هندسه نااقلیدسی، انقلابی پارادایمی در ریاضیات (مقاله علمی وزارت علوم)
درجه علمی: نشریه علمی (وزارت علوم)
درجه علمی در دسته‌بندی سابق وزارت علوم: علمی-پژوهشیآرشیو
چکیده
تصویر کوهن از سیر تحول یک علم را می‌توان به وسیلة طرح بی‌پایان زیر خلاصه کرد: پیش علم - علم عادی - بحران - انقلاب - علم عادی جدید - بحران جدید ویژگی عمدة نظریة وی تأکیدی است که بر ممیزة انقلابی تحولات علمی دارد؛ به طوری که طبق آن، انقلاب متضمن طرد و رد یک ساختار نظری و جانشینی ساختار ناسازگاری دیگر است. ویژگی مهم دیگر، نقش پراهمیتی است که ممیزات جامعه شناختی جوامع علمی در نظریة کوهن ایفا می‌کند. از زمان انتشار کتاب ساختار انقلابهای علمی همواره این پرسش مطرح بوده که آیا تصویر کوهن از تاریخ علوم طبیعی در مورد ریاضیات نیز به کار بردنی است. به نظر می‌رسد پاسخ منفی باشد؛ زیرا واضح است که طبیعت ریاضیات از مهم ترین ویژگی تصویر کوهن از توسعة یک علم, یعنی "انقلاب" پیروی نمی‌نماید. در این مقاله سعی شده تا نشان داده شود که گذر از هندسة اقلیدسی به هندسة نااقلیدسی انقلابی کوهنی در ریاضیات است. البته این بدان معنا نیست که تمامی مقوّمات تصویر کوهن عیناً در حوزة ریاضیات صادق است؛ بلکه دو ویژگی مهم آن, یعنی ممیزة انقلابی تحول علمی و ممیزة جامعه‌شناختی علم, درحوزة معرفت ریاضی نیز صدق می‌نماید. به عبارت دیگر, انقلاب کوهنی در ریاضیات واقعاً امکان‌پذیر است, هرگاه ما با یک پارادایم کوهنی در ریاضیات سروکار داشته باشیم که مورد پذیرش جامعة علمی قرار گرفته باشد. تغییر این پارادایم, انقلاب کوهنی را در پی خواهد داشت.متن
مقدمه
در تصویر کوهن از شیوة تحول یک علم، پارادایم مشتمل است بر مفروضات کلی تئوریک، قوانین، فنون، کاربردها و ابزارآلات که اعضای جامعة علمی خاصی را بر می‌گیرند. پژوهشگران درون یک پارادایم، خواه مکانیک نیوتنی باشد؛ خواه علم الابصار موجی و یا شیمی تحلیلی و یا هر چیزی دیگر به امری مشغولاند که کوهن آن را "علم عادی" می‌نامد. کوشش دانشمندان عادی جهت تبیین و تطبیق رفتار برخی از چهره‌های مربوط به هم عالم طبیعت که به واسطة نتایج آزمایش آشکار گردیده، پارادایم را تفصیل و توسعه می‌بخشد. ضمن این کار، آنها لاجرم مشکلاتی را تجربه خواهند کرد و با مشاهدات خلاف انتظار یا اعوجاجهای آشکاری مواجه خواهند شد. اگر مشکلاتی از آن نوع را نتوان فهم و رفع نمود, وضعیتی "بحرانی" به وجود خواهد آمد. بحران هنگامی مرتفع خواهد شد که پارادایم کاملاً جدیدی ظهور نماید و مورد حمایت روزافزون دانشمندان واقع شود تا جایی که پارادایم مسأله‌انگیز اولیه در نهایت مطرود شود. پارادایم جدید، حاوی نویدهایی است و مشکلات ظاهراً فایق نیامدنی ندارد و از این پس, فعالیت علمی عادی جدید را هدایت می‌کند تا اینکه آن نیز با مشکلاتی جدی رو به رو شود و بحران جدیدی بزاید که به دنبال آن, انقلاب جدیدی ظاهر شود. به نظر "چالمرز" ویژگی عمدة چنین طرح بی‌پایانی دربارة تحول یک علم،"تأکیدی است که بر ممیزة انقلابی پیشرفتهای علمی دارد؛ به طوری که طبق آن, انقلاب متضمن طرد و رفض یک ساختار نظری و جانشینی ساختار ناسازگار دیگری باشد". (چالمرز، 1374، ص 13).
به طوری که کوهن پارادایم‌های پیش و پس از انقلاب را "قیاس ناپذیر" می‌داند. معمولاً گمان میشود در زمان یک انقلاب علمی، معیارهایی که دانشمندان در ارزیابی رجحان یک نظریه بر نظریة رقیب استفاده می‌نمایند، عبارتاند از: "دقت پیش‌بینی به ویژه پیش بینی کمّی، توازن بین موضوعات روزمره و غامض، و تعداد مسائل مختلف حل شده " (kuhn;1970,p.206), اما کوهن معتقد است معیارهایی از این قبیل ارزشهای جامعة علمی را تشکیل می‌دهند و شیوه‌هایی که این ارزشها به مدد آن تعیین میشود "باید در تحلیل نهایی، روانشناختی یا جامعه‌شناختی باشد؛ به عبارت دیگر، باید توصیف یک نظام ارزشی یا یک ایدئولوژی باشد, همراه با تحلیلی از نهادهایی که به واسطة آنها آن نظام انتقال و استحکام می‌یابد" (lakatos and musgrave; 1970, p.21) "هیچ معیاری بالاتر از موافقت جامعة مربوطه نیست" (kohn; 1970, p.94) کوهن این ادعا را با مثالهایی از تاریخ علم در حوزه‌هایی همچون فیزیک، نجوم و شیمی درکتاب ساختار انقلابهای علمی بیان می‌کند. پرسشی که مطرح میگردد این است که آیا این گونه تحول را درحوزه‌های دیگر علوم نیز می‌توان دید؟ در این میان, ریاضیات از اهمیت بسزایی برخوردار است؛ زیرا معمولاً تصور میشود که ریاضیات صرفاً یک سری مدلهای مجرد منطقی به همراه علایم صوری است که به دور از ویژگیهای روانی و شخصیتی ریاضیدانان و خصوصیات و تعلقات جامعه‌ای که در آن زندگی می‌کنند، در ذهن ریاضیدان شکل می‌گیرد و هنگامی که در جامعة ریاضی مطرح میشود، ریاضیدانان به دور از تعلقات گروهی، اجتماعی و تعهدات متافیزیکی که متأثر از نوع نگرش جامعه‌ای است که در آن زندگی می‌کنند، به ارزیابی آن میپردازند و باتوجه به معیارهایی چون پیروی از اصول منطق و سازگاری میان اصول موضوعه و قضایا، دربارة صحت و سقم آن تصمیم می‌گیرند. همچنین ریاضیدانان انسانهایی معقول‌اند که تنها به صحت و درستی منطقی یک ساختار ریاضی می‌اندیشند و اگر نظریه‌ای ریاضی این شرط را برآورده نماید, مورد پذیرش جامعة ریاضی قرار خواهد گرفت. در این مقاله سعی شده با ارائة نمونه‌ای از تاریخ هندسه, یعنی انقلاب نااقلیدسی، اولاً پارادایمی بودن هندسة اقلیدسی در مدت بیش از دو هزار سال _ از یونان باستان تا قرن نوزدهم _ نشان داده شود و ثانیاً اعوجاج بودن اصل توازی برای پارادایم هندسه اقلیدسی در این دوران بررسی گردد و نشان داده شود که چگونه این اعوجاج سرانجام به بحرانی در این حوزه در اوایل قرن نوزدهم می‌انجامد و نهایتاً انقلاب نااقلیدسی را در پی می‌آورد. ثالثاً نشان داده میشود که چگونه جامعة ریاضی‌دانها براساس ارزشها، باورها و تعهدات متافیزیکی خود, در رویارویی با هندسة جدید, واکنشی خصمانه بروز می‌دهند و چگونه سرانجام شهرت و اعتبار ریاضی‌دانی که از هندسه نااقلیدسی حمایت می‌کند - ونه صرفاً سازگاری منطقی هندسه نااقلیدسی - سبب پذیرش هندسة جدید میگردد.
1ـ اصول (Elements)
سدة چهارم پیش از میلاد, مسیح ناظر شکوفایی آکادمی علوم و فلسفة افلاطون بود. تقریباً تمامی کارهای مهم ریاضی این دوره به وسیلة دوستان یا شاگردان افلاطون انجام شده است. تأثیر افلاطون بر ریاضیات، معلول هیچ یک از کشفیّات ریاضی وی نبوده است؛ بلکه به سبب این اعتقاد شورآمیز وی بود که مطالعة ریاضیات عالیترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می‌آورد و از این رو, در پرورش فیلسوفان و کسانی که باید دولت آرمانی وی را اداره می‌کردند، نقش اساسی داشت. از نظر وی "ریاضیات وضع واسطه‌ای بین صور و اشیا دارند "و " صفات محسوس اجسام به ساختمان هندسی ذرات آنها بستگی دارد. این ساختمان هندسی به وسیلة ساختمان سطوح آنها متعین میشود و ساختمان سطوح آنها بوسیلة ساختمان دو نوع مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه و قائم الزاویه مختلف الاضلاع، که از آنها ساخته شده‌اند."(کاپلستون، 1368, ص 225). از این رو هندسه برای او اهمیت بسیار داشت. این اعتقاد، شعار معروف او را بر سر در آکادمی‌اش توجیه می‌کند: «کسی که هندسه نمی‌داند داخل نشود».
اقلیدس یکی از شاگردان مکتب افلاطون بود. وی سعی کرد ریاضیاتی را که توسط فیثاغورسیان شروع شده بود و بعداً بقراط، ائودوکسوس، تئاتیتوس و دیگران مطالبی به آن افزوده بودند، در کتابی به نام اصول گردآوری نماید. ارزش عمدة این اثر در گزینش ماهرانة قضایا و دادن ترتیب منطقی به آنهاست. اقلیدس در اصول سعی کرد تا نمونه‌ای از تفکر اصل موضوعی را ارائه نماید. برای اینکه گزاره‌ای در یک دستگاه قیاسی اثبات شود، باید نشان داد که این گزاره پیامد منطقی لازم چند گزاره است که قبلاً به اثبات رسیده‌اند. گزاره‌های اخیر نیز خود باید به کمک گزاره‌هایی که قبلاً اثبات شده‌اند ثابت شوند و به همین ترتیب تا آخر. چون این تسلسل را نمی‌توان به طور نامحدود ادامه داد، در ابتدای امر، باید مجموعة محدودی از گزاره‌ها پذیرفته شوند. این گزاره‌های بدواً پذیرفته شده, "پوستولاها" یا "اصول موضوعه" مبحث نامیده میشوند و تمام گزاره‌های دیگر مبحث باید به طور منطقی به وسیلة آنها ایجاب شوند. وقتی که گزاره‌های یک مبحث بدین صورت منظم شوند، گفته میشود که مبحث در شکل اصل موضوعی عرضه شده است. یکی از مهم ترین کارهای اقلیدس در کتاب اصول, بیان هندسه در قالب یک سیستم اصل موضوعی بود. در ساختن چنین سیستمی یک سری اصطلاحات هندسی همچون "نقطه" و "خط" به کار می‌رفتند که وی نهایت سعی خود را به کار گرفت تا همة این اصطلاحات را تعریف نماید. مثلاً او نقطه را "چیزی که هیچ جزء ندارد" و "خط" را "طولی بدون پهنا" تعریف نمود. همچنین او "خط مستقیم" را چنین تعریف می‌نماید: "خطی که به نحوی هموار بر نقاطی که برخود آن هستند قرار داشته باشد".
پنج اصل معروف وی در باب هندسه عبارتاند از:
اصل اول: از هر نقطه می‌توان خط مستقیمی به هر نقطة دیگر کشید.
اصل دوم: هر پارهخط مستقیم را می‌توان روی همانخط بطور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم: می‌توان دایره‌ای با هر نقطة دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پارهخط رسم شده از مرکز آن ترسیم کرد.
اصل چهارم: همة زوایای قائمه با هم مساویاند.
اصل پنجم: اگر خط مستقیمی دو خط مستقیم را قطع کند, بهطوری که مجموع زوایای داخلی یک طرف آن کمتر از دو قائمه باشد، این دو خط مستقیم، اگر به طور نامحدود امتداد داده شوند، در طرفی که دو زاویه مجموعاً از دو قائمه کمترند، همدیگر را قطع خواهند کرد.
اقلیدس با استفاده از این تعاریف و اصول, کلیه قضایای هندسی را ثابت کرد. ج. جیکسترویز (E.J.Dijksterhuis) در کتاب ارزشمند مکانیکی کردن تصویر جهان (The Non-Euclidean Revolution) صفحات 50 تا 52 سه عامل مهم را بیان می‌کند که سبب پذیرش و اقبال شگفت‌آور به کتاب اصول شد. وی معتقد است اولاً, اقلیدس در مقالة چهارم کتاب اصول, بیان استادانه‌ای از نظریة ائودوکسوس در مورد تناسب ارائه می‌نماید. این نظریه قابل استفاده در کمیتهای نامتوافق و متوافق, "رسوایی منطقی" ناشی از کشف اعداد ناگویا به وسیلة فیثاغورس را حل کرد که یکی از دستاوردهای مهم ریاضیات یونانی بود و الگویی برای ارائة راهحلهای مسائل دیگر قرار گرفت. ثانیاً, ریاضیات یونانی فاقد نمادهای مناسب ریاضی بود. آنها از حروف برای نمایش اعداد استفاده می‌کردند و معادلات جبری را با پرگویی بسیار بیان می‌کردند. اقلیدس در مقالة پنجم اصول که نظریة ائودوکسوس دربارة تناسب را در هندسه مسطحه به کار می‌برد، راه حل هندسی برای معادلات درجة دوم ارائه می‌کند. این روش هندسی بسیار مختصر و موجزتر از روشهای جبری بود که با پرگویی‌های بسیار همراه بود. ثالثاً, از همة مهمتر نوع نگرش حاکم بر حوزة ریاضیات و فلسفه بود. این حوزه‌ها به شدت تحت تأثیر فلسفه افلاطون بودند. مطابق نگرش وی, هندسه دربارة "مثل" عالم بالا صحبت می‌کند. اگر ما در مواردی در زندگی روزمره, ناگزیر به استفاده از نمایش اشکال هندسی هستیم, تنها برای تذکر به آن مثل می‌باشد. افلاطون چنان مقامی برای هندسه قائل بود که وقتی در رسالة منون برای وضوح بخشیدن به یکی از آرای خویش, یعنی نظریة تذکر، به ریاضیات توسل می‌جوید، از قضیه‌ای استفاده می‌نماید که قابل نمایش هندسی است. این عوامل سبب شد به محض اینکه اصول پدید آمد, نهایت توجه را به خود جلب کرد؛ بهطوری که هاورد. و. ایوز (Howard W.Eves) مورخ ریاضی امریکایی، اصول را یکی از خط سیرهای مهم تکامل ریاضیات در یونان می‌داند. وی می‌گوید: "در تکامل ریاضیات طی 300 سال اول ریاضیات یونانی, سه خط سیر مهم و متمایز را می‌توان تشخیص داد؛ ابتدا، بسط مطالبی است که مآلاً در اصول مدون شد... خط سیر دوم, شامل بسط مفاهیمی است در رابطه با بی‌نهایت کوچکها... و سومین مسیر تکامل, مربوط به هندسه عالی یا هندسة منحنیهایی به جز دایره و خط مستقیم و سطوحی غیر از کره و صفحه است» (ایوز، 1368، ص 101).
مقام رفیعی که هندسه بهواسطة اصول و نگرش افلاطونی به ریاضیات یافت, چنان بود که تفکر علمی دانشمندان حوزه‌های علم الابصار و علم مکانیکی نیز عادتاً به کمک اشکال فضایی صورت می‌گرفت.
2ـ عصر هندسة اقلیدسی
در قرون وسطا, ریاضیات مجرد و بالاخص هندسه چندان توسعه‌ای نیافت. بلکه صرفاً به جنبه‌های علمی این موضوع که با تجارت و شهرسازی مربوط میشد اکتفا می‌گشت. اما در اواخر قرون وسطا کاوشهای ریاضی جان تازه‌ای گرفت. لئوناردو داوینچی در مکانیک و هیدرولیک و اپتیک، آزمونهای وسیعی به عمل آورد، همة مسبوق بدین فرض که نتایج متقن را باید به زبان ریاضی بیان کرد و به نمایش هندسی باز نمود. در قرن بعد، یعنی قرن ظهور کتاب دوران ساز کپرنیک، دیگر همة متفکران بزرگ در مکانیک و سایر علوم فیزیکی _ ریاضی به روش هندسی گردن نهاده بودند. تارتاگلیا در کتاب علم جدید (Tartaglia: Nova Scienza) خود، که به سال 1537 انتشار یافت، همین روش را در حل مسألة سقوط اجسام و برد نهایی پرتابه‌ها به کار برد و ستی ونوس (Stevinus) (1630-1548) طرح خاصی را به کار گرفت تا به کمک خطوط هندسی، نیرو و حرکت و زمان را مصور سازد.
در سده‌های پانزدهم و شانزدهم، نمادهای جبری رواج یافتند؛ اما این سبب کاسته شدن از اوج و اعتبار هندسه نشد. برای نمونه, باید به کاوشهای ریاضی در این دو قرن که دربارة تئوری معادلات بود، اشاره نمود. این کاوشها دربارة یافتن روشهایی برای تبدیل و ساده کردن (Reduction) و حل معادلات درجة دوم و سوم بود. مثلاً پاچیولی (Pacioli) (متوفی به حدود سال 1510) بیشتر به دنبال آن بود که علم بالندة جبر را در تحقیق خواص اشکال هندسی به کار گیرد. مسائلی که با آنها سروکار داشت از این قبیل بود؛ شعاع دایره‌ای که در مثلثی محاط شده, چهار اینچ است؛ قطعاتی از یک ضلع که در دو طرف نقطة تماس (دایره و مثلث) قرار دارند, شش اینچ و هشت اینچ است؛ طول دو ضلع دیگر را تعیین کنید. دانشجویان این روزگار، با یک معادلة سادة جبری مسأله را حل می‌کنند, ولی پاچیولی جز از طریق یک ترسیم پیچیدة هندسی, بدین منظور نائل نمی‌آمد و از جبر فقط برای محاسبة طول پاره خطهای منظور بهره می‌جست. به همین نحوه, برای حل معادلات درجة دوم و سوم نیز در قرن شانزدهم همواره از روشهای هندسی بهره می‌جستند. بال (Ball) نمونة دلپذیری را ذکر می‌کند که فی المثل کاردانوس (Cardanus) برای حل معادلة درجة سوم r =qx+ 3 x از چه راه پر مشقتی عبور می‌کرد (برت, صص35و 34).
رفته رفته امکانات وسیعی که در نمادهای جبری نهفته بود از قوه به فعل رسید و ریاضیدانان با روشهای پیچیده‌تر آشنایی یافتند، در عین اینکه هنوز هم به نمایش هندسی تحقیقات خویش متکی بودند. به زمان کاردانوس که می‌رسیم، مسائل مبتلا به متفکران به درجه‌ای از غموض و ترکب می‌رسد که معادلات مربوط, محتاج تبدیلات و به خصوص ساده کردنهای مکرر، با حفظ مقدار اصلی میشوند و به زبان هندسی، لازم می‌آید که اشکال مرکب را به اشکال ساده‌تر برگردانند، به طوری که یک دایره یا مثلث ساده, جانشین اشکال مرکب و متعدد گردد. این کار، غالباً کار پیچیده‌ای هم بود و از اینرو طرحهای مکانیکی مختلفی تدبیر کرده بودند تا به کمک ریاضیدانان آید. گالیله در سال 1597 یک راهنمای هندسی منتشر کرد, متشکل از یک رشته قواعد مشروح برای تبدیل اشکال بی‌قاعده و یا ترکیب چند شکل باقاعده و تبدیل آنها به یک شکل با قاعده و اعمال این قواعد در حل مسائل خاصی چون به دست آوردن جذر اعداد، واسطة هندسی و امثال آنها. به کارگیری روشهای ساده کردن و تبدیل اشکال هندسی از مشخصات ریاضیات قرن شانزدهم است.
افلاطونی‌گری شایع و نیمه نهان آن عصر, جهان را جوهراً هندسی می‌دید و مقدمات بسیط و واپسین آن را ابعاض محدود فضا میدانست و کلاً آن را مجسم یک نظم هندسی ساده و زیبا میدانست. تمام متفکران عهد کهن و قرون وسطا, فضای هندسی و فضای واقعی عالم را یکی می‌دانستند. برای فیثاغوریان و افلاطونیان، وحدت این دو فضا, خود نظریة ما بعد الطبیعی مهمی بود. دیگر مکتبها هم بر همین باور بودند، لیکن مدلولات کیهان‌شناختی آن را بهطور شایسته مورد توجه قرار نمی‌دادند. نزد اقلیدس، وحدت فضای فیزیکی و فضای هندسی جزو مسلمات بود. کتاب اول اصول، اصلهای هشتم و دهم و نیز قضیة چهارم و کتاب یازدهم, قضایای سوم و هفتم و به خصوص کتاب دوازدهم، قضیه دوم شاهدی بر این ادعا هستند. از این رو نجوم, شاخه‌ای از هندسه شمرده میشد و در واقع, آن را هندسة افلاک می‌دانستند. ادوین آرتور برت در کتاب ارزشمند مبانی مابعدالطبیعی علوم نوین معتقد است که همین تصور از نجوم, یکی از عوامل بسیار مهمی بود که کپرنیک را واداشت تا نظریة خورشید مرکزی را ارائه دهد: "حال که علم نجوم در اصل همان علم به هندسة افلاک دانسته میشد و حال که به روشهای هندسی، معادلات جبری را ساده‌تر می‌کنند و یا به اشکال دیگری بر می‌گردانند، چه اشکالی دارد همین روشهای ساده کردن و تبدیل کردن را در علم نجوم هم به کار گیریم. اگر علم نجوم پاره‌ای از ریاضیات است, باید نسبت مقادیر ریاضی در آن هم جاری باشد؛ یعنی حرکاتی که بر روی نقشة سماوی به اجرام نسبت می‌دهیم, باید یکسره نسبی باشد و از لحاظ انطباق با واقع، هر نقطه‌ای را بتوانیم به منزلة مرجع نظام فضایی خود برگزینیم. کپرنیک درست به همین شیوه، هیأت جدید را براندیشید و نظام خورشید مرکزی را از آن جهت که ساده‌تر و موزون‌تر از نظام زمین مرکزی است برگزید (برت، 1369، ص 38 و 40). این نگرش هندسی به هستی و تعهدات متافیزیکی متعاقب آن, هندسه را همچون پارادایمی حاکم بر پژوهشهای علمی و تحولات فکری فلسفی این عصر درآورده بود. این پارادایم به دانشمند می‌گفت که در مواجهه با مسائلی که در پژوهشهای خود با آن روبه رو میشوند، باید به جستجوی یافتن کدامین پاسخها باشند. پاسخهایی که بتوان آنها را در قالب مفاهیم و اصطلاحات هندسی صورتبندی نمود و با نظریة هندسة اقلیدسی متلائم کرد. گالیله می‌گفت: "در این کتاب بزرگ که همواره پیش چشم ماست، یعنی کتاب طبیعت، حکمت را نگاشته‌اند؛ لکن ما به درک آن نایل نمی‌شویم, مگر اینکه بدانیم به چه زبان و علایمی آن را نوشته‌اند. این کتاب را به زبان ریاضی نوشته‌اند و علایم آن هم عبارت است از مثلث، دایره و سایر اشکال هندسی. بدون کمک این زبان و این علایم، محال است که یک کلمه از این کتاب را دریابیم؛ و بدون درک این کتاب، آدمی در هزار تویی تاریک، سرگردان و یاوه‌گرد خواهد شد» (برت، 1369، ص 66).
با ظهور نیوتن, روشهای جبری تکامل قابل توجهی یافت. نیوتن با ابداع حساب مشتقات, ابزاری ساخت که همة هنرنماییهایش قابل نمایش هندسی نبودند. از این رو، روشهای جبری را بیش از پیش توسعه داد. با وجود این, در بیان مفهوم "فضا و زمان" در فیزیک‌اش به یک نظام هندسی کامل معتقد بود.
پارادایم هندسة اقلیدسی، پس از انقلاب علمی، نه‌تنها دانشمندان, بلکه پژوهش فیلسوفان دربارة فضا و زمان را نیز به شدت تحت تأثیر قرار داد. از جملة این فیلسوفان می‌توان به دکارت، مور، مالبرانش و برو اشاره نمود. این فیلسوفان قبل از نیوتن بودند. اما پس از وی، کانت را می‌توان از مهم ترین فیلسوفانی دانست که افکارش دربارة فضا و زمان بر قوام هندسة اقلیدسی به عنوان تنها هندسة متصور برای جهان, بیش از پیش تأکید کرد.
کانت در پی حقایقی بود که زندگی روزانه انسانها بدون اعتقاد به آنها غیر ممکن است. این حقایق لزوماً حقایق منطقی نیستند. از نظر کانت, قضایای ترکیبی پیشین از جملة این حقایق‌اند و هندسة اقلیدسی مجموعه‌ای از قضایای ترکیبی پیشینی است دربارة ساختار مکانی که به ادراک در می‌آید. بنابراین اصول و قضایای هندسة اقلیدسی جزو حقایقی هستند که ما تنها بدان صورت جهان را ادراک میکنیم. ترودائو (Richard J. Trudeau) در کتاب انقلاب غیراقلیدسی (The Non-Euclidean Revolution) چنین می‌گوید: "کانت اظهار نمود که تنها تبیین همان است که اصول اقلیدس دربارة چگونگی پردازشگری داده‌های حسی، داده‌هایی که فضای حقیقی را تشکیل می‌دهند، توصیف می‌نماید. فضای پردازش شده، فضای مطالعه شده در هندسه، تحت قلمرو اصول اقلیدس است؛ زیرا اصول اقلیدس همان اصولی هستند که فضا به وسیلة آنها تشکیل شده است! عدم توانایی ما در تردید در اصول اقلیدس، انعکاسی از این حقیقت است که مغز ما به همانگونه ساخته شده که ما واقعاً قادر نیستیم دربارة فضا به روش دیگر فکر کنیم (trudeau ;1987,p.113).
اظهارات کانت و طرفداری وی از مفهوم فضا و زمان نیوتنی, سبب شد که این اعتقاد که تنها یک هندسه وجود دارد و آن هندسة اقلیدسی است، تنها تفکر حاکم بر دانشمندان و فیلسوفان قرون هیجده و نوزده شود.
3ـ اصل توازی
اقلیدس اصل پنجم از اصول هندسة خود را چنین بیان می‌کند: "هرگاه خط راستی دو خط راست دیگر را قطع کند و مجموع زوایای درونی یک طرف آن خط از دو قائمه کمتر باشد، اگر این دو خط را بی‌نهایت امتداد دهیم، سرانجام در همان طرفی که مجموع زوایا کمتر از دو قائمه است, یکدیگر را قطع می‌کنند". بیان دیگری از این اصل آن است که بگوییم که از هر نقطه غیر واقع بر یک خط, یک و فقط یک خط به موازات آن می‌توان رسم کرد. از این رو این اصل به اصل توازی هم مشهور است. اقلیدس خود به اصل بودن آن, اعتماد چندانی نداشت و این واقعیت مؤید آن است که او استفاده از آن را برای اثبات قضایا، تا آنجا که ممکن بوده - تا گزارة بیست و نهمش - به تعویق انداخته است. خود این اصل نیز، هم توسط یونانیان زمان اقلیدس و هم در سده‌های بعد, مورد تردید قرار گرفته است و عدة بسیاری سعی در اثبات آن از اصول پیشین داشته‌اند.
نخستین تلاشی که برای اثبات به عمل آمده، توسط بطلمیوس بوده است. اما استدلال او به دور منجر میشد. پروکلوس (Proclus) (410 تا 485 بعد از میلاد)، که شرح او بر کتاب اصول یکی از منابع اصلی اطلاعات ما در زمینة هندسه یونان است، از اصل توازی بدین گونه انتقاد کرده است: "این را باید حتی از شمار اصول موضوعه بیرون آورد؛ زیرا این قضیه‌ای است که دشواریهای زیادی در بر دارد و بطلمیوس در کتابی به گشودن آنها همت گمارده است... این کلمه که، چون دو خط را هرچه بیشتر امتداد دهیم بیش از پیش به هم نزدیک میشوند و سرانجام همدیگر را قطع می‌کنند، پذیرفتنی است ولی نه همیشه " (گرینبرگ،1370، ص 124). پروکلوس هذلولی را مثال می‌زند که آن اندازه که بتوان تصور کرد, به مجانبهایش نزدیک میشود, بی‌آنکه هرگز آنها را قطع کند. او می‌گوید: "پس روشن است که باید برای این قضیه کنونی برهانی بیابیم و این مخالف ماهیت خاص اصل موضوعه است "(همان).
از مهمترین تلاشهایی که بعدها برای اثبات اصل توازی به عمل آمده, از خواجه نصیرالدین طوسی (1274-1201) است. سپس جان والیس (John Wallis) (1703-1616) با بیان اصل موضوعة جدیدی به جای اصل پنجم (اصل توازی), سعی در اثبات آن نمود. وی فکر می‌کرد که اصل موضوعة وی, قابل قبول‌تر از اصل توازی است. اما معلوم شد که اصل والیس و اصل پنجم اقلیدس منطقاَ هم عرض می باشند, سپس جیرو لامو ساکری (girolamo saccheri) (1733- 1667) در کتاب کوچکی به نام _ اقلیدس عاری از هرگونه نقص _ سعی در ارائة اثباتی با استفاده از برهان خلف برآمد. وی نقیض اصل توازی را پذیرفت و سپس سعی کرد تا تناقص را از آن نتیجه بگیرد. وی به ویژه بعضی از چهار ضلعیها را که زوایای مجاور به قاعده شان قائم و اضلاع این زوایا با هم قابل انطباِقاند, مورد مطالعه قرارداد.
سه حالت ممکن است پیش بیاید: 1ـ زاویه‌های بالایی قائم‌اند؛ 2ـ زاویه‌های بالایی منفرجه‌اند؛ 3ـ زاویه‌های بالایی حاده‌اند. برای اثبات حالت اول، یعنی همان حالتی که در هندسة اقلیدسی هست، ساکری (saccheri)کوشش کرد نشان دهد که دو حالت دیگر به تناقض منجر میشوند. او توانست نشان دهد که حالت دوم منجر به تناقض میشود؛ ولی هر اندازه کوشش کرد نتوانست تناقضی در حالت سوم به دست آورد و آن را "فرض خصمانة زاویه حاده" نامید. او موفق شد نتایج بسیار عجیبی بدست آورد، ولی تناقضی بدست نیاورد و سرانجام از روی عجز بانگ برآورد: "فرض زاویة حاده مطلقاً غلط است، زیرا که این فرض با ذات خط مستقیم ناسازگار است !" به قول ماروین جی گرینبرگ: "درست شبیه مردی که الماس نایابی را کشف کرده باشد, ولی نتواند آنچه را می‌بیند باور کند و بانگ بر آورد که شیشه است !" (همان، ص 131).
تلاشهایی که برای اثبات اصل پنجم اقلیدس صورت گرفته بود, به اندازه‌ای زیاد بود که گ.ز.کلوگل (G. S. Klugel) در سال 1763 موفق شد رساله‌ای برای دکترا تهیه کند که در آن نقایص 28 برهان مختلف از اصل توازی را پیدا و در ثابت شدنی بودن آن اظهار تردید کند. دایرةالمعارف نویس و ریاضیدان فرانسوی ژ.ل.ر.دالامبر(J.L.R.d Alember) این وضع را "افتضاح هندسه" نامیده بود. اصل توازی همچون اعوجاجی در هندسة اقلیدسی بود. بیش از دو هزار سال ریاضیدانان تلاش می‌کردند که به گونه‌ای آن را مرتفع سازند, اما همواره با شکست روبه رو می‌شدند. ریاضیدانان به تدریج نومید می‌گشتند. فورکوش بویوئی(Bolyai) مجارستانی به پسرش یانوش نوشت: "تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازیها تلاش کنی. من پیچ و خمهای این راه را از اول تا آخر آن می‌شناسم، این شب بی‌پایان را که همة روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است سپری کرده‌ام. التماس می‌کنم که دانش موازیها را رها کنی. من در این اندیشه بودم که خود را در راه حقیقت فدا کنم. حاضر بودم شهیدی باشم که این نقص هندسه را مرتفع سازد و پاک شدة آن را به عالم بشریت تقدیم نماید. من زحمتی عظیم و سترگ کشیدم. آنچه را که من آفریدم به مراتب برتر از آفریدة دیگران است. ولی باز هم رضایت خاطر به دست نیاوردم... وقتی دریافتم که هیچ کس نمی‌تواند به پایان این شب ظلمانی راه یابد، بازگشتم. بی‌تسلای خاطر بازگشتم، در حالی که برای خود و بشریت متأسف بودم... من مدتها در این دیار بوده‌ام و به تمامی صخره‌های جهنمی این دریای مرده سفر کرده‌ام و همیشه هم با دکل شکسته و بادبان پاره پاره برگشته‌ام. تباهی وضع و سقوط من به آن دوران باز میگردد. من از روی بی‌فکری زندگانی و خوشبختایم را به مخاطره افکندم" (همان، ص 132).
این ناکامیها نشانة بروز بحرانی جدی در پارادایم اقلیدسی بود. جالب آنکه ریاضیدانان که معمولاً تصور میشود به لحاظ نوع فعالیتی که انجام می‌دهند, افرادی منطقی‌اند به مدت بیش از دو هزار سال بر این فکر پای فشردند که اصل پنجم اقلیدسی، اصلی وابسته به سایر اصول است و به‌رغم تلاشهای بی‌شمارشان در جهت اثبات آن که همواره با شکست مواجه میشد، هیچگاه بدین فکر نیفتادند که شاید اصل توازی واقعاً یک اصل باشد؛ اصلی مستقل از سایر اصول. گرچه در این مدت عدة انگشت‌شماری با این تصور حاکم بر جامعة ریاضی مخالفت نمودند, اما جامعة ریاضیدانان هیچگاه بدانها اجازه بروز نداد. تا اینکه در قرن نوزدهم چند تن از ریاضیدانان همزمان به این موضوع اندیشیدند که شاید اصل اقلیدس اصلی مستقل از سایر اصول باشد.
4ـ انقلاب نااقلیدسی
یانوش بویوئی از اخطار پدر نهراسید؛ زیرا اندیشة کاملاً تازه‌ای را در سر می‌پرورانید. او فرض می‌کرد که نقیض اصل اقلیدس حکمی بی‌معنا نیست. وی در 1823 به پدرش چنین می‌نویسد:
"چیزهایی که کشف کرده‌ام به اندازه‌ای شگفت‌انگیزند که خودم حیرت زده شده‌ام و بدبختی جبران ناپذیری خواهد بود اگر اینها از دست بروند... در شرایط کنونی, تنها چیزی که می‌توانم بگویم این است که از هیچ، دنیایی تازه و شگفت‌انگیز آفریده‌ام" (همانجا، ص 132). پدر یانوش کار وی را برای گاوس (Gauss) شاهزادة ریاضی‌دانها فرستاد. اما برخورد سرد گاوس موجب سرخوردگی یانوش شد؛ به گونه‌ای که هرگز به فکر انتشار پژوهشهایش نیفتاد.
اما شواهدی در دست است که گاوس پیشتر از بویوئی به برخی اکتشافات هندسه نااقلیدسی دست یافته بوده است. در 1817 گاوس به و.البرس (W. Olbers) نوشت: "دارم بیش از پیش متقاعد می‌شوم که لزوم اینکه هندسه ما باید اقلیدسی باشد، دست کم نه با عقل آدمی و نه برای عقل آدمی، نمی‌تواند اثبات شود. شاید در حیاتی دیگر بتوانیم بینش درونی از ماهیت فضا بهدست آوریم که اکنون دست یافتنی نیست " (همان، ص 149). وی در نامه‌ای دیگر در 1824 به ف.آ. تاورینوس (F.A. Taurinus) می‌گوید: "پذیرفتن اینکه مجموع سه زاویه کمتر از180 باشد, به هندسة شگفت‌انگیزی منجر میشود که با هندسة اقلیدسی ما به کلی متفاوت، اما کاملاً سازگار است و من آن را بسط داده‌ام و کاملاً از آن راضی هستم... همة تلاشهای من برای یافتن یک تناقض یا یک ناسازگاری در این هندسه نااقلیدسی به شکست انجامیده است... چنین بهنظر می‌رسد که به‌رغم گفته‌های خردمندمآبانة حکمای مابعدالطبیعه، باید گفت که ما دربارة ماهیت واقعی فضا بسیار کم می‌دانیم، یا بهتر بگویم اصلاً نمی‌دانیم تا بگوییم که فلان امر مطلقاً غیر ممکن است, فقط به این دلیل که غیرعادی بهنظر می‌رسد" (همان، ص 151).
وی در جای دیگری از نامه‌اش می‌نویسد: "پروا ندارم از اینکه آنچه گفتم, مورد سوء تعبیر کسانی واقع شود که به ظاهر ذهن ریاضی اندیشی دارند؛ ولی درهرحال، این را به عنوان یک نامة خصوصی تلقی کنید که به هیچ وجه مورد استفادة عمومی یا مورد استفاده‌ای که به نحوی صورت تبلیغ پیدا کند، قرار نگیرد. شاید خودم در آینده، هنگامی که نسبت به امروز, فراغت بیشتری دست دهد، بررسیهایم را منتشر سازم" (همان)، اما گاوس هیچگاه آثار خود را منتشر ننمود، چرا؟
منظور گاوس از "حکمای مابعدالطبیعه" در نامه‌اش، پیروان کانت بودند. کشف هندسة نااقلیدسی به دست گاوس، این نظر کانت را که فضای اقلیدسی ذاتی ساختار ذهن ماست، رد می‌کرد. از آنجا که فلسفة کانت در اواخر سدة هیجدهم و بیشتر سدة نوزدهم در سراسر اروپا رواج داشت، اظهارات گاوس می‌توانست منجر به کشمکشها و حملات فراوانی به وی گردد. از این رو, گاوس از علنی ساختن آثار انقلابیاش عملاً بیمناک بود. باید توجه کرد که گاوس یک ریاضیدان معمولی زمان خویش نبود؛ او کسی بود که لئویولد کرونکر (Kronecker) درباره‌اش چنین می‌گوید: "تکامل تدریجی و توسعة منظم دانش حساب و تقریباً تمام آنچه در ریاضیات قرن ما (نوزدهم) انجام گرفت, در خط سیر افکار بدیعی بوده است که به وسیلة گاوس داده شد" (بنقل از تمپل بل، 1363، ص 250).
هاورد ایوز (Howard W.Eves)نیز وی را چنین توصیف می‌کند:"قرون هیجدهم و نوزدهم در زیر سیطرة ریاضی پر صلابت کارل فریدریش گاوس، همچون گسترة خلیج رودس در زیر پای تندیس عظیم آپولون قرار دارد." وی را عموماً بزرگترین ریاضیدان قرن نوزدهم و همراه با ارشمیدس و نیوتن، یکی از بزرگترین ریاضیدانان همة اعصار برشمرده‌اند" (ایوز، 1368، ص167). اهمیت علمی گاوس تا بدان درجه است که وی شهزادة ریاضیدانان نامیده شده است. با وجود این اعتبار علمی، گاوس در برابر جامعه‌ای که غرق در هندسة اقلیدسی بود، جرأت اظهار نظرهایش را نداشت.
تصور عموم از ریاضیدانان چنان است که آنها هر نظریة ریاضی را با معیار و ملاک منطق، درستی استدلالها و سازگاری آن می‌سنجند و در صورتی که نظریه‌ای واجد این شرایط باشد, در برابر آن سر تسلیم فرود می‌آورند. اما به نظر می‌رسد که پذیرش و مقبولیت یک نظریه در یک جامعة علمی بستگی دارد به این که برای جامعة مورد نظر چه چیزی مهم باشد و یا به چه امری ارزش بنهد. برای جامعة ریاضی قرن نوزدهم که نه‌تنها هندسة اقلیدسی را تنها تبیین‌کنندة عالم هستی میدانست, بلکه شیوة ادراک ما از عالم هستی را به صورت هندسة اقلیدسی میدانست، تنها مسائلی که برایش مهم بودند، قوام بخشیدن به این هندسه و رفع مشکلات آن بود. واضح است که در این صورت, بیان هندسة دیگری نمی‌توانست از منزلت چندانی برخوردار باشد و اعتراضات شدیدی را در پی‌داشت. این بدان معنا نیست که پیروی از منطق و سازگاری یک نظریة ریاضی در پذیرش آن مورد توجه ریاضیدانان قرار نمی‌گیرد؛ بلکه متذکر این نکته است که منطق تنها عامل پذیرش یک نظریه نیست؛ بلکه تعلقات متافیزیکی جامعة علمی نیز درآن مؤثر است و گاهی این تأثیر بسیار عمیق‌تر از تأثیر عوامل منطقی و ریاضی است؛ بهطوری که ریاضیدان شهیری مثل گاوس, بیم بیان نظرهایش را دربارة هندسه نااقلیدسی دارد. حتی نیکلای لباچفسکی (Lobachevsky) که در سال 1829 جرأت انتشار مقاله‌اش در باب هندسة نااقلیدسی را یافت، نتوانست توجه جامعة علمی را بخود جلب کند. حال این پرسش مطرح میشود که سرانجام، چگونه هندسه نااقلیدسی مورد پذیرش قرار گرفت؟ جالبترین نکتة این داستان در اینجاست که تا وقتی مکاتبات گاوس پس از مرگ او در سال 1855 منتشر نشده بود، جهان ریاضی هندسة نااقلیدسی را جدی نگرفت. یعنی آنچه که سبب مقبولیت هندسه نااقلیدسی شد، شهرت ریاضی همان گاوسی بود که خودش جرأت انتشار آثارش دربارة هندسه نااقلیدسی را نداشت. همین شهرت سبب شد عده‌ای از بهترین ریاضیدانان, همچون بلترامی (Beltrami)، کلاین (Klein)، پوانکاره (Poincare) و ریمان (Rieman)موضوع را جدی گرفتند و بسط دادند و آن را در شاخه‌های دیگر ریاضیات به کار بردند و همین سبب مقبولیت هندسة نااقلیدسی شد. آنچه که در پذیرش هندسة نااقلیدسی نقشی تعیین‌کنندهای ایفا کرد, این سخن پر بصیرت و ژرف کوهن بود که در گزینش میان نظریه‌های علمی "هیچ میزانی بالاتر از توافق جامعة مربوطه وجود ندارد" (kuhn;1970,p.94). و این میزان وابسته به ارزشها و معیارهای فرامعرفتی آن جامعه است. در 1868 بلترامی برای آخرین بار مسألة اثبات اصل توازی را پیش کشید و ثابت کرد که اثبات آن غیر ممکن است! او این کار را از این راه که هندسه نااقلیدسی درست مثل هندسة اقلیدسی، هندسه‌ای سازگار است، اثبات نمود. همچنین در سال 1854 ریمان با گذاشتن اصل دیگری بجای اصل توازی، هندسه جدیدی را بنا نهاد. در این هندسه, از یک نقطه غیر واقع بر یک خط هیچ خط, موازی با آن خط نمی‌گذارد.
5ـ هندسه پیش و پس از انقلاب نااقلیدسی
پس ازانقلاب نااقلیدسی، مسألة اصل توازی که بیش از دوهزار سال در هندسة اقلیدسی مسأله‌ای جدی بود, بهکلی از میان رفت و با جانشینی اصول دیگری, هندسه‌های نوینی ابداع شد. از آنجا که هندسه‌های نااقلیدسی از بطن هندسة اقلیدسی سر برآوردند, بسیاری از اصول و قضایای هندسه اقلیدسی حفظ شدند؛ اما برخی دیگر از اصول و قضایای آن یا به کلی از میان رفتند و یا نقیض آنها در هندسه‌های جدید پدیدار گشتند. خطی که در هندسه‌های اقلیدسی و لباچفسکی با یک نقطه به دو بخش تقسیم میشوند در هندسة ریمانی به دو بخش تقسیم نمی‌گردند. خطوط موازی که در هندسة اقلیدسی, هم فاصله‌اند, در هندسة لباچفسکی هرگز هم فاصله نیستند و در هندسة ریمانی اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. اگر خطی یکی از دو خط موازی را قطع کند، در هندسة اقلیدسی باید دیگری را نیز قطع نماید, در حالیکه در هندسة لباچفسکی ممکن است قطع کند یا قطع نکند و در هندسة ریمانی چون خطوط موازی وجود ندارند، این موضوع مطرح نمی‌گردد. دو خط متمایز عمود بر یک‌خط در هندسة اقلیدسی و لباچفسکی موازیند, در حالی که در هندسة ریمانی همدیگر را قطع می‌کنند. مجموع زوایای یک مثلث در هندسة اقلیدسی برابر با 180درجه, در هندسة لباچفسکی کمتر از 180درجه و در هندسة ریمانی بیشتر از180درجه است. مساحت یک مثلث در هندسة اقلیدسی مستقل از مجموع زوایای آن است, در حالیکه در هندسة لباچفسکی متناسب باکاهش زوایای‌مثلث ودر هندسة ریمانی متناسب با افزایش زوایای مثلث است.
پس از انقلاب نااقلیدسی و نشان دادن سازگاری تمام هندسه‌های نااقلیدسی, این سؤال مهم مطرح شد که کدامیک از این هندسه‌ها معرف یا حکایتگر جهان طبیعی است که ما در آن زندگی میکنیم؟ یا به عبارتی دیگر, کدامیک از این هندسه‌ها درست‌اند؟ هانری پوانکاره (1912-1854م.), ریاضیدان و فیزیکدان فرانسوی به این پرسش چنین پاسخ داد:
"اصول موضوعة هندسی نه شهودهای ترکیبی پیشینی هستند و نه حقایق تجربی؛ بلکه قرارداد هستند. تنها انتخاب ما از میان همة قراردادهای ممکن به وسیلة حقایق تجربی رهبری میشود. ولی انتخاب ما آزاد است و فقط به لزوم اجتناب از هرگونه تناقض محدود میشود. بنابراین این اصول‌اند که می‌توانند دقیقاً درست باقی بمانند. حتی اگر قوانین تجربی که موجب پذیرفته شدن آنها شده‌اند, تقریبی باشند. به عبارت دیگر, اصول موضوعة هندسه, تنها عبارتاند از تعاریف در لباس مبدل. پس دربارة این پرسش که " آیا هندسة اقلیدسی درست است؟" چه باید اندیشید؟ پرسش بی‌معنا است، درست مثل اینکه بپرسیم آیا دستگاه متری درست است و اوزان و مقیاسهای قدیم نادرست‌اند؟ آیا مختصات دکارتی درست و مختصات قطبی نادرست‌اند؟... هیچ هندسه‌ای نمی‌تواند درست‌تر از هندسة دیگر باشد؛ تنها ممکن است مناسبتر باشد" (به نقل از گرینبرگ، 1370، ص 124). پرسش فوق و بحث متعاقب آن، بر این موضوع که هندسه و بهطور کلی ریاضیات، از چه سخن می‌گوید, پرتوی تازه افکند. هندسه از پرتوهای نور صحبت نمی‌کند، ولی مسیر یک پرتو نور ممکن است تعبیر مادی از اصطلاح هندسی تعریف نشدة "خط" باشد. سبب این است که برخی از اصطلاحات اولیه از قبیل نقطه، خط و صفحه تعریف نشده‌اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی‌آنکه در درستی نتایج تأثیری داشته باشد. از این رو هیلبرت (Hilbert), بزرگترین ریاضیدان قرن بیستم, کتاب مبانی هندسه(Foundation of Geometry) خود را با این "تعریف" آغاز می‌کند: "سه مجموعه از چیزهای جدا از هم را در نظر بگیرید. فرض کنید اشیای مجموعة اول نقاط نامیده شوند و با C,B,A و... نشان داده شوند. فرض کنید اشیای مجموعة دوم خطوط نامیده شوند و با c,b,a و... نمایش داده شوند. فرض کنید اشیای مجموعة سوم صفحات نامیده شوند و با a, b, d و..... نمایش داده شوند"(brown;1999, p.95). همچنین از او نقل شده است که می‌گفته: "آدمی باید همیشه به جای نقطه و خط و صفحه بتواند میز و صندلی و لیوان آبجو بگوید" (گرینبرگ، ماروین جی، 1370، ص 57) در واقع, به جای اینکه بگوییم: "دو نقطه فقط یک خط را مشخص می‌کنند", می‌توانیم بگوییم: " A و B فقط یک a را مشخص می‌سازند "با وجود تغییری که در اصطلاحها داریم, باز هم اثبات همة قضایای ما معتبر خواهند ماند؛ زیرا دلیلهای درست به شکل و نمودار بسته نیستند, بلکه فقط به اصول موضوعه‌ای که وضع شده‌اند و به قواعد منطق بستگی دارند. بنابراین هندسه, تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احکامی می‌سازد به صورت "هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان میشود" و اساساً در آن صحبتی از معنای فرضها یا راست بودن آنها نیست. مفاهیم اولیه از قبیل خط و نقطه که در فرضها ظاهر می‌گردند, به طور ضمنی به وسیلة این اصول موضوعه، که درحکم قواعد بازی هستند و انگار بما می‌گویند چگونه باید بازی کرد، تعریف میشوند. این دیدگاه, که هیلبرت اولین بار ادعاهایی در این باره در کتاب مبانی هندسه‌اش بیان نمود, بعدها منجر به پیدایش مکتب صورتگرایی در ریاضیات شد. مطابق این مکتب، ریاضیات با دستگاههای نمادی صوری سروکار دارد. در واقع، ریاضیات مجموعه‌ای از آن مباحث مجرد تلقی میشود که در آن, اصطلاحات صرفاً نمادهایی هستند و احکام، قواعدی (اصول) متضمن این نمادها. ریاضیات عاری از محتوای ملموس و تنها شامل عناصر نمادی آرمانی است. پرواضح است که دیدگاه صورتگرایی با عقیدة کهن‌تری که ریاضیات را "حقیقت محض" می‌پنداشت و از زمان اقلیدس تا قرن نوزدهم بر ریاضیات، فیزیک و نجوم سایه افکنده بود و پژوهشهای عالمان این حوزه‌ها را هدایت می‌کرد و کشف هندسة نااقلیدسی بنای آن را به کلی فرو ریخت، اساساً ناسازگار است. پس از انقلاب نااقلیدسی, ریاضیدانان آزاد بودند که هر مجموعه‌ای از اصول موضوعه را که دلشان بخواهد ابداع کنند و بر آنها نتایجی مترتب سازند. ژان دیودونه در این باره چنین می‌گوید: "در تاریخ ریاضیات این کشف نقطة عطف بسیار مهمی بود که اولین مرحله را در مفهوم تازه‌ای از رابطة بین جهان واقعی و مفهومهای ریاضی که گمان می‌رود به آن مربوطاند, نشان می‌داد"با کشف گاوس دربارة هندسه نااقلیدسی این دیدگاه نسبتاً ضعیف که اشیای ریاضی تنها "مثل" (به معنا افلاطونی) اشیای محسوس‌اند, دیگر نگهداشتنی نبود و تدریجاً جای خود را به دریافتی روشنتر از پیچیدگی خیلی بیشتر مسأله داد که در آن, امروز چنین به نظر می‌رسد که ریاضیات و واقعیت تقریباً به طور کامل از هم مستقل شده‌اند و تماس آنها اسرار آمیزتر از همیشه شده است" (همان، ص 254).
بهطور کلی, پس از انقلاب نااقلیدسی, نه‌تنها اصول و مفاهیم هندسه به کلی تغییر نمودند, بلکه مفهوم هندسه و به طور عامتر, ریاضیات پیش و پس از انقلاب, اساساً تفاوت پیدا کردند. به طوری که اگر دانشجوی ریاضی زمان حاضر آثار ریاضی پیش از انقلاب نااقلیدسی را مطالعه کند، با افرادی مواجه میشود که بهجای پرداختن به مدلهای ریاضی و هندسی، در مورد ریاضیات و هندسه به گونه‌ای حرف می‌زنند که گویا از ویژگیها دنیای واقعی صحبت می‌کنند و چه بسا از نظر این دانشجو, این گفته‌ها بسیار سخیف و بیهوده آید؛ به طوری که وی برای درک ریاضیات و هندسة پیش از انقلاب نااقلیدسی باید نوع و نگرش خود به ریاضیات و هندسه را تغییر دهد که در این صورت مشاهده خواهد کرد که ریاضیات و هندسه پیش و پس از انقلاب نااقلیدسی قیاس ناپذیرند.
6ـ نتیجه
شاید به نظر برسد که چون ریاضیات، برخلاف علوم طبیعی مثل فیزیک، نجوم و شیمی، با مشاهدات تجربی در تماس نیست؛ هیچگاه با اعوجاج و بحران مواجه نخواهد شد؛ اما همانطور که دیدیم, اعوجاج در ریاضیات از نوع دیگری است؛ مثلاً تردید دربارة اصل بودن اصل توازی همچون اعوجاجی در هندسه آشکار شد و با مقاومت در برابر کوششهای ریاضیدانان جهت اثبات آن, جامعة ریاضیدانان را با بحران مواجه نمود.
اما نکته بسیار مهم این است که این اعوجاج و بحران در پی آن در بنیادی‌ترین سطح هندسه به طرد هندسة اقلیدسی نیانجامید؛ بلکه به مدت بیش از دو هزار سال, تسلط خود را نه تنها بر هندسه, بلکه به علوم دیگر مثل نجوم، فیزیک و حتی فلسفه حفظ نمود. چرا؟ زیرا اگر هندسه‌دانان، هندسة اقلیدسی را به سبب اعوجاجی که در اصول بنیانی‌اش بود، رها می‌کردند، هیچ نظریة جانشینی نداشتند. در این صورت, تکلیف فعالیت پژوهشی آنها در هندسه چه میشد؟ همین تعلقات حرفه‌ای سبب شد که هندسة اقلیدسی بیش از دو هزار سال تنها پارادایم حاکم در حوزة ریاضیات باشد. زمانی که بویوئی، گاوس و لباچفسکی هندسة جدید را مطرح کردند، نظریة رقیبی برای هندسة اقلیدسی ظاهر شده بود که می‌توانست جانشین آن شود. همین، موجبات انقلاب نااقلیدسی را فراهم نمود. اما دیدیم که تغییر حمایت از پارادایم اقلیدسی به نااقلیدسی از جانب یکایک ریاضیدانان ناشی از برهانهای صرفاً منطقی دربارة سازگاری هندسی نااقلیدسی نبود؛ زیرا جامعة ریاضی قرن نوزدهم به مدت 26 سال از زمانی که لباچفسکی آن را منتشر کرد تا زمان مرگ گاوس از این برهانها آگاهی داشت, اما هیچگاه آن را جدی نگرفت. آنچه سبب پذیرش هندسة نااقلیدسی شد, عاملی بود ورای استدلالهای ریاضی و آن اینکه شخصی همچون گاوس شهزادة ریاضیدانان, در نامه‌هایش از آن طرفداری کرده بود. در واقع, ریاضیدانان نیز همچون "دانشمندان به دلایل گوناگون طرفدار پارادایم جدید میشوند و معمولاً در آن واحد بنابر وجود چند دلیل چنین می‌کنند. بعضی ازاین دلایل - مثلاً خورشیدپرستی که کپلر را یکی از کوپرنیکیان ساخت - کاملاً در خارج قلمرو آشکار علم قرار دارد. بعضی دیگر وابسته به مزاج شخص و زندگینامه و شخصیت اوست - حتی ملیّت یا شهرت سابق شخص نوآور و استادان وی گاه می‌تواند نقش مؤثر ایفا کند" (kuhn;1970, pp.152,153). شهرت و اعتبار گاوس سبب شد که تعدادی از بهترین ریاضیدانان که مرجعیت جامعة ریاضی به عهده‌شان بود، از هندسة نااقلیدسی حمایت کنند و این سبب پذیرش این هندسه شد. به قول چالمرز (A.F. Chalmers): "انقلاب علمی عبارت است از طرد یک پارادایم و قبول پارادایمی جدید، نه از سوی یک دانشمند به تنهایی؛ بلکه از سوی جامعة علمی مربوطه در تمامیت آن " (چالمرز، 1374، ص 117).
بنابراین آنچه توسط استقرارگرایان و ابطال‌گرایان به عنوان منطق اکتشافات علمی گفته میشود، باید بهطور جدی مورد تجدیدنظر قرار گیرد؛ زیرا همانطور که دیدیم, عملکرد دانشمندان و حتی ریاضیدانان در رسیدن به نظریه‌های علمی جدید، رفتاری کاملاً بشری است که ما می‌توانیم در حوزه‌های دیگر زندگیشان ببینیم. همانطور که هری کالینز (Harry Collins) و ترور پینچ (Trevor Pinch) دو جامعه‌شناس علم معاصر، می‌گویند: "آنچه پژوهشهای موضعی ما نشان می‌دهد, این است که هیچ منطق اکتشاف علمی وجود ندارد و یا بلکه اگر چنین منطقی وجود دارد، آن منطق، منطق زندگی روزمره است " (pinch; 1993, p.142).
منابع:
1_ ایوز، هاورد و، (1368)، آشنایی با تاریخ ریاضیات، ج اول، چ دوم (محمد قاسم وحیدی اصل /مترجم)، تهران: نشر دانشگاهی (تاریخ انتشار اثر به زبان اصلی 1976)
2_ برت، ادوین آرتور (1369)، مبانی ما بعد الطبیعی علوم نوین (عبدالکریم سروش / مترجم) تهران: علمی و فرهنگی.
3_ تمپل بل، اریک (1363)، ریاضیدانان نامی،چاپ دوم (حسن صفاری / مترجم) تهران: امیرکبیر.
4_ چالمرز، آلن ف (1374)، چیستی علم (سعید زیبا کلام / مترجم)، تهران: علمی و فرهنگی (تاریخ انتشار اثر به زبان اصلی 1982).
5_ کاپلستون، فردریک (1368)، تاریخ فلسفه، یونان و روم (سید جلال‌الدین مجتبوی / مترجم)، تهران: سروش (تاریخ انتشار اثر به زبان اصلی 1971).
6_ گرینبرگ، ماروین جی (1370)، هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی،چ سوم (م.ه - شفیعیها مترجم) تهران: نشر دانشگاهی (تاریخ انتشار اثر به زبان اصلی 1979).
7_ Brown, James Robert. (1999) Philosophy of Mathematics An. Introduction to the World of Proofs and Pictures, Routledge
8_ Dijksterhuis, E. J. (1986) The Mechanization of the World Picture: Pythagoras to Newton, Princeton University Press.
9_ Lakatos and Musgrave (1970) Criticism and the Growth of knowledge,Cambridge University Press.
10_ Kuhn, Thomas S. (1970) The Structure of Scientific Revolutions,(2d ed), Chicago: University of Chicago Press.
11_ Pinch, Trevor and Collins, Harry (1993) The Golem: What Every one should know about Science, Cambridge, Cambridge U,P.
12_ Trudeau, Richard J(1987)’ The Non-Euclidean Revolution’ Birkhauser Boston.
پی نوشت:
1_ مربی پژوهشگاه علوم انسانی و مطالعات فرهنگی
تبلیغات
