کریم خانکی

منطق مرتبه اول کلاسیک رایج ترین منطق در کاربردهای ریاضیات و همچنین در مطالعه بنیادهای منطقی می باشد. از دیر باز تنها ارتباط بین منطق و توپولوژی ریاضی محدود به مفهوم فضاهای تایپ بوده و پیوندهای دیگری بین این دو حوزه متصور نبوده است. اخیرا پیوندهای اساسی بین این دو شاخه (یعنی منطق و توپولوژی) ایجاد شده است که کاربردهای زیادی در هر دو حوزه منطق و همچنین در توپولوژی را موجب شده اند. در این مقاله به مطالعه برخی از مهمترین پیوندهای این دو شاخه از ریاضیات و همچنین کاربردهای آنها خواهیم پرداخت. یکی از مفاهیم کلیدی در منطق ریاضی و نظریه مدل ها مفهوم پایداری می باشد که بیانی کاملا ترکیبیاتی دارد. در این مقاله نشان می دهیم که این مفهوم معادل یک مفهوم توپولوژیک برای مجموعه مشخصی از توابع می باشد و با استفاده از آن قضیه ای بنیادین در نظریه پایداری شلاح را ثابت می کنیم. همچنین ارتباط بین مفهوم وابستگی و یک خاصیت توپولوژیک از مجموعه ای از توابع را بیان می کنیم و اثباتی توپولوژیک از برخی از دستاوردهای مهم نظریه مدل ها را ارائه خواهیم داد. برخی از نتایج ارائه شده در این مقاله در هر دو حوزه منطق و توپولوژی کاملا جدید هستند و احتمال کاربردهای بیشتر از آنها در مطالعات آتی متصور می باشد.

از ابتدای پیدایش منطق جدید، پیوندهای بنیادی بین منطق و شاخه های مختلف ریاضیات ایجاد شده است که منجر به حل مسایلی در ریاضیات و بلعکس حل مسائل بنیانی در خود منطق گردیده است. یکی از چالش های روش منطقی در مطالعه ساختارهای ریاضی عدم امکان مطالعه بعضی از ساختارهای مهم ریاضیات، از جمله ساختارهای موجود در آنالیز، در قالب زبان و منطق مرتبه اول می باشد. هدف اصلی این مقاله معرفی منطقی مناسب برای مطالعه این ساختارها و سپس حل مسائلی در آنالیز با استفاده از ابزارهای منطقی است. در ابتدای این مقاله مروری کوتاه بر منطق های مناسب برای مطالعه ساختارهای موجود در آنالیز ریاضی خواهیم داشت و برخی از مهمترین کاربردهای منطق در آنالیز را بیان خواهیم کرد. سپس یکی از دستاوردهای اخیر که کاربردی مهم از منطق در آنالیز میباشد را ارائه و اثبات می کنیم. به ویژه، مفهوم تعریف پذیری در منطق و پیوند آن با آنالیز ریاضی را مورد مطالعه قرار می دهیم.