برهان نظم به حساب احتمالات (مقاله پژوهشی حوزه)

برهان نظم از براهین روشن اثبات صانع است که در مباحثِ متکلمان و به ویژه کتاب آسمانی بر آن تکیه شده و به صورتهای گوناگون تقریر شده است. یکی از صور تبیین مفاد آن بر اساس حساب احتمالات است که در ریاضیات عالی مطرح است. در این مقاله، کوششی به عمل آمد تا برهان نظم بر اساس حساب احتمالات تبیین شود.
نخست اموری را یادآور می‏شویم:
تعریف برهان نظم
در تعریف این برهان گفته‏اند: همه ظواهر، عناصر و پدیده‏های جهان هستی از اتم، آب، خاک، هوا، گازها، سلولها، ماه، خورشید، کواکب، افلاک و کهکشانها ومواد آنها با همه ارتباطها و قوانین حاکم در آنها، و همه نظم، انسجام و هماهنگی میان آنها بر اساس نظم دقیق علّی ومعلولی ترتیب یافته ونشانگر این است که دست توانمند ناظم حکیم، مدبّر و محیط به ماده و ویژگیهای ماده آن را منظّم ساخته است. بنابراین، مادّه بی‏شعور توان تشکیل چنین نظام و مقرراتی را ندارد. موادِ از هم گسیخته، بی عقل، کور وبی اراده خود به خود بجایی راه نمی‏برد و از آنها قانون و انسجامی استخراج نمی‏گردد. در مقابل، گروهی گفته‏اند: مادّه ذاتاً قدیم است، صورتها وشکلهای ماده از روی تصادف پدید آمده و هیچ شعور وعقل مدبّری در آن دخالت نداشته است.
ما در این نوشته هر دو فرضیه را تنها از نقطه نظر ریاضی بررسی خواهیم کرد: یکی فرضیه شایسته نظام آفرینش به دست خداوند مدبّر حکیم و دیگری فرضیه پیدایش این نظام بدیع بر اساس تصادف.
ارکان برهان نظم بر پایه ریاضّیات
اگر بخواهیم برهان نظم را بر اساس قواعد ریاضی بیان کنیم توضیح چند امر ضروری است:
الف): بنا به فرض اوّل می‏گوییم: همه پدیده ها، ظواهر و عناصر جهان هستی از ذرّات اتم تا کهکشانهای دور همه با هم در ارتباط،وابسته، مرتبط و مشروط به هم‏اند. علم و قدرتی که در دانه دانه اتمها وسلولها بکار رفته از علم و قدرتی که در سایر آنها بکار رفته جدا و مستقل نیست در پی این امر نظمی دقیق، هماهنگ و منسجم از مدبّر حکیم پدید آمده است.
ب): در فرض دوّم (فرض تصادف) همه ذرّات عالم از همدیگر جدا، مستقل، غیر وابسته به هم و غیر مشروط به همدیگر است. دست حکیم مدبّر وعاقل بالای سر آنها نیست.
ج): فرض اوّل و دوّم متعاکس‏اند یعنی اگر پدیده‏های فرض اوّل بر اساس قدرت ریاضی به رقم بالایی رسید فرض دوّم به سمت صفر میل می‏کند وبه عکس.
د): روشی که در این زمینه نتیجه بخش است عبارت از ضرب احتمالات است چنان که خواهد آمد.
برهان نظم عقلی است یا عقلایی؟
در قرآن کریم ازآیات فراوانی می‏توان برهان نظم را نتیجه گرفت. غالباً خاتمه هر آیه از آیات این برهان، ناظر به تعقّل، تفکّر واندیشه است. از این رو، اگر به فرض بگوییم این برهان صد در صد عقلی خالص نیست باید گفت صد در صد عقلایی است؛ یعنی وقتی این برهان به خردمندان عرضه می‏شود مورد وثوق واطمینان آنان قرار می‏گیرد وبدان اعتماد صد در صد خواهند داشت.
توضیح این که: برخی از براهین دارای مقدمات عقلی خالص‏اند وهیچ گونه مسامحه و شایبه‏ای در آنها وجود ندارد مانند گزاره «4=2*2» در این قضیه هیچ اهمالی راه نمی‏یابد و نتیجه آن 5/3 ویا 5/4 نمی‏شود. امّا برخی از براهین به عقلا عرضه شده و عقلا با عقل نظری فطری خود مقدمات آنها را پذیرفته‏اند. چنان که دانشمندان فنّ هندسه و ریاضی مسامحه‏های بسیار کوچک را ناچیز می‏شمارند مثلاً عدد اصمّ مانند رادیکال یازده( ABB) جذر تحقیقی ندارد؛ با این وصف، ریاضی دانان بر جذر تقریبی این عدد ترتیب اثر صد در صد می‏دهند. جذر تقریبی از دیدگاه عقل خالص معیوب و ناقص است، عقل می‏گوید این جذر قابل اعتماد نیست ولی از دیدگاه عقلا قابل اعتماد است. در هندسه مقدار پی ( P= f) را 14/3 و یا 22 به حساب می‏آورند و حال آن که همه هندسه دانان می‏دانند این، مقدار دقیقی نیست، یعنی نسبت محیط دایره به شعاع آن به اندازه 14/3 یک نسبت تقریبی است. از این رو، در قرآن می‏بینیم برهان نظم به عاقلان عرضه شده نه به عقل محض، واژه عقل مخاطب قرار نگرفته بلکه اصلاً در قرآن بکار نرفته است، وآنچه از این خانواده استعمال شده عبارت است از: «عقلوه»،«تعقلون»،«تعقل»،«یعقلها» و«یعقلون» وبه دیگر سخن: مشتقات این واژه همه وقت با صاحب عقل همراه است«مشتق با ذات مّا و ذات منتسب همراه است» روی سخن با عاقلان است نه با عقل خالص نظری، چنان که کفّار در آخرت اذعان می‏کنند که در دنیا ازخردمندان به شمار می‏رفته‏اند وتکلیف متوجه آنان بوده است:«قالوا لو کنّا نسمع أو نعقل ما کنّا فی أصحاب السعیر» (ملک /10) ؛ یعنی: «اگر سخن پیامبران را می‏شنیدیم ویا تعقّل می‏کردیم از اصحاب جهنم نبودیم».
تئوری احتمالات:
توضیح تئوری احتمالات طی چند امر صورت می‏پذیرد:
1 تعریف احتمال: ما در زندگی عادی وگفتگوی روزانه خود کلمه احتمال را فراوان بر زبان جاری می‏کنیم، وبدین وسیله نظریه خود را در مورد وقوع یا عدم وقوع پدیده‏ای بیان می‏کنیم. مثلاً در هنگامی که هوا ابری است می‏گوییم: احتمال آمدن باران زیاد است، یا در وقتی که امتحان وآزمونی در پیش باشد می‏گوییم: احتمال موفقیّت در این آزمون کم است، یا اگر سوءال شود احتمال آمدن خط در سکه‏ای که به هوا پرتاب می‏شود چقدر است؟ در پاسخ خواهیم گفت: ، یا اگر بخواهیم چشم بسته دست خود را روی نام شاگرد اوّل یک کلاس 10 نفری گذاشته باشیم احتمال آن مساوی است، این کسرها ارزش احتمال یک پدیده را نسبت به پدیده دیگر مشخص می‏سازد. بنابر این، در مثال پرتاب سکّه دو پدیده بود: اوّل پرتاب سکّه و دوم آمدن خط و 1 کسری است که ارزش پدیده دوم را نسبت به پدیده اوّل مشخص می‏سازد. بنابراین می‏توان احتمال را چنین تعریف کرد:
«اندازه امکان وقوع حادثه و پیش آمدی را احتمال و وقوع آن پیش‏آمد گویند».
2 پدیده‏ها از ناحیه امکان و عدم امکان به چند دسته تقسیم می‏شوند:
الف): پیش‏آمد ممکن: و آن پیش‏آمدی است که امکان وقوع آن صد در صد بوده باشد پس قطعاً واقع خواهد شد، در این صورت وقوع چنین حادثه را برابر 1 می‏گیرند، ما در این نوشته احتمال را با « P» نمایش خواهیم داد.
بنابراین 1= P. مثلاً اگر چکشی که دسته آن چوبی است به گونه آزاد به هوا پرتاب شود، این پدیده مستلزم این است که در بازگشت یقیناً سر چکش(قسمت سنگین) آن به زمین اصابت کند.
ب): پیش‏آمد غیر ممکن: وآن پیش‏آمدی است که وقوع آن ممکن نباشد، یعنی قطع و اطمینان پیدا شود که چنین پیش آمدی اصلاً نمی‏تواند وقوع پیدا کند. بنابر این احتمال چنین پیش آمدی برابر صفر است پس 0= P، مانند احتمال پیدایش یک سلّول بدون علت و خالق چه رسد به پیدایش جهان از روی تصادف، چنان که ثابت خواهد شد.
ج): پیش آمدی که امکان وقوع وعدم وقوع داشته باشد، و مقادیر احتمال آن همیشه عددحقیقی بین صفر ویک است یعنی:
1 oPo0
3 محاسبه احتمال: برای این که احتمال، یعنی اندازه امکان وقوع پیش آمدها محاسبه شود باید حالات مساعد پدیده مورد نظر را بررسی کرده و تعداد آنها را دقیقاً بدانیم (حالات مساعد را ما در اینجا با« m» نشان می‏دهیم) سپس حالات ممکنی که در اطراف این پدیده وجود دارد معلوم کرده (حالات ممکن در اینجا با « n» نشان داده می‏شود) سپس از تقسیم حالات مساعد و مطلوب به تعداد حالات ممکن، احتمال پیش آمد مورد نظر به دست خواهد آمد یعنی:
P=
m P=
این فرمول به فرمول «لاپلاس» معروف می‏باشد.
برای توضیح و تطبیق، مثال سکّه را تکرار کرده گوییم: سکّه دارای دو روی شیر و خط بوده ووقتی به هوا پرتاب می‏شود ممکن است شیر بیاید یا خط 2= n، امّا پیش آمد مورد نظر ما مثلاً آمدن رویه شیر است که تعداد شیر در سکّه «یک» بوده. بنابر این، تعداد حالات مساعد و مطلوب برابر یک می‏شود 1= mپس احتمال شیر برابر است با
1 = P E m P=
4 فضای نمونه: فضای نمونه مجموعه‏ای است که عضوهای آن «حالات ممکن» پیش آمد مورد نظر می‏باشد، (در اینجا با « S» نشان داده می‏شود) مثلاً در پرتاب سکّه فضای نمونه برابر است با Hشیر و خط G S=
که اگر شیر را با « C» وخط را با « k» نشان دهیم خواهیم داشت: H Kو C G S=
وبه طور کلّی اگر a... a، a، aتمام‏نتیجه‏های ممکن یک آزمایش با همه شرایط موجود در نظر گرفته شوند فضای نمونه برابر خواهد بود با:
H a... a، a، a G S=
5 مجموعه پیش آمدهای معیّن: دیدیم که عضوهای فضای نمونه مجموعه نتایج یک آزمایش می‏باشند که هر جز ء از این مجموعه زیر مجموعه‏ای از فضای نمونه خواهد بود. وبه عبارت دیگر: از میان حالات ممکنی که در فضای نمونه است، این نتیجه و یا حالتهایی که مورد نظر ما می‏باشد تشکیل مجموعه‏ای را می‏دهد که این مجموعه زیر مجموعه فضای نمونه بوده وبه آن پیش آمدهای معیّن ویا مورد نظر می‏گویند، پس پیش آمدها تشکیل مجموعه‏ای را می‏دهند که عضوهای آن، حالات مساعد ویا مورد نظر ما می‏باشند:
مثال 1: در پرتاب یک سکه خواهیم داشت:
فضای نمونه H Kو C G S=
پیش‏آمد رویه شیر H C G A=
پیش‏آمد رویه خط H K G B=
مثال 2: اگر دو سکه را با هم به هوا پرتاب کنیم خواهیم داشت:
S=قدس سرهم ) C C( ) C K( ) K C( ) K K( رحمهم الله
فضای نمونه
پیش آمد آمدن دو شیر در این آزمایش چنین است: A =قدس سرهم ) C C(رحمهم الله
در این صورت با توجه به فضای نمونه و پیش آمد مورد نظر می‏توان وقوع یک پیش آمد را به صورت زیر محاسبه کرد:
P=
ویا: P=
در مثال 1: احتمال آمدن شیر و یا خط برابر است با: 1 P) B(= 1 P) A(=
و در مثال 2: احتمال وقوع پیش آمد Aبرابر است با: 1 P) A(=
6 پیش آمدهای ناسازگار: اگر دو پیش آمد نتوانند با هم روی دهند در این صورت به آنها پیش آمدهای ناسازگار گویند. به عبارت دیگر: دو پیش آمد هنگامی ناسازگارند که وقوع یکی از آنها مستلزم عدم وقوع دیگری باشد، مثلاً در پرتاب سکّه، نتیجه نمی‏تواند هم شیر باشد هم خط، همچنین تجمّع عناصری که در میان آنها فرض شود عضوهایی وجود دارند که هم از ناحیه صانع حکیم پدید آمده باشند و هم از تصادف، نیز ناسازگارند.
از نظر ریاضی می‏توان چنین توصیف کرد که دو پیش آمد مانند پیش آمد های Aو Bهنگامی ناسازگارند که زیر مجموعه‏های مربوط به آنها در فضای نمونه دارای عضو مشترکی نباشند. به عبارت دیگر: مجموعه Aو Bکه نشان دهنده پیش آمدهای Aو Bاست دو مجموعه جدا از هم می‏باشند:
7 پیش آمدهای سازگار: اگر چنانچه دو پیش آمد بتوانند با هم روی دهند، دراین‏صورت دو پیش آمد را سازگار گویند. به‏عبارت دیگر: اگر وقوع پدیده Aباعث وقوع‏پدیده Bو یا وقوع قسمتی از پدیده Bشود. در این صورت این دو حادثه را سازگار می‏نامند.
مثال: گروهی که از 6 نفر دانشجو تشکیل شده اگر چشم بسته، دست روی شماره‏ای از نامهای آنان بگذاریم وپیش آمد مورد نظر این باشد که شمارهءمطلوب ما زوج باشد یا مضربی از 3،در این صورت دو پیش آمد وجود دارد، یکی پیش آمد Aکه عدد زوج را نشان می‏دهد و دیگری پیش آمد Bکه مضربی از 3 را مشخص می‏سازد. با کمی دقت متوجه می‏شویم که اگر انگشت بر شماره 6 گذاشته شود پیش آمد Aباعث وقوع پیش آمد B شده‏است. و از نظر ریاضی اگر به دو مجموعه توجه کنیم مشاهده خواهیم کرد که این دو مجموعه Aو Bدر عضو 6 با هم مشترک می‏باشند و می‏توان با نمودار (دیاگرام) «وَن» چنین نشان داد:
در این حالت برای محاسبه احتمال پدیده مورد نظر باید اوّل مجموعه ) A B( را مشخص کرده سپس از مجموع هر دو، احتمال پیش آمدهای Aو Bرا کم کنیم، یعنی فرمول محاسبه به صورت زیر در می‏آید:
P) A B(= P) A(+ P) B(- P) A B(
مثال: اگر چشم بسته بر شماره نامهای دانشجویان گروه 6 نفری انگشت بگذاریم، مطلوب است احتمال این که زیر انگشت ما عدد فرد یا مضربی از 3 باشد. حلّ مسئله چنین است:
پس احتمال وقوع مورد سوءال برابر با 2 است.
8 پیش آمدهای مستقل: بنابه تعریف، دو پیش آمد را مستقل می‏گویند که وقوع یکی در وقوع دیگری هیچ گونه تأثیری نداشته باشد. به عبارت دیگر: دو پیش آمد مانند پیش آمدهای Aو Bهنگامی مستقل از هم خواهند بود که وقوع یا عدم وقوع پیش آمد Aاحتمال وقوع پیش آمد Bرا تغییر ندهد، مثلاً در پرتاب دو سکّه با هم شیر یا خط آمدن سکّه اوّل هیچ اثری در روی شیر یا خط آمدن سکّه دوّم نداشته، بنابر این در پرتاب دوسکّه با هم، نتنیجه ها مستقل از یکدیگر خواهند بود.
9 پیش آمدهای غیر مستقل (وابسته و مشروط): دو پیش آمد را وابسته به هم گویند که احتمال وقوع یا عدم وقوع یکی در احتمال وقوع یاعدم وقوع دیگری موءثر باشد. به عبارت دیگر: اگر دو پیش آمد Bو Aرا در نظر بگیرریم به طوری که وقوع یا عدم وقوع پیش آمد Aدر وقوع ویا عدم وقوع پیش آمد B تأثیر داشته باشد در این صورت دو پیش آمد Bو Aغیر مستقل خواهند بود. مثلاً در نمونه گیری بدون جای گزینی، وقوع یک پیش آمد بر احتمال وقوع پیش آمد دیگر اثر می‏گذارد. چنان که در قضیه حاصل ضرب احتمالات غیر مستقل توضیح آن خواهد آمد ودر مثال دیگر می‏توان گفت: شاگرد اوّل شدن دانشجویی در منطق یک حالت احتمالی است، و شاگرداوّل شدنش در ریاضیّات نیز یک حالت احتمالی است، ولی اگر ما فرض کنیم که این دانشجو در منطق شاگرد اوّل شد احتمال اینکه در ریاضیات نیز اوّل شود، بیشتر خواهد شد؛ زیرا اوّل شدن در منطق ازاستعداد علمی دانشجو کشف خواهد کرد. عکس مطلب نیز صحیح است به این معنا که اگر در منطق ضعیف شد احتمال اینکه در ریاضیات نیز ضعیف شود قوی‏تر خواهد گردید، وهر احتمالی که از فرض صدق احتمال دیگر متأثّر گردد( یعنی قوی تر یا ضعیف تر گردد) احتمال مشروط نامیده می‏شود.
10 پیش آمدهای متمّم (عکس): بنا به تعریف دو پیش آمد مانند Aو َ A(آپرین) یا Pو َ P(پیپرین) را متمّم گویند که نتیجه یک حادثه و پدیده تنها A، Pباشد یا َ A، َ P. به عبارت دیگر: وقوع پدیده A، Pبا عدم وقوع َ A، َ P، ووقوع پیش آمد َ A، َ P ، با عدم وقوع A، Pروبرو می‏شود، وبا توجه به تعریف مذکور رابطه زیر را نتیجه می‏گیریم:
1= Aَ، Pَ + A، P
پیش آمدهای A، Pو َ A، َ Pرا دو پیش آمد عکس هم می‏گویند و با توجه به رابطه مذکور، می‏توان تعریف دیگری نیز از پیش آمدهای عکس به صورت زیر ارائه داد:
دو پیش آمد راعکس هم گویند در صورتی که مجموع احتمالهای آنها برابر یک شود، وچنان که اشاره شد این رابطه در مقاله نظم بر اساس حساب احتمالات نقش عمده و ارزنده ایفا می‏کند.
11 قضیه حاصل ضرب احتمال: 1احتمالات غیر مستقل (وابسته و مشروط) اگر دو پیش آمد Aو Bغیر مستقل باشند، در این صورت وقوع پیش آمد Aراپس از آنکه پیش آمد B واقع شود با نماد ( B A) P. (یعنی احتمال Aپس از قوع B، یا A به شرط B) ویا احتمال وقوع پیش آمد Bرا پس از آنکه پیش آمد Aوقوع یافته باشد به صورت ( B A) Pنشان خواهیم داد. بنابر این، احتمال وقوع توأم دو پیش آمد وابسته Aو Bبرابر خواهد بود:
P) A B(= P) B(. P) A B(
ویا P) A B(= P) A(. P) B A(
روابط فوق نشان دهنده این مطلب است که احتمال توأم دو پیش آمد وابسته برابر است با احتمال وقوع یکی از آنها ضرب در احتمال وقوع دیگری هنگامی که پیش آمد اوّلی وقوع یافته باشد. ما در اینجا یک مثال می‏آوریم و سپس فرمول را بسط می‏دهیم:
امّا مثال: در کیسه‏ای 4 گلوله سفید، 6 گلوله سیاه و 5 گلوله قرمز رنگ وجود دارد، از این کیسه دو گلوله به طور متوالی و بدون جای گزاری (جایگزینی) بیرون می‏آوریم مطلوب است احتمال این که:
1 هر دو گلوله سفید رنگ باشند.
2 یکی از گلوله‏ها سفید ودیگری قرمز باشد.
امّا حلّ این که هر دو سفید باشند: «گلوله‏های سفید را با w وسیاه را با bو قرمز را با rنشان می‏دهیم و در آغاز فضای نمونه را می‏نویسیم:
S= {w، w، w، w، b، b... b، r، r... rرحمهم الله
در اینجا چون نمونه گیری بدون جای گزاری می‏باشد بنابراین، دو پیش آمد وابسته و مشروط خواهند بود؛ زیرا هنگامی که می‏خواهیم گلوله دوّم را خارج کنیم چون اوّل یک گلوله از کیسه بیرون آمده وکنار گذاشته شده است در نتیجه یک گلوله از تعداد گلوله‏های کیسه در هنگام بیرون آوردن گلوله دوّم کمتر شده و در نتیجه، احتمال وقوع پیش آمد دوّم فرق خواهد کرد. بنابر این، پیش آمد برای بیرون آوردن گلوله اوّل که سفید باشد چنین است:
A= {w، w، w، wرحمهم الله
P) A(= =
وچون یک گلوله، اوّل بیرون آمده است بنابر این، یک عضو از عضوهای فضای نمونه کم می‏شود:
S= {w، w، w، b، b... b، r، r... rرحمهم الله
پیش آمد بیرون آمدن گلوله دوّم سفید رنگ:
B= {w، w، wرحمهم الله
P) B A(= =
وبنابر این، احتمال وقوع توأم دو پیش آمد Aو Bبرابر خواهد بود با:
P) A B(= P) A(. P) B A(=
=
وامّا حلّ این که یکی سفید و دیگری قرمز باشد: در این حالت نیز فضای نمونه را می‏نویسیم:
S= {w، w، w، w، b، b... b، r، r... rرحمهم الله
پیش آمد سفید بودن گلوله خارج شده برابر است با:
A= {w، w، w، wرحمهم الله
P) A(= =
S= {w، w، w، b، b... b، r، r... rرحمهم الله
پیش آمد این که گلوله دوّم قرمز رنگ باشد برابر است با:
B= {r، r، r، r، rرحمهم الله
P) B A(= =
P) A B(= P) A(. P) B A(=
=
اما در این فرض دو حالت ممکن پیش می‏آید: امکان دارد اوّل گلوله سفید خارج شود و دوّم گلوله قرمز. یا اوّل گلوله قرمز و بعد سفید:
=حالات ممکن
P) A B(=
تئوری ترکیب: در مواردی که دو پیش آمد وابسته و مشروط باشند می‏توان مسائل را از راه تئوری ترکیبات حل کرد. استفاده از این روش بهتر بوده، در وقت صرفه جویی به عمل آمده و امکان اشتباه آن کمتر است.
برای توضیح، همین مسئله را از روش تئوری ترکیب حل می‏کنیم: در این روش نخست کلّ حالات ممکن را محاسبه می‏کنیم، برای این کار در نظر می‏گیریم که از میان 15 گلوله باید دو گلوله بیرون بیاوریم. بنابراین، کلّ حالات ممکن برای بیرون آوردن این دو گلوله از ترکیب 15 گلوله 2 به 2 بدست می‏آید، وبا توجه به اینکه فاکتوریل را با !علامت نشان خواهیم داد چنین داریم:
105= ! 15 = =تعداد حالات ممکن
15*14*13*...*3*2*1 = = تعداد حالات ممکن )
105=
حال می‏خواهیم دو گلوله بیرون آمده سفید رنگ باشد، پس باید این دو گلوله ازمیان 4 گلوله سفید موجود انتخاب شود، بنابراین تعداد حالات مساعد برای بیرون آوردن 2 گلوله که هر دو سفید باشد از ترکیب 4 گلوله 2به 2 به دست خواهد آمد یعنی:
6 = ! 4 =تعداد حالات مساعد
بنابر این:
= P= P=
= P=
حلّ برای این که یکی سفید ودیگری قرمز باشد خواهیم داشت:
105= C= تعداد حالات ممکن
چنان که حالات ممکن برای بیرون آوردن یک گلوله سفید رنگ:4= Cو حالات ممکن برای بیرون آوردن یک گلوله قرمز 5= Cاست و از این رو:
20=5*4= =تعداد حالات مساعد
بنابر این:
20 = 5*4 = = P
P= =
واگر در این زمینه، احتمال تعداد بی‏شمار وعدد بزرگی از عناصر وابسته و مشروط به علم و قدرت حکیم مدبّر در پیدایش جهان نقش تعیین کننده داشته باشند باید فرمول را در قالب n پیش آمد مشروط وغیر مستقل چنین بسط وگسترش داد:
P= ) A A A... A(=
= P) A(. P) A A(. P) A A A(
... P) A A A A... A(
P) A A A A A... A(
P) A A A A... A(=
P) A( P) A A( P) A A A... P) A A A... A(
2 احتمالات مستقل: اگر چنانچه دو حادثه مستقل از هم باشند در این صورت احتمال حالات مساعد یا احتمال وقوع توأم پیش آمدها برابر خواهد بود با حاصل ضرب احتمال تک تک پیش آمدها، یعنی اگر دو پیش آمد Aو Bمستقل از هم باشند در این صورت خواهیم داشت:
P) A B(= P) A(. P) B(
مثال: در کسیه‏ای 4 گلوله سفید و 6 گلوله سیاه رنگ، ودر کیسه دیگری 5 گلوله سفید و 10 گلوله سیاه رنگ وجود دارد، از هر یک از این کیسه‏ها گلوله‏ای به تصادف بیرون می‏آوریم، مطلوب است احتمال اینکه هر دو گلوله بیرون آمده سفید باشد.
در حلّ این مسئله برای هر یک جداگانه فضای نمونه دو پیش آمد را نوشته وسپس احتمال وقوع هر یک را حساب می‏کنیم. درفضای نمونه اگر گلوله‏های سفید را با w، وگلوله‏های سیاه را با bنشان دهیم خواهیم داشت:
S= {w، w، w، w، b، b، b b، b، bرحمهم الله
A= {w، w، w، wرحمهم الله
P) A(= = =
S= {w، w، w، w، w، b، b b... bرحمهم الله
B= {w، w، w، w، wرحمهم الله
P) B(= = =
وچون دو حادثه مستقل از هم می‏باشند، بنابر این احتمال توأم این دو پیش آمد برابر خواهد بود با:
= P) A B(= P) A(. P) B(
وقتی ما می‏بینیم عناصر تشکیل دهنده این جهان منظم و شرایط حاکم بر آنها به قدری زیاد است که از رقم بسیار بالا وبزرگی برخوردار است باید فرمول را کاملاً بسط و گسترش داد درنتیجه خواهیم دانست که احتمال به صفر منتهی می‏شود پس چنین داریم:
P) A A A... A(=
P) A(. P) A(... . P) A(
وچون nبه سوی بی نهایت میل کند احتمال به سوی 1 میل می‏کند که برابر با صفر است.
ممکن است اشکال شود که از جنبه تحلیلی وقتی «یک» تقسیم بر بی نهایت شود 1 نمی‏تواند معنای بالفعل داشته باشد، بلکه تنها معنایی بالقوه دارد و تقریباً غیر ممکن است که 1 را هنگامی که nبه سوی بی نهایت ( y) میل کند تعیین کرد و در نتیجه ثابت کرد که این حد به سوی بی نهایت میل می‏کند.
پاسخ این است که گر چه ممکن است از جنبه ریاضی چنین سخنی را بر زبان جاری ساخت، امّا از جنبه عرفی این احتمال 1 را همانند یک نماد کاملاً نظری که درجه غایی عدم احتمال و نیز عدم امکان تصادفی که جهان را به شکلی که جلوی چشم ماست منظّم ومرتب کرده باشد بیان می‏کند، می‏توان پذیرفت.
به تقریب وبیان دیگر: می‏توان عدم امکان پیدایش جهان بر اساس تصادف را این گونه تقریر کرد که کارشناسان و ریاضی دانان بخش احتمالات اتّفاق دارند که احتمالات غیر قابل اعتنا عبارت‏اند از کسرهایی که صورت «1» و مخرج چند رقمی داشته باشند از جمله:
احتمالی «به مقیاس زمینی» غیر قابل اعتناست که در 1 مخرجش فقط20 یا 30 رقمدارد مثلاً 1 (یک تقسیم بر ده به توان 25).
احتمالی «به مقیاس جهانی» غیر قابل اعتناست که در 1 مخرج، تنها چد صد رقم، حداکثر تا هزار داشته باشد مثلاً 1 (یک تقسیم بر ده به توان هشتصد).
از این طبقه بندی، می‏شود چنین نتیجه گرفت که احتمال نظری 1 (یک تقسیم بر بی نهایت) که فرض «جهان تکوین» بر اساس تصادف است نه فقط غیر قابل اعتناست؛ زیرا که 1 ، بی نهایت کمتر از 1 می‏باشد، بلکه علاوه بر آن این احتمال به گونه‏ای آن چنان ناچیز ناچیز است که «باید معدوم و صفر» تلقی شود، در نتیجه احتمال رقیب وعکس یعنی فرضیه‏ای که می‏توانست نظام جهان را بر اساس نظم مدبّرانه وحکیمانه توجیه کند ثابت می‏شود پس چنین داریم:
P+ P= P= =0
1= P1= P+0
_______________________________
1 منابع:
1 اسس المنطقیة للإستقراء؛ سید محمد باقر صدر.
2 احتمال بخش 16 از دوره ریاضیات بنیادی سال اول دانشگاه آزاد ایران.
3 نجوم کنونی و معرفت پروردگار، آندره ژیره، ترجمه مهندس ذبیح الله دبیر.
4 آمار و احتمالات، دکتر مهدی نفر.
5 گامهای نخست نطریه احتمال، 1 اس و نتسل، ترجمه کیومرث پریانی و برخی کتب دیگر.