حسین بیات

طبق تلقی براون از افلاطون گرایی، که در اینجا به آن «افلاطون گرایی جدید» می گوییم، ماهیت ریاضیات در قالب هفت مدعا قابل صورت بندی است: واقع گرایی، تجرّد، جزئیت، شهودمندی، پیشینی بودن، خطاپذیری، و توسعه پذیری. در این مقاله تلاش شده است تا این دیدگاه، بر اساس دو معیاری که خود براون لحاظ کرده است، یعنی مقبولیت اجتماعی و مقبولیت روش شناختی، نقد و ارزیابی شود. میزان مقبولیت اجتماعی یک نظریه را می توان از روی فراوانی اشخاص موافق با آن سنجید. اما مقبولیت روش شناختی یک نظریه به توانایی آن در حل بهینه مسائل مربوطه بستگی دارد. به زعم براون، افلاطون گرایی جدید از هر دو لحاظ بهترین نظریه فلسفی درباره ماهیت ریاضیات است. در این مقاله ضمن تقریر دقیق تر این دیدگاه، آشکار می شود که به لحاظ مقبولیت نهادی می توان با براون هم رأی بود. اما مقبولیت روش شناختی آن همچنان مناقشه آمیز است، زیرا دست کم دو مسئله دسترسی و مسئله یقین که گریبانگیر افلاطون گرایی اولیه بود در افلاطون گرایی جدید نیز همچنان حل نشده باقی مانده اند. تأکید این مقاله بخصوص بر مشکلات دیدگاه براون در مواجهه با مسئله دوم است.

اغلب ریاضی دانان اثباتهای تصویری را به عنوان یک نوع اصیل از اثباتهای ریاضیاتی نمی پذیرند یا در پذیرش آنها تردید دارند. در این مقاله ده ایراد متداول یا احتمالی وارد بر این نوع اثباتها صورت بندی شده و جداگانه مورد ارزیابی نقادانه قرارگرفته است. در هریک از این ایرادها ادعا می شود که اثباتهای تصویری فاقد یکی از ویژگی هایی هستند که برای اثباتهای ریاضیاتی اساسی اند یا باید اساسی باشند: صوری بودن، نمادی بودن، دقیق بودن، اعتمادپذیری، وارسی پذیری، کلی بودن، مشروعیّت، خودبسندگی، فراگیر بودن و زایا بودن. اما به نظر می رسد که هیچ کدام از این ایرادها وارد نیست و بنابراین نپذیرفتن این نوع از اثباتها بیشتر معلول عوامل روان شناختی و جامعه شناختی، به خصوص غلبه تلقی صورت گرایانه در جامعه ریاضی و القاء آموزه های صورت گرایانه در نظام های آموزش ریاضی است تا دلایل منطقی یا روش شناختی. ما نه تنها دلایل قوی بر رد کلی و پیشینی این نوع اثبات، به عنوان یک الگوی استنتاجی در ریاضیات، نداریم بلکه دلایل خوبی برای به رسمیت شناختن آن داریم. آنچه در اینجا حائز اهمیّت است آگاهی از نقشی است که این نوع از اثباتها در کل ریاضیات دارد یا باید داشته باشد، نه کمتر و نه بیشتر.

The concept of Mathematical Proof has been controversial for the past few decades. Different philosophers have offered different theories about the nature of Mathematical Proof, among which theories presented by Lakatos and Hersh have had significant similarities and differences with each other. It seems that a comparison and critical review of these two theories will lead to a better understanding of the concept of mathematical proof and will be a big step towards solving many related problems. Lakatos and Hersh argue that, firstly, “mathematical proof” has two different meanings, formal and informal; and, secondly, informal proofs are affected by human factors, such as individual decisions and collective agreements. I call these two thesis, respectively, “proof dualism” and “humanism”. But on the other hand, their theories have significant dissimilarities and are by no means equivalent. Lakatos is committed to linear proof dualism and methodological humanism, while Hersh’s theory involves some sort of parallel proof dualism and sociological humanism. According to linear proof dualism, the two main types of proofs are provided in order to achieve a common goal: incarnation of mathematical concepts and methods and truth. However, according to the parallel proof dualism, two main types of proofs are provided in order to achieve two different types of purposes: production of a valid sequence of signs (the goal of the formal proof) and persuasion of the audience (the goal of the informal proof). Hersh’s humanism is informative and indicates pluralism; whereas, Lakatos’ version of humanism is normative and monistic.

گسترش روش های استدلال ریاضی، در دهه های اخیر، منجر به نقد اساسی تعریف کلاسیک اثبات ریاضیاتی شده است. منتقدان، معمولاً، تعریف های بدیلی پیشنهاد کرده اند؛ تعریف های فراوانی که دارای پیش فرض ها و پیامدهای گوناگون و گاهی حتی ناسازگاری هستند. این وضعیت، ریاضیات را در معرض نسبی نگری قرار داده است. از این رو، مسئله فراوانی تعریف های اساساً گوناگون را می توان یکی از مهم ترین مسائل معرفت شناسی ریاضیاتی دانست. این مقاله، تلاش می کند تا از یک موضع مرتبه سوم یا فراروش شناختی به «چیستی فرامعیار انتخاب بهترین تعریف برای اثبات ریاضیاتی» پاسخ دهد و از این طریق، ما را یک گام به تعریف موجه اثبات ریاضیاتی نزدیک تر سازد. نگارندگان نشان خواهند داد که فرامعیار قدرت تبیینی، در مقایسه با دو رقیب دیگر، یعنی فرامعیارهای هم ارزی، و اجماع قابل دفاع تر است.

مباحث فلسفه زبان (زبانشناسی فلسفی) را زیر دو عنوان کلی معناشناسی فلسفی[1] و کارکردشناسی فلسفی[2] میتوان دسته بندی کرد. اولی دارای دو بخش عمده نظریه معنا[3] (شامل بحث های مربوط به ماهیت معنا، معناداری، هم معنایی، تحلیلیت، و استلزام) و نظریه ارجاع[4] (شامل بحث های مربوط به نامگذاری، صدق، دلالت، دامنه مصادیق و مقادیر متغیرها) و دومی نیز به دو بخش نظریه افعال گفتاری و نظریه مکالمه قابل تفکیک است. ویلیام جی لایکان، نویسنده مقاله، با کمی تفاوت این طبقه بندی را میپذیرد. او معتقد است[5] که غایت اصلی فلسفه زبان، نظریه معنا می باشد؛ اما چهار هدف فرعی و تبعی این فلسفه عبارتند از: نظریه ارجاع - که آنرا نباید با نظریه ارجاعی[6] (موضوع مقاله حاضر، یکی از نظریه های معنا) اشتباه کرد، نظریه صدق[7]، کارکردشناسی فلسفی و فلسفه زبان شناسی[8] - که آنرا نباید با فلسفه زبانی[9] اشتباه کرد. یک نظریه معنا در پی پاسخ به این پرسش است که چرا و چگونه زنجیره ای از علائم فیزیکی (نوشته یا صدا) معنادار میشوند؟ تاکنون هشت پاسخ به عنوان هشت نظریه معنا مطرح شده است: 1. نظریه ارجاعی، 2. نظریه ایده های ذهنی، 3. نظریه به کارگیری، 4. نظریه کاربردی، 5. نظریه استنتاجی (یا ورود و خروجی)، 6. نظریه تاییدگرایانه، 7. نظریه شرایط صدقی، و 8. نظریه حذفی. پاسخ نظریه ارجاعی معنا به پرسش بالا روشن است: معنای عبارات زبانی به علت ارجاع و اشاره گری آنها به اشیا است. یعنی همچنانکه بین یک آینه و تصویر منعکس در آن، به علت یک امر فیزیکی (نور)، یک رابطه ارجاعی وجود دارد؛ بین زنجیره معینی از علائم و معنای مخصوص آن نیز به علت یک امر ذهنی (قرارداد) یک رابطه ارجاعی وجود دارد. این نظریه همه فهم ترین[10] و شاید آسانترین تبیین را برای ""معنا"" ارائه میدهد (و از این رو بهترین مدخل برای مطالعه نظریه های معنا نیز به شمار میرود)، اما با کمی تامل و مداقه فلسفی، دشواری های گریزپذیر و گریزناپذیر این نظریه برملا می شود. این مقاله افزون بر اهمیت بنیادی و آموزشی - ترویجی خود، برای جامعه فلسفی کشورمان اهمیت انتقادی مضاعفی نیز میتواند داشته باشد و آن بحث در بررسی نظریه معنای مورد قبول در فلسفه اسلامی است. چرا که به نظر میرسد دو نظریه «ارجاعی» و «ایده های ذهنی» بیش از سایر نظریه ها مورد توجه و قبول فیلسوفان مسلمان بوده است.