روش هم محلی

در این مقاله، معادله فاینمن-کاک را با روش هم محلی با پایه های ژاکوپی و ایرفویل، حل می کنیم. این معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی یکی از معادلات مهم و پرکاربرد تصادفی در ریاضیات مالی است.به دلیل افزایش تقاضادر علوم کاربردی مثل ریاضیات مالی، اقتصاد و پیچیدگی در مدلسازی ها، تجزیه و تحلیل و محاسبه داده ها، تلاش های چشمگیری در جستجوی مدل های بهتر ریاضی برای بدست آوردن جواب های تقریبی معادلات مدلسازی شده در سال های اخیر انجام شده است. به خوبی تشخیص داده شده است که بسیاری از سیستم هایی که در دوره جدید با آن روبرو شده اند را نمی توان تنها با معادلات دیفرانسیل معمولی به روش های سنتی و یا مدل معادلات دیفرانسیل تصادفی نشان داد.حالات اینگونه سیستم ها دارای دو مؤلفه است، یعنی حالت مداوم و حالت رویداد گسسته. دینامیک گسسته ممکن است برای نشان دادن یک محیط تصادفی یا سایر عوامل تصادفی که نمی تواند در مدل های معادله دیفرانسیل سنتی نشان داده شود مورد استفاده قرار گیرد.سیستم های دینامیکی که در بالا به آنها اشاره شد اغلب به عنوان سیستم ترکیبی شناخته می شوند. در نگاه اول، این فرایندها ظاهراً شبیه به فرآیندهای انتشار مشهور هستند. فرمول فاینمن –کاک یکی از روش های نوین پیشنهادی برای حل اینگونه از معادلات است.این فرمول روش حلی برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم و معادلات دیفرانسیل تصادفی ارائه می دهد. کاربردهای این فرمول در زمینه ی کنترل تصادفی، تأمین ریاضی مالی، تجزیه و تحلیل ریسک و زمینه های مرتبط با آن می توان نام برد.در این مقاله با پیاده سازی روش های عددی روی معادله فاینمن-کاک، دستگاه های غیرخطی حاصل می شود که می توان آنها را با روش های عددی حل دستگاه های غیرخطی، مثل روش تکراری نیوتن حل کرد. وجود، یکتایی جواب و همگرایی روش ها مورد بررسی قرار می گیرد و در مثالی نشان خواهیم داد که با  تعداد تکرار کم و  معیار توقف مناسب با سرعت همگرایی بالا به جواب تقریبی معادله همگرا شد و این نشان دهنده ی دقت بالای جواب تقریبی و سرعت همگرایی روش ها ی عددی است.