود، به‌طور بازگشتی ارائه داد و بدین‌ترتیب با به‌کار گرفتن آن درخصوص جملات، به مفهوم صدق رسید.(27)
تارسکی در ادامة بحث همین شیوه را در پیش می‌گیرد؛ مطابق توضیح او استفاده از روش بازگشتی (با مبنا قرار دادن توابع جمله‌یی و نه جملات) زمانی میسر می‌گردد که مفهوم «صدق‌پذیری یک تابع جمله‌یی معین توسط اشیای معین» (و در این مورد مجموعه‌های معین از افراد) به‌خوبی ادراک گردد.
5 - 5 - 5 - 2 - 1. تعریف صدق‌پذیری. معنای معمولی این مفهوم را در کاربرد عادی با چند مثال روشن می‌کنیم:
1. در مورد یک تابع جمله‌یی معین که فقط دارای یک متغیر آزاد است وقتی می‌گوئیم «فلان شیء این تابع جمله‌یی را صدق‌پذیر می‌کند» منظورمان چیست؟ برای توضیح طرح زیر را در نظر بگیرد:
به‌ازای هرa ،a تابع جمله‌ییX را صدق‌پذیر می‌کند اگر و فقط اگرP .
حال به‌جای «P» تابع جمله‌یی داده شده را قرار می‌دهیم (البته بعد از قراردادن «a» به‌جای متغیر آزاد آن و به‌جایX یک نام منفرد برای این تابع.) بدین‌ترتیب در زبان محاوره‌یی می‌توانیم صورتبندی زیر را فراهم آوریم:
به‌ازای هرa ،a تابع جمله‌یی «X سفید است» را صدق‌پذیر می‌کند اگر و تنها اگرa سفید باشد. (از این‌جا می‌توان نتیجه گرفت که برف تابع جمله‌یی «X سفید است» را صدق‌پذیر می‌کند.)
2. در موردی که تابع جمله‌یی دارای دو متغیر آزاد متمایز باشد هم، به شیوه‌ای کاملاً مشابه عمل می‌کنیم. فقط با این تفاوت که مفهوم «صدق‌پذیری» اینک نه به اشیای منفرد بلکه به جفت‌های مرتب اشیأ دلالت می‌کند. بدین‌ترتیب به صورتبندی زیر می‌رسیم:
به‌ازای هرa وb ،a وb ، تابع جمله‌یی «X،Y را می‌بیند» را صدق‌پذیر می‌کنند، اگر و فقط اگرa ،b ، را ببیند؛ به‌ازای هرa وb ،a وb ، تابع جمله‌یی 3و2lه (یعنی طX و س(IX را صدق‌پذیر می‌کند اگر و فقطab .
3. سرانجام به حالت کلی می‌رسیم که در آن تابع جمله‌یی مورد نظر شامل تعداد دلخواهی متغیر آزاد است. می‌گوئیم، یک دنبالة نامحدود از اشیای مفروض، یک تابع جمله‌یی مفروض را صدق‌پذیر می‌کند. اگر خود را به توابع حساب مجموعه‌ها محدود کنیم، آنگاه ارایة توضیح روشنی پیرامون این عبارت توسط این واقعیت که تمام متغیرهای موجود در زبان این علم، در یک دنباله مرتب گشته‌اند (شمارش شده‌اند)، تسهیل می‌شود.
در بررسی این پرسش که کدام دنباله‌ها یک تابع جمله‌یی معین را صدق‌پذیر می‌کنند، همواره یک تناظر یک به چند را میان برخی از حدود دنبالةf و متغیرهای آزادِ تابع جمله‌یی مد نظر خواهیم داشت، که در آن به‌ازای هر متغیر، یک حد از دنباله با همان شاخص متناظر شده است. به‌طور کلی می‌توان طرح زیر را مد نظر داشت:
f تابع جمله‌ییX را صدق‌پذیر می‌کند اگر و تنها اگرf یک دنبالة نامحدود از مجموعه‌ها باشد و P.
با داشتن هر تابع جمله‌یی از حساب مجموعه‌ها، مثلاً،S ، به‌جای «X» در طرح مزبور، یک نام منفرد (توصیفی - ساختاری) برایS قرار می‌دهیم که در فرازبان ساخته شده باشد؛ درعین حال به جای تمام متغیرهای آزادS ، نهادهای متناظر «fk» و «(fl و غیره را قرار می‌دهیم و به‌جای «P» در طرح پیش‌گفته، عبارتی را که بدین طریق ازS به‌دست می‌آید می‌گذاریم (یعنی عبارتی که با ترجمةS به فرازبان فراهم می‌آید).
حال می‌توانیم برای تعریف کلی «صدق‌پذیر شدن یک تابع جمله‌یی توسط دنباله‌یی از مجموعه‌ها» از شیوة بازگشتی بهره بگیریم که تمام تعاریف جزئی این مفهوم را که از طریق طرح پیش‌گفته حاصل می‌گردند، به‌عنوان حالت‌های خاص دربر بگیرد.
بعد از این توضیحاتی به تعریف «صدق‌پذیری یک تابع جمله‌یی توسط اشیای معین» می‌پردازیم: تعریف:
«دنبالةf تابع جمله‌ییX را صدق‌پذیر می‌کند، اگر و فقط اگرf یک دنبالة محدود از مجموعه‌ها و X یک تابع جمله‌یی باشد و اگرf وX به‌گونه‌یی باشند که یا:
(a) اعداد طبیعیK وl وجود داشته باشند به‌گونه‌یی کهl وX=lK وfKfl ؛
(b) تابع جمله‌ییy وجود داشته باشد به‌گونه‌یی که ژX=y وf تابعy را صدق‌پذیر نکند؛
(g) توابع جمله‌ییy وX وجود داشته باشند به‌گونه‌یی کهX=y+Z وf یا درy صدق کند یا درZ ؛ یا سرانجام:
(d) یک عدد طبیعیK و یک تابع جمله‌ییy وجود داشته باشد به‌گونه‌یی کهky هX= و هر دنبالة نامحدود از مجموعه‌ها که حداکثر به‌جایK اُم ازf متمایز است،y را صدق‌پذیر کند.
مفهوم صدق‌پذیری یک تابع جمله‌یی در بررسی‌های معناشناختی زبان اهمیت بسزایی دارد و معانی تعداد فراوانی از مفاهیم معناشناختی را می‌توان به کمک آن مفهوم تعریف کرد. در ادامه بحث مفهوم صدق یا جملة صادق را به کمک مفهوم مزبور تعریف می‌کنیم.
5 - 5 - 5 - 2 - 2. تعریف صدق (یا جملة صادق). می‌توان دریافت که صدق کردن یا نکردن یک دنباله در یک تابع جمله‌ای فقط به حدودی از دنباله وابسته است که با متغیرهای آزاد تابع در تناظر باشد، لذا در حالتی که تابع جمله‌یی مذکور یک جمله است و هیچ متغیر آزادی ندارد، صدق‌پذیری تابع توسط دنباله، به خواص حدود دنباله بستگی ندارد. در آن صورت فقط دو امکان باقی می‌ماند:
اول: یا هر دنبالة نامحدود از مجموعه‌ها، جملة مزبور را صدق‌پذیر می‌کنند.
دوم: یا هیچ دنباله‌یی در آن جمله صادق نیست.
جمله اول صادق و جمله دوم کاذب خوانده می‌شود.
تعریف جمله صادق: «X یک جملة صادق است - به‌طور نمادین- XeTr اگر و فقط اگرXeS و هر دنبالة نامحدود از مجموعه‌هاX را صدق‌پذیر کند.»
در درستی صوری تعریف مذکور شکی نیست ولی آیا از لحاظ محتوایی هم، حداقل به معنایی که قبلاً در «قراردادT » مطرح شد، درست است؟
پاسخ مثبت است. تعریف مذکور یک تعریف عام (کافی) از صدق به معنایی که در قراردادT آمده می‌باشد. چراکه نتایج آن شامل تمام لوازم قرارداد است. تعداد این نتایج نامحدود و اثبات آن تعریف مستلزم ساخت یک ابزار استدلالی کاملاً جدید است که ترجیحاً وارد آن نمی‌شویم.(28)
خلاصة رأی تارسکی
جان کلام تارسکی آن است که (با صرف نظر از زبان محاوره‌یی که هرگونه تلاش برای تعریف مفهوم صدق و جملات صادق در آن به پارادوکس منتهی می‌شود) اگر از معنای کلی صادق بودن جمله در یک زبان صوری شده خاص پرسش کنید، می‌توان معنای آن‌را توضیح داد اما نمی‌توان یک تعریف کلی و عام برای صدق جملات در هر زبان صوری‌شده ارائه کرد. مراحل دستیابی به مفهوم جمله صادق (در یک زبان صوری‌شده خاص) به اختصار تمام چنین است که:
ابتدا باید در مورد هر زبان صوری‌شده خاص یک فرازبان و یک فرانظریه را که حیطة ویژة تحقیق را تشکیل دهد، معین ساخت. سپس با کامل شدن فرانظریه باید به تشخیص توابع جمله‌یی و به‌ویژه جمله‌ها از بقیه عبارت‌های زبان پرداخت و به‌دنبال این کارهای مقدماتی است که می‌توانیم تکلیف اصلی‌مان یعنی تعریف جملة صادق را در دستور کار قرار دهیم. تارسکی توضیح می‌دهد که شیوه ساخت این مفهوم مستلزم تعریف مفهوم دیگری است که در پژوهش‌های معناشناختی زبانی اهمیت بسزایی دارد. یعنی مفهوم «صدق‌پذیر شدن یک تابع جمله‌یی توسط دنباله‌یی از اشیا» برای تعریف صحیح «صدق‌پذیری» باید از تعریف بازگشتی بهره گرفت. بدین منظور کافی است با رجوع به تعریف بازگشتی تابع جمله‌یی و معنای شهودی توابع جمله‌یی ابتدایی و اعمال بنیادی دو موضوع را روشن کنیم:
اول اینکه چه دنباله‌هایی توابع بنیادی را صدق‌پذیر می‌کنند؟ و دوم آنکه رفتار مفهوم صدق‌پذیری هنگام به‌کار بردن هریک از اعمال بنیادی چگونه است؟ یا به بیان دقیق‌تر با فرض اینکه می‌دانیم کدام دنباله‌ها توابع جمله‌یی مورد نظر را صدق‌پذیر می‌کنند، می‌خواهیم بدانیم، کدام دنباله‌ها توابع جمله‌یی به‌دست آمده از آنها را با به‌کارگیری یکی از عمل‌های بنیادی صدق‌پذیر می‌کنند.
به محض آنکه توانستیم معنای دقیق صدق‌پذیری را دریابیم، تعریف صدق کار چندان دشواری نخواهد بود:
«جملات صادق جملاتی هستند که هر دنبالة دلخواهی از اشیأ آنها را صدق‌پذیر می‌کنند.» اما دریافت معنای «صدق‌پذیری» چندان آسان نیست و در این خصوص گاه با موانع بنیادی برخورد می‌کنیم. توضیح سرشت معضلات و موانع مزبور مستلزم بحث درباره مفهوم مقولة معناشناختی است. تارسکی تذکر می‌دهد که از دیدگاه ساختار منطقی، زبان‌های نوع اول (نظیر زبان حساب مجموعه‌ها) ساده‌ترین زبانها هستند و تعریف صدق‌پذیر شدن یک تابع جمله‌یی توسط دنباله‌یی از اشیأ و نیز تعریف جملة صادق در این زبان مشکلی ایجاد نمی‌کند. مشکلات فقط هنگامی ظاهر می‌شوند که زبان‌های بغرنج‌تر (مثلاً نوع دوم و سوم و چهارم را درنظر بگیریم.(29)
چنانکه پیدا است تعریف جمله صادق با همه اجزا و ترتیبی که دارد، در محدوده فرازبان صورت می‌پذیرد و اگر مرزی و میزی میان آن با زبان صوری‌شده موضوعی رسم نمی‌گردید، تعریف مفهوم صدق محال بود.
پی‌نوشت‌ها
.1 مطالب این قسمت از مقاله‌یی در منبع زیر استخراج گردیده است:
London: Routledge and Kegan Paul Ltd, 7691, PP. ؛Henryk Skolimovski, Polish Analytical Philosophy .24-55
.43. John Passmore. A Hundred Years of Philosophy. New York, Penguin Books, 7591, P. 2
. A. Coffa. The Semantic Tradition From Kant to Carnap. New York, Cambridge University Press,3 .199289. P 1
.281. ibid, P. 4
.283. ibid, P. 5
. A. Tarski, "The Establishment of Scientific Semantics" in: Logic, Semantics, Metamathematics. New6 .689402, P. 1York, Oxford,
.281. A. Coffa, OP. Cit, P. 7
.8 ارنست ناگل، ج نیومن و آلفرد تارسکی، برهان گودل و حقیقت و برهان، ترجمه محمد اردشیر، تهران: انتشارات مولی، چاپ اول، 1364، ص 121.
.53. A Tarski. The Semantic Conception of Truth the Foundation of Semantic. P. 9
.10 ارنست ناگل و...، همان، ص 110.
1. A. Tarski. The Concept of Truth in Formalized Langueges.in: Logic, Semantics, Metamathematics,1 .65954, P. 1New York, Oxford,
.12 ارنست ناگل و...، همان، ص 115.
.13 همان، ص 116.
.14 همان، ص 117.
.553. A Tarski. The Semantic Conception of Truth,... P. 1
.6567. A Tarski. The Concept... P. 1
.7267. ibid, P. 1
.8166. A. Tarski. op.cit, 1
.9215. A. Tarski. op.cit, P. 1
.0216. ibid, P. 2
.1216. ibid, P. 2
.2220. ibid, P. 2
.3158. ibid, P. 2
.4155-165. ibid, PP. 2
.5175-193. A. Tarski, op.cit, PP. 2
.6186-199. ibid, PP. 2
.7402. A. Tarski. The Establishment of... P. 2
.8186-199. A. Tarski. The Concept of Truth... PP. 2
.9209-215. ibid, PP. 2
تبلیغات
