ترکیب گزاره ها در منطق ریاضی

علیرضا قائمی‏نیا در مقال گذشته پس از ذکر اقسام گزاره‏ها، نخستین و ساده‏ترین آنها که همان گزاره اتمی بود مورد بررسی قرار گرفت.اکنون به بیان و بررسی قسم دیگر یعنی گزاره مرکب می‏پردازیم، قبل از بررسی و تحلیل قسم دوم لازم است الفاظ ساختی و الفاظ غیر ساختی را بیان کنیم.
الفاظ ساختی و الفاظ غیر ساختی
الفاظ لغت را از جهت کاربرد به دو دسته می‏توان تقسیم کرد:
نخست، الفاظی که آنها را برای نامیدن اشیاء بکار می‏بریم، مانند:درخت، چوب، فرانسه، تهران...، این نوع الفاظ«الفاظ غیر ساختی» Non-structural words هستند همه افعال و اسمهای علم و صفات از این دسته‏اند.
دسته دیگر الفاظی است که برای نامیدن یا اشاره کردن به اشیاء بکار نمی‏رود، اما در ساختن عبارتهای کلامی و جمله‏ها از آن استفاده می‏گردد.این الفاظ «الفاظ ساختی»structural words«نامیده می‏شوند، الفاظی نظیر«چنین نیست...».«اگر»، «یا»، «و»، «هر» و«برخی»همه از این دسته‏اند.در میان اشیاء چیزی نداریم که مثلا«چنین نیست...»یا «اگر»نامیده شود، الفاظی که بر نسبت دلالت می‏کنند و نیز الفاظی که برای ربط دادن بین دو کلمه یا بیشتر یا بین دو جمله بکار می‏روند، همه الفاظ ساختی‏ند، مثلا وقتی می‏گوییم:«کتاب و قلم در کیف‏اند».با این عبارت از عالم اشیاء از وجود سه چیز [«قلم»، «کتاب»، «کیف»]خبر می‏دهیم، اما چیز چهارمی به نام«و»و چیز پنجمی به نام«در»نداریم. این الفاظ و نظائرشان مانند ملاط برای ساختمان هستند (1) کلمه«در»بر نسبت میان دو چیز که ممکن است در یک گزاره ساده آمده باشند دلالت می‏کند، اما کلماتی مانند«و»و«یا»دارای اهمیت دیگری در منطق هستند، زیرا اینها برای ربط دادن دو یا چند گزاره به کار می‏روند و وظیفه آنها ارتباط برقرار کردن میان حدودی که در یک گزاره آمده‏اند نیست، یعنی این الفاظ وقتی برای ترکیب گزاره‏ها بکار بروند از لغات منطقی Logical Words هستند و در غیر این صورت جزو لغات منطق نخواهند بود.به عنوان مثال در ترکیب«کتاب و دفتر»یا«کتاب یا دفتر»، الفاظ«و» و«یا»لغات منطقی نیستند (2) ، لذا الفاظ«و»و«یا» گر چه می‏توانند حدود داخل یک گزاره را بهم ربط بدهند و بر علاقه میان عناصر آن دلالت کنند، ولی در صورتی که بر یک نوع علاقه منطقی میان گزاره‏ها دلالت کنند جزو الفاظ منطق خواهند بود.
الفاط ساختی مانند«یا»، «چنیننیستکه» «اگر»، «و»لغتهای منطقی و نیز از این جهت که در همه ترکیبات معنای واحدی دارند ثابتهای منطقی Logical Contant نامیده می‏شوند.
الفاظ ساختی، علاوه بر اینکه رابطه‏ای میان گزاره‏ها برقرار می‏سازند، از جهت دیگری نیز در منطق اهمیت دارند و بنفسه بر نتیجه دلالت می‏نمایند که آیا نتیجه صادق است یا کاذب، مثلا اگر بدانیم که گزاره P صادق است.سپس بگوییم«اگر P نگاه q»در این صورت از خود ساخت گزاره می‏فهمیم که q نیز صادق است. (3)
الفاظ ساختی انواع گوناگونی دارد که به خاطر ارتباط آن با قسم دوم گزاره مهمترین انواع آن خواهد آمد.
2-گزاره مولکولی یا مرکب *
گزاره مولکولی، گزاره‏ای است که شامل الفاظ ساختی، نظیر«یا»، «و»، «اگر»...باشد.این نوع گزاره‏ها را می‏شود به دو یا چند گزاره اتمی تحلیل کرد، و لذا راسل آنها را گزارههای مولکولی و یا مرکب می‏نامد، زیرا چنانکه اتمها در ترکیب درونی مولکولها دخالت دارند گزاره‏های اتمی نیز در ترکیب درونی گزاره مولکولی دخالت دارند.
راسل در کتاب«علم ما به عالم خارج»چنین می‏گوید:
«قضایای خرده‏گانی-چند عنصری-قضایائی است که شامل ادات وصل است(مثل اگر، یا، واو عاطفه و مگر اینکه و غیره)و این ادات علائم قضیه خرده‏گانی به شمار می‏روند، مثلا این قضیه را در نظر بگیرید که«اگر باران بیآید من چترم را برمی‏داریم» خبر این قضیه عینا مانند خبر یک قضیه ذره‏گانی قابل تصدیق و تکذیب است، اما واضح است که نوع مطابقت با حقیقت با آنچه که در قضایای ذره‏گانی دیدیم فرق کلی دارد.تحقق آمدن باران و تحقق برداشتن چتر از جانب من، هر یک به تنهایی از امور واقع ذره‏گانی و قابل تصدیق به مشاهده عینی است، اما ربط و علاقه بین آندو که لازمه قول به این است که اگر یکی به وقوع پیوست آنگاه دیگری هم واقع خواهد شد، امری است که با هر یک از آندو به تنهایی و جداگانه ذاتا اختلاف دارد.برای احراز این قضیه مرکب به آمدن باران احتیاجی نیست و برداشتن چتر هم ضرورت ندارد، حتی اگر آسمان صاف و بی‏ابر باشد، باز صحیح است که بگوییم اگر هوا بارانی بود من چترم را برمی‏داشتم.پس اینجا رابطه‏ای بین دو قضیه می‏بینیم که بستگی به این ندارد که خود آن قضایا تصدیق یا تکذیب بشوند و فقط بسته به این است که دومی را بتوان از اولی استنتاج نمود، اینگونه از قضایا دارای صورتی هستند که با صورت کلیه قضایای ذره‏گانی فرق دارد.اینگونه قضایا از نظر اینکه استنتاج مبتنی بر آنهاست، در منطق اهمیت دارد.اگر من به شما گفته باشم که هر گاه باران بیآید آنگاه من چتر خواهم آورد و شما ببینید که باران می‏بارد، می‏توانید استنتاج کنید که من چتر خود را همراه آورده‏ام، جز در موردی که چنین ارتباطی بین قضایا قائم باشد استنتاج غیر ممکن است تا از صدق یا کذب یک چیزی درباره صدق و کذب دیگری به ضرورت لازم آید ظاهرا صحیح است که گاهی می‏توان به قضایای چند عنصری مانند مثال چتر در بالا علم حاصل کرد بدون (*)گزاره مولکولی یا مرکب، معادل انگلیسی molecular proposition می‏باشد و در کتابهای عربی به قضایای مرکبه یا جزیئیه ترجمه شده، منوچهر بزرگمهر به قضایای خرده‏گانی یا چند عنصری ترجمه کرده است.(ر.ک:علم ما به عالم خارج، ص 67)ضمنا لازم به ذکر است که بخش 1 یعنی گزاره اتمی یا ساده در شماره قبل مورد بررسی قرار گرفت. اینکه درباره صدق یا کذب قضایای ذره‏گانی که جزء آنها هستند اطلاعی داشته باشیم و فایده عملی استنتاج مبتنی بر این امر است». (4)
انواع گزارههای مرکب
صورت گزارههای مرکب از جهت روشی که گزارههای ساده در آن با یکدیگر مرتبط شده‏اند فرق می‏کند و اختلاف نحوه ارتباط گزارهها در اثر اختلاف ادات ربط منطقی است که بکار برده شده، مهمترین انواع گزاره مرکب عبارتند از:1-ترکیب عطفی، 2- ترکیب شرطی، 3-ترکیب فصلی.اکنون این گزارهها را با الفاظ ساختی مخصوص به هر یک بررسی می‏کنیم:
1-ترکیب عطف:
ربط دو گزاره(یا بیشتر)با ثابت منطقی«و»گزاره مرکب جدیدی بوجود می‏آورد که ترکیب عطفی یا عطف‏conjunction و گاهی حاصل ضرب منطقی logical product نامیده می‏شود، چنانکه گزارههایی که بدین طریق با یکدیگر ترکیب یافته‏اند عناصر عطف members of conjunction یا عاملهای حاصل ضرب منطقی نامیده می‏شوند.
برای ثابت منطقی«و»نیز علامتهای گوناگونی در کتابهای منطق ریاضی استفاده شده که با رمز 8 بکار می‏بریم، حال اگر دو گزاره را با P و q نمایش دهیم (برای سلب هر یک از علامت‏استفاده می‏کنیم)، به یکی از چهار صورت می‏توانیم این دو گزاره را ترکیب کنیم:
ترکیب عطفی در صورتی صادق است که هر دو عنصر آن با هم صادق باشد.و در غیر این صورت کاذب خواهد بود.
در منطق ریاضی صدق و کذب گزارههای مرکب را (در حساب گزارهها)با روش مکانیکی بوسیله جدولهای خاصی به نام جدول ارزش تبیین می‏کنند. این جدولها را به صوت فشرده یا باز می‏توان نمایش داد و ما جدول غیر فشرده را انتخاب نموده و صدق را با 1 و کذب را با 0 بیان می‏کنیم با توجه به اینکه 0 و 1 معنای عددی ندارد.پس برای ترکیب عطفی داریم: *
چنانکه در جدول می‏بینیم ترکیب عطفی فقط در یک حالت راست است و آن صورتی است که هر یک از عناصر آن راست باشد و در سه حالت دیگر دروغ می‏باشد.
2-ترکیب شرطی(اگر...آنگاه...).
گاهی از ترکیب دو گزاره با ادات شرط(اگر)گزاره مرکب جدیدی حاصل می‏شود که ترکیب شرطی و یا گزاره لزوم Implication می‏نامند و گزاره‏های بعد از (اگر)می‏آید مقدم Antecedent و گزاره دیگر تالی Consequent نامیده می‏شود.ترکیب شرطی دو گزاره P و q را با q-P نمایش می‏دهیم.در این ترکیب صدق مقدم P صدق تالی q را لازم گرفته، بدون اینکه گوینده اقرار کند که گزاره نخست(مقدم)فعلا صادق است.
تنها حالتی که در آن ترکیب شرطی کاذب می‏باشد این است که مقدم صادق و تالی کاذب باشد و در سه حالت دیگر صادق است:
1-مقدم و تالی هر دو صادق باشند.
(*)در اینجا منطق دو ارزشی را بکار برده‏ایم ولی منطقهای سه ارزشی چهار ارزشی و...نیز داریم که نخستین بار لوکازی ویچ منطق دار لهستانی به هنگام بررسی منطق موجهات آنها را وارد حیطه منطق کرده است.
2-تالی صادق و مقدم کاذب باشند.
3-مقدم و تالی هر دو کاذب باشند.
جدول ارزش این ترکیب چنین خواهد بود:
P/q/P-q 1/1/1 1/0/0 1/1/0 0/0/1
شرطی صوری و شرطی مادی (5)
میان استعمال ادات شرط در لغت عادی و استعمال آن در منطق ریاضی تفاوت هست، در لغت و زبان روزمره دو جمله را با اگر ربط نمی‏دهیم، مگر اینکه میان آن دو جمله از نظر صورت و مضمون نوعی ارتباط باشد، یعنی از نظر معنا میان مقدم و تالی باید نوعی ارتباط باشد، مثلا از نظر لغوی نمی‏توانیم بگوییم:«اگر 3 عدد فرد باشد پس تهران شهر بزرگی است».
زیرا بین فردیت 3 و بزرگ بودن تهران هیچ نوع ارتباطی از نظر معنا وجود ندارد و ما غالبا این ترکیب را در صورتی بکار می‏بریم که رابطه‏ای قوی میان مقدم و تالی باشد.
البته اینجا یک نوع عامل نفسانی نیز حاکم می‏باشد که دارای اهمیت است و آن اینکه ما بطور عادی هنگامی ترکیب شرطی را بکار می‏بریم که علم دقیقی نسبت به صدق مقدم و تالی نداریم والا بکار بردن شرط طبیعی نخواهد بود.اما منطق دانان احتیاجهای لغات علمی را بررسی کرده و معنای ترکیب شرطی را توضیح داده و آن را از عوامل نفسانی رها ساخته و در استعمال آن توسعه داده‏اند، به این صورت که ترکیب شرطی را دارای معنا می‏دانند، هر چند که بین عناصر«مقدم و تالی»آن علاقه‏ای نباشد و نیز صدق و کذب ترکیب شرطی را بطور قاطع تابع صدق و کذب مقدم و تالی دانسته‏اند.منطق‏دان معروف، آلفرد تارسکی Alfred Tarski برای جدا کردن این دو نوع استعمال چنین بیان کرده است:
«برای تعبیر آوردن بطور خلاصه از این نگرش می‏توان گفت که منطق معاصر گزاره‏های شرطی به معنای مادی Implications in material- ing، یا به شکل ساده‏تر:گزاره‏های شرطی مادی Material Implications را بکار می‏گیرد، در مقابل بکار بردن شرطی به معنای صوری Implications in formal meaning یا گزاره‏های شرطی صوری Formal Implication که در آنها وجود علاقه صوری معینی بین مقدم و تالی شرطی است و برای صدق گزاره شرطی و برای معنادار بودن آن از این شرط بی‏نیاز نیستیم.و گاهی ایده شرطی صوری بصورت تام واضح نیست، مگر اینکه-در هر صورت- محدودتر از ایده شرطی مادی باشد، زیرا هر گزاره شرطی صوری که دارای معنا و صادق باشد در عین حال گزاره شرطی مادی نیز می‏باشد ولی عکس مطلب صحیح نیست.» (6) نگرش منطق ریاضی درباره گزاره‏های شرطی را می‏توانیم با مثالهای زیر تبیین کنیم. *
الف-اگر 4 2 در 2 پس تهران شهر بزرگی است.
ب-اگر 5 2 در 2 پس تهران شهر بزرگی است.
ج-اگر 4 2 در 2 پس تهران شهر کوچکی است.
د-اگر 5 2 در 2 پس تهران شهر کوچکی است.
در لغت عادی و روزمره، این مثالها دارای معنا نیستند، زیرا هیچ ارتباط ضروری میان مقدم و تالی در آنها وجود ندارد @ اما در منطق ریاضی همه این مثالها دارای معنا هستند و فقط مثال(ج)کاذب می‏باشد، زیرا مقدم آن صادق و تالی آن کاذب است.
مطالبی که باید بر آنها تأکید شود در نکته‏های اساسسی زیر خلاصه می‏کنیم:
1-بین شرط مادی و شرطی صوری فرق است و منطق ریاضی شرطی مادی را بجای شرطی صوری (که در لغت بکار می‏رود)بکار می‏برد.
2-شرطی مادی بدین معناست که صدق و کذب ترکیب شرطی تابع صدق و کذب مقدم و تالی است، یعنی صدق و کذب این ترکیب را به روش مکانیکی می‏توان از صدق و کذب عناصر آن(مقدم و تالی) بدست آورد، در صورت صدق مقدم و کذب تالی این ترکیب کاذب، و در غیر این صورت(سه حالت)این ترکیب صادق است، اما شرطی صوری بدین معناست که بین عناصر این ترکیب از نظر صوری و محتوی، هر دو نوعی رابطه باشد.در شرطی صوری هر چند 4 حالت مذکور صادق است ولی صدق و کذب شرطی صوری به صورت فوق قابل تعیین نیست. *
3-از نظر تحقیق * میان شرطی صوری و شرطی مادی، نسبت عموم و خصوص مطلق می‏باشد، یعنی هر گزاره شرطی صوری، شرطی مادی نیز میباشد، ولی هر گزاره شرطی مادی، شرطی صوری نیست.
4-این فرق‏گذاری بین لغت و منطق، مطلق نیست، زیرا گاهی در لغت شرطی مادی نیز بکار می‏رود، فرض می‏کنیم یکی از دوستان ما نمی‏تواند مسأله‏ای را حل کند و ما اعتقاد کامل به عدم توانایی وی در حل این مسأله داریم، به او می‏گوییم:«اگر تو مسأله را حل بکنی من کلاه‏ام را می‏خورم»در این گزاره شرطی تالی بدون شک کاذب است و ما می‏خواهیم از کذب تالی بر کذب مقدم استدلال کنیم، اما روشن است که در اینجا هیچ نوع رابطه و ملازمه‏ای میان مقدم و تالی نیست، لذا این مثال نمونه‏ای از شرطی مادی می‏باشد نه شرطی صوری * . (7)
البته مناقشات زیادی در این باره صورت گرفته و به نظر می‏رسد که فیلسوف یونانی فیلون philon از اهل مگارا megara نخستین کسی است که شرطی مادی را مطرح کرده و از این جهت با استادش دیودورس کرونوس Diodorus cronus اختلاف داشته که شرط را در معنای محدودی، بسیار نزدیک به شرطی صوری بکار می‏برده، و احتمالا رواقیون که مبانی اولیه حساب گزاره‏ها در سخنان آنها دیده می‏شود، متأثر از فیلون، معانی ترکیب شرطی را تحلیل کرده‏اند.
بحث تطبیقی
گر چه ما هنوز در مقام نقل سخنان منطق‏دانان (*)این مثالها با اندکی تغییر از تارسکی اخذ شده.
(@)به اصطلاح منطق ما ملازمه و لزومی نیست و به نظر می‏رسد تعبیر دکتر مصاحب در مدخل منطق صورت به تلازم صحیح نباشد، زیرا تلازم طرفینی است، ولی ملازمه یا لزوم یک طرفی است.
(ر.ک:مدخل منطق صورت، ص 70).
(*)این مطلب در بحث تطبیقی که بعد از این خواهد آمد روشن خواهد شد.
(*)اینکه گفتیم از نظر تحقق چون عموم و خصوص از نظر صدق در گزارهها معنا ندارد و فقط در مفردات به حسب صدق می‏باشد.
(*)لازم است گفته شود:همین مطلبی که در تفاوت شرطی صوری و شرطی مادی از تارسکی نقل شد دکتر زکی نجیب در المنطق الوضعی(ص 68)نیز بیان کرده و در نهایت چنین گفته:«لذا منطق دانان میان شرطی مادی که بر معنا توقف دارد و شرطی صوری که فقط اهتمام به شکل صوری دارد، فرق می‏گذارند.ملاحظه می‏شود که شرطی صوری وسیع‏تر از شرطی مادی می‏باشد...»
نکته دیگر اینکه هر چند در کتب عربی به لزوم صوری و لزوم مادی ترجمه شده ولی ما ایندو را در معنای دیگری که بعدا بیان خواهد شد بکار برده‏ایم و در اینجا به شرطی صوری و شرطی مادی ترجمه کرده‏ایم. ریاضی هستیم و وارد بیانات دانشمندان اسلامی نشده‏ایم، ولی در اینجا یک بحث تطبیقی در گزاره شرطی لازم است، چون سروکار ما بعدا با گزاره‏های محلی و انواع آن(مانند حقیقیه و خارجیه...) خواهد بود و چندان بحثی در گزاره‏های شرطی نخواهیم داشت، لذا این بحث ضرورت دارد.
آنچه از کلمات بسیاری از بزرگان استفاده می‏شود این است که ترکیب شرطی در منطق ریاضی همان است که در منطق خودمان شرطیه لزومیه نامیده می‏شود (8) برای بیان نادرست بودن این نظر بایستی ببینیم شرطیه لزومیه چیست:
گزاره‏های شرطی یا متصلند و یا منفصل، در قضیه شرطی متصله حکم به اتصال و پیوستگی و ملازمه میان دو نسبت(در موجبه و در سالبه عدم پیوستگی و...)می‏شود، ولی در قضیه شرطی منفصله حکم به جدایی و عدم پیوستگی دو(یا چند)نسبت می‏شود. *
متصله لزومی قضیه شرطیه‏ای است که پیوستگی میان مقدم و تالی در آن مبتنی بر علاقه خاصی است، این علاقه می‏تواند دارای یکی از صورتهای (9) زیر باشد:
الف-مقدم علت تالی باشد، مانند«اگر آفتاب طلوع کرده پس روز است».
ب-مقدم معلول تالی باشد، مانند:«اگر روز باشد پس آفتاب طلوع کرده است».
ج-مقدم و تالی، هر دو معلول علت واحد باشند، مانند:«اگر روز است پس هوا روشن شده است».
د-مقدم و تالی متضایفین باشند، مانند:«اگر علی پدر حسن است، پس حسن پسر علی است».
قطب رازی در شرح شمسیه چنین گفته است:«صدق شرطیه(و کذبش)به مطابقت حکم به اتصال و انفصال با نفس الامر(و عدم مطابقت با نفس الامر)می‏باشد، نه به صدق دو جزء آن(و به کذب دو جزء آن)پس اگر حکم در شرطیه مطابق نفس الامر باشد صادق است و در غیر این صورت کاذب می‏باشد دو جزء آن به هر صورتی که باشد[یعنی دو جزء آن صادق یا کاذب باشند]، سپس اگر دو جزء شرطیه را با نفس الامر بسنجیم چهار حالت خواهیم داشت... پس متصل موجب صادق ترکیب می‏یابد از: @
1-دو قضیه صادق مانند:«اگر زید انسان است پس حیوان است».
2-دو قضیه کاذب مانند:«اگر زید سنگ است پس جماد است».
3-دو قضیه‏ای که صدق و کذب آندو مجهول است، مانند«اگر زید می‏نویسد پس دستش را تکان می‏دهد».
4-مقدم کاذب و تالی صادق مانند:«اگر زید حمار است پس حیوان است»... (10)
بنابراین شرطی مادی(یا ترکیب شرطی به اصطلاح منطق ریاضی)نمی‏تواند شرطی متصل لزومی باشد، زیرا:
1-چنانچه خود منطق‏دانان اسلامی گفته‏اند ملاک و مناط صدق و کذب شرطی لزومی مطابقت و عدم مطابقت با نفس الامر است، و صدق و کذب آن مستقل از صدق و کذب طرفین می‏باشد یعنی ممکن است که طرفین صادق باشند ولی متصل لزومی درست نباشد، چون صدق متصل لزومی متکی بر وجود یکی از انواع علاقه(که بیان شد)می‏باشد اگر این علاقه خاص میان مقدم و تالی باشد قضیه شرطی لزومی صادق است هر چند طرفین آن کاذب یا مجهول باشند و اگر این علاقه خاص میان مقدم و تالی نباشد این قضیه کاذب است، هر چند طرفین آن صادق باشند. * اما شرطی مادی متکی بر وجود (*)شرطی متصله به حسب لغت شرطی است ولی شرطی منفصله از لحاظ لغوی دارای ادات شرط نیست اما منطق دانان اسلامی آن را از دو جهت مانند شرطی متصل دانسته‏اند:یکی اینکه مانند شرطی متصل نیاز به دو یا چند قضیه دارد و دیگر اینکه حقیقت شرط و تعلیق در آن هست مثلا در«هر عددی یا زوج و یا فرد»واقعا زوج بودن هر عددی مشروط به فرد نبودن آن است(شرح منطق اشارات، خواجه نصیر الدین طوسی ص 115).
(@)این چهار حالت با منطق دو ارزشی سازگار نیست بلکه با منطق سه ارزشی قابل تبیین است.
(*)لذا به نظر ما شرطی متصل لزومی با منطق دو ارزشی قابل تبیین نیست. علاقه خاص نبوده و صدق و کذب آن مستقل از صدق و کذب طرفین نبود بلکه اگر طرفین هر دو صدق یا هر دو کاذب بودند ترکیب شرطی صادق است چه علاقه خاصی باشد و چه نباشد.
2-سه حالت:صدق مقدم و تالی، کذب مقدم و تالی، کذب مقدم و صدق تالی(شارح شمسیه حالت چهارم هم افزوده که هر دو مجهول باشند)فقط در لزومی کلی می‏باشد، اما ترکیب از مقدم صادق و تالی کاذب در شرطی لزومی جزئی قابل تصویر است، شرطی لزومی کلی محال است که از تالی کاذب و مقدم صادق مرکب باشد، زیرا در این صورت دو محال پیش می‏آید: (11)
الف-کذب صادق، زیرا تالی لازم و مقدم ملزوم می‏باشد و ما فرض کرده‏ایم تالی-لازم-کاذب است و کذب لازم(تالی)کذب ملزوم(مقدم)را نتیجه می‏دهد لذا مقدم هم کاذب خواهد بود و هم صادق.
ب-صدق کاذب، چنانکه گفتیم مقدم ملزوم و تالی لازم است و ما فرض کرده‏ایم مقدم صادق است و صدق ملزوم(مقدم)صدق لازم(تالی)را نتیجه می‏دهد، لذا تالی هم صادق است(طبق ملازمه)و هم کاذب (طبق فرض).
اما هیچکدام از این دو محال(صدق و کذب مقدم- صدق و کذب تالی)در شرطی لزومی جزئی راه ندارد، زیرا ممکن است که صدق مقدم بنابر بعضی از فرضها باشد.و صدق ملازمه جزئی بنابر بعضی از فرضهای دیگر باشد، مثلا در:«گاهی چنین است که اگر x حیوابن باشد پس x ناطق است»اگر بجای x فردی از طبقه اسب را بگذاریم مقدم صادق و تالی کاذب خواهد بود اما لزوم جزئی به هم نمی‏خورد. (12)
3-چنانکه گفتیم صدق و کذب شرطی لزومی وابسته به وجود و عدم لزوم است، لذا شرطی لزومی کاذب فقط یک حالت(کذب تالی و صدق مقدم) نخواهد داشت، بلکه دارای چهار حالت است.
الف-هر دو(مقدم و تالی)صادق باشند، مانند:«هر وقت اگر انسان حیوان باشد پس اسب حیوان است».
ب-هر دو کاذب باشند، مانند«هر وقت که انسان سنگ باشد پس اسب سنگ است».
ج-مقدم صادق و تالی کاذب باشد، مانند:«هر وقت اگر انسان ناطق باشد پس سنگ است».
د-مقدم کاذب و تالی صادق باشد، مانند«هر وقت اگر انسان سنگ باشد پس ناطق است».
کذب هر چهار حالت مبتنی بر عدم وجود ملازمه بیان مقدم و تالی می‏باشد.
4-از مثالهایی که برای ترکیب شرطی(شرطی مادی)ارائه شد معلوم می‏شود که میان مقدم و تالی وجود ملازمه ضرورت ندارد.
بنابراین ترکیب شرطی(شرطی مادی)شرطی متصل لزومی نیست بلکه نسبت به شرطی متصل لزومی (البته لزومی کلی)از نظر تحقق اعم می‏باشد و برای صورت‏بندی کردن شرطی متصل لزومی راه دیگری باید در پیش گرفت، اما اینجا این سؤال مطرح می‏شود که آیا ترکیب شرطی همان قضیه اتفاقی می‏باشد؟
برای روشن شدن جواب این سؤال می‏گوییم که قضیه اتفاقی دو اطلاق دارد:اتفاقی عام و اتفاقی خاص (13) و هر کدام را باید جداگانه بررسی کنیم:
اتفاقی به معنای عام قضیه شرطی است که در آن حکم به صدق تالی بر فرض مقدم شده، نه به دلیل وجود علاقه، بلکه صرف صدق تالی است بدون علاقه و ممکن است مقدم در آن صادق یا کاذب باشد، اتفاقی به این اطلاق هر دو صورت صادق است:
الف-مقدم و تالی هر دو صادق باشند.
ب-مقدم کاذب و تالی صادق باشد.
اما اگر هر دو(مقدم و تالی)کاذب باشند و یا مقدم صادق و تالی کاذب باشد، در این صورت این قضیه شرطی کاذب خواهد بود.
اتفاقی خاص قضیه شرطی است که در آن صدق تالی با صدق مقدم معیت دارد اما نه بخاطر علاقه‏ای، (در اتفاقی عام صدق تالی بر فرض مقدم بود ولی اینجا صدق مقدم و صدق تالی معیت دارد)این اتفاقی فقط در یک صورت صادق است و آن در صورتی است که مقدم و تالی هر دو صادق باشند و در سه صورت دیگر کاذب خواهد بود.
با مقایسه جدول ارزش ترکیب شرطی با حالات مختلفه قضیه اتفاقی می‏بینیم که ترکیب شرطی با قضیه اتفاقی تفاوت دارد، در نتیجه ترکیب شرطی(شرطی مادی)نه متصل لزومی است و نه اتفاقی، ترکیبی است که صدق و کذب آن به صورت مکانیکی قابل حل است و در سه صورت صادق و در یک صورت (صدق مقدم کذب تالی)کاذب می‏باشد، اکنون بهتر است نوعی دیگر از گزاره مولکولی را بررسی کنیم.
3-ترکیب فصلی(یا منطقی)
هر گاه دو گزاره(یا چند گزاره)را با ادات(یا)بهم ربط دهیم ترکیب فصلی Dis junctive یا حاصل جمع منطقی Logical Sum بدست خواهد آمد. گزاره‏هایی که این ترکیب از آنها تشکیل می‏شود عناصر فصل Members of dis junction نامیده می‏شود.منطق‏دانان درباره این ترکیب اختلاف کرده‏اند، عده‏ای مانند برادلی Bradley می‏گویند که باید میان عناصر این ترکیب عناد باشد، پس ممکن نیست هر دو عنصر آن با هم صادق باشند و نیز هر دو با هم کاذب نمی‏شوند. (14)
اما دیگران مانند تارسکی می‏گویند که در این ترکیب لااقل یکی از دو گزاره صادق است و ممکن است هر دو صادق باشند و تنها در صورتی کاذب خواهند بود که هر دو گزاره کاذب باشند. @
اگر یا را با علامت(V)نشان دهیم جدول ارزش این ترکیب چنین خواهد بود.
P/q/PVq 1/1/1 1/1/0 1/0/1 0/0/0 تارسکی چنین می‏گوید:
«کلمه«یا»لااقل دو معنای مختلف در لغت روزمره دارد، اگر آن را به معنای«مانعة الخلو»Non-exclu- sive بگیریم، ادات فصل میان دو گزاره به این معنا خواهد بود که لااقل یکی از دو گزاره صادق است، بدون اینکه چیزی درباره صدق یا کذب هر دو گزاره با هم گفته باشیم، اما اگر«یا»را به معنای«مانعة الجمع»Exclusive گرفتیم، معنای ادات فصل میان دو گزاره تأکید بر این مطلب خواهد بود که یکی صادق است، در حالی که دیگری کاذب می‏باشد...در منطق ریاضی و در ریاضیات«یا»همیشه به معنای مانعة الخلو بکار می‏رود، و لذا گزاره فصلی در صورتی که یکی از دو گزاره یا هر دو گزاره صادق باشند صادق خواهد بود، و در غیر این صورت کاذب.بنابراین می‏توان این گزاره فصلی:«هر عددی یا مثبت است و یا کوچکتر از سه می‏باشد»را اثبات کرد، علی رغم اینکه می‏دانیم اعدادی که در عین حال هم مثبت و هم کوچکتر از سه باشد داریم». * (15)
فصلی مادی و فصلی صوری
چنانکه دیدیم«یا»به معنای اول(مانعة الخلو)را منطق ریاضی مبنای تحلیل خود قرار داده است، اما اگر در همین حالاتی که منطق ریاضی بکار می‏برد دقت کنیم فرقی نسبت به استعمال آن در منطق ریاضی و در لغت روزمره خواهیم یافت.در لغت عادی دو گزاره را با«یا»ربط می‏دهیم که نوعی ارتباط در صورت و در مضمون میان آنها باشد، اما در منطق ریاضی ناچار به به رعایت چنین شرطی نیستیم، لذا کسانی که با زبان منطق ریاضی آشنا نیستند (16) جمله«5 2 در 2 یا تهران شهر بزرگی است»را دارای معنا نمی‏دانند، چه رسد به اینکه قبول کنند یک قضیه صادق است.
علاوه بر این استعمال این ادات در لغت عادی متأثر از عواملی نفسانی است، در لغت عادی ما معمولا دو (@)لذا این تعبیر را از ترکیب شرطی در کتابهای منطق ریاضی زیاد می‏بینیم که«یا P یا q و یا هر دو».
(*)در جدول ارزش این ترکیب که مترجم این کتاب را ارائه داده اشتباهی رخ داده. گزاره را با«یا»ربط نمی‏دهیم، مگر اینکه اعتقاد داشته باشیم که یکی از دو گزاره صادق است.ولی ندانیم کدامیک صادق است، بلکه بیشتر اوقات ترکیب فصلی را یک اعترافی از گوینده تلقی می‏کنیم که نمی‏داند کدامیک از عناصر این ترکیب صادق است.و اگر برای ما معلوم شود که گوینده در هنگام گفتن این ترکیب می‏دانست کدام یک از عناصر آن صادق است، خواهیم گفت که این ترکیب فصلی صحیح نیست.
مثلا از یکی از دوستان خود می‏پرسیم که«کی به بازار می‏روی؟»او در جواب بگوید که«امروز یا فردا یا پس فردا به بازار خواهم رفت»حال اگر معلوم شود که او در هنگام جواب دادن تصمیم قاطع داشته که همین امروز به بازار برود، در ما این احساس بوجود خواهد آمد که او می‏خواهد ما را گمراه کند یا به ما دروغ بگوید.در واقع منطق‏دانان ریاضی با بررسی و تحلیل لفظ«یا»-هر چند به صورت ناخودآگاه- متمایل هستند که معنای آن را به صورت واضح و مستقل از تمام عوامل نفسانی توسعه دهند.مخصوصا از وجود علم و عدم وجود آن، لذا معنای«یا»را طوری توسعه داده‏اند که ترکیب فصلی دو گزاره در صورت عدم وجود علاقه میان مضمون و صورت عناصر آن، صحیح باشد، و صدق ترکیب فصلی به صورت مکانیکی تنها از صدق و کذب عناصر آن بدست آید.
بنابراین گزاره«5 2 در 2 یا تهران شهر بزرگی است» در منطق ریاضی، دارای معنا و صادق می‏باشد. هر چند گزاره دوم یقینا صادق است.یا مثال دیگر: «امروز یا فردا یا پس فردا به بازار می‏روم»ترکیب فصلی صحیحی در منطق ریاضی به حساب می‏آید.
چنانکه قبلا گذشت تارسکی نظیر همین بیان را در ترکیب شرطی داشت و میان شرطی مادی و شرطی صوری فرق گذاشت، اینجا هم چنین بیانی دارد، ولی فصلی مادی و فصلی صوری را اصطلاح نکرده.ما در اینجا به پیروی از وی در ترکیب شرطی فصلی مادی و فصلی صوری را بکار می‏بریم، فصلی مادی صدق و کذبش به روش مکانیکی از صدق و کذب عناصر آن به دست می‏آید، ولی در فصلی صوری وجود علاقه خاصی میان دو گزاره از نظر محتوا و صورت ضروری می‏باشد.
بحث تطبیقی
در بحث تطبیقی قبلی به این نتیجه رسیدیم که شرطی مادی نمی‏تواند همان شرطی لزومی باشد، در مورد فصلی مادی نیز در بسیاری از نوشته‏ها ملاحظه می‏کنیم که ترکیب فصلی را به معنای همان شرطی مانعة الخلو منطق خودمان دانسته‏اند (17) و یا حتی تصریح کرده‏اند که:«در منطق سنتی ما به جز یای مانعة الجمع...و یای مانعة الخلو که معنای آن با یای مانعة الخلو در منطق اروپایی تفاوتی نمی‏کند یای دیگری هم به نام یای حقیقی تعریف کرده‏اند...یای حقیقی در منطق سنتی ما همان یای مانعة الجمع در منطق اروپایی است». (18)
برای اینکه نشان دهیم تفاوت ظریفی میان مانعة الخلو منطق خودمان(یا به تعبیر این نویسنده محترم منطق سنتی)و مانعة الخلو منطق ریاضی(که همان فصل مادی می‏باشد)وجود دارد ناچار باید بحثی در این باره داشته باشیم:مانعة الخلو(بلکه هر یک از منفصله حقیقیه و مانعة الجمع نیز)در منطق ما دو گونه تصویر شده:مانعة الخلو عنادی، مانعة الخلو اتفاقی.
1-مانعة الخلو عنادی:قضیه شرطیه منفصله‏ای است که عدم ارتفاع طرفین با هم در آن مستند به ذات مقدم و تالی است، یا بهتر بگوییم که مستند به نوعی اقتضای ذاتی است، همچنین در منفصله حقیقیه عنادی عدم ارتفاع هر دو مقدمه با هم، و عدم صدق هر دو مقدمه با هم مستند به ذات مقدم و تالی و متکی بوجود نوعی علاقه میان مقدم و تالی است، و در مانعة الجمع عنادی عدم صدق هر دو مقدمه با هم متکی بر وجود علاقه خاصی میان مقدم و تالی است، این علاقه در کتابهای منطقی ما چنین بیان شده:
الف-در منفصله حقیقیه عنادی یکی از دو جزء قیض یا مساوی نقیض جزء دیگر است * مثلا در: گزاره«هر عددی یا زوج است و یا فرد»نقیض زوج، غیر زوج می‏شود و فرد مساوی با غیر زوج می‏باشد. در این قسم هر چند اگر یکی از دو جزء صادق باشد، دیگری کاذب است و بالعکس ولی مناط صدق و کذب این قضیه وجود و عدم وجود این علاقه خاص می‏باشد نه صدق و کذب طرفین، در این صورت اگر دو طرف با هم صادق یا کاذب باشند، این قضیه کذبش ضروری است.ولی اگر یک طرف صادق و طرف دیگر کاذب باشد صدق این قضیه (19) ممکن می‏باشد و فقط در صورت وجود علاقه ضروری است.
ب-در مانعة الخلو عنادی، یکی از دو جزء اعم از نقیض جزء دیگر می‏باشد.در اینجا هم اگر دو طرف با هم کاذب باشند، این قضیه کذبش ضروری خواهد بود و اگر یکی یا هر دو صادق * باشند صدق این قضیه ممکن خواهد بود و تنها در صورتی صدقش ضروری خواهد بود که این علاقه خاص میان دو جزء این منفصله باشد بنابراین فصلی مادی با این مانعة الخلو تفاوت دارد زیرا صدق فصلی مادی با صادق بودن دو طرف یا یکی از دو طرف قطعی است ولی در مانعة الخلو عنادی چنین نیست.
ج-در مانعة الجمع عنادی یکی از دو جزء اخص از نقیض جزء دیگر می‏باشد. * لذا اگر دو طرف با هم صادق باشند کذب این قضیه ضروری است و در غیر این صورت صدقش ممکن می‏باشد.
2-مانعة الخلو اتفاقی:در این نوع قضیه و عدم کذب دو طرف با هم مستند به وجود علاقه خاص میان دو جزء نمی‏باشد، بلکه تنافی دو جزء در کذب به صرف اتفاق می‏باشد، مثلا می‏دانیم یکی از علی یا حسن امروز حتما به مدرسه می‏آید، لذا می‏گوییم «علی یا حسن امروز به مدرسه می‏آید»اینجا دو طرف ذاتا با هم قابل رفع هستند و از روی اتفاق این انفصال میان آنها پیش آمده است.در این مانعة الخلو هم اگر هر دو طرف با هم کاذب باشند، این قضیه کذبش ضروری خواهد بود، اما اگر یکی از دو طرف یا هر دو صادق باشند، صدق این قضیه ممکن است، و فقط در صورتی ضروری خواهد بود که علاقه خاص میان طرفین هم نباشد(از این بیان مانعة الجمع و حقیقیه عنادی هم روشن می‏شود).
فصلی مادی با این مانعة الخلو هم فرق دارد، زیرا صدق شرطی مادی با صدق یکی از دو طرف یا هر دو طرف قطعی است، ولی در این مانعة الخلو صدق به مطابقت حکم به انفصال عنادی مانعة الخلوی با واقع می‏باشد.
3-اگر مانعة الخلوی فرض کنیم در منطق خودمان که مطلق باشد(یعنی قید نشود که اتفاقی و یا عنادی باشد)و صدق آن با صدق یکی از دو طرف یا هر دو طرف معلوم شود، باز با فصلی مادی تفاوت دارد. فصلی مادی به حدی توسعه دارد که گزاره«5 2 در 2 و یا تهران شهر بزرگی است»را که هیچ نوع علاقه‏ای از نظر مضمون میان دو طرف نیست شامل می‏شود @ ولی در کاربرد مانعة الخلو مطلق از نظر مضمون وجود نوعی علاقه ضروری است، لذا فصلی مادی نسبت به آن از نظر تحقق اعم خواهد بود.این فرقی است که به نظر می‏رسد میان فصلی مادی و مانعة الخلو منطق خودمان هست.
یک اشکال صوری
در اینجا بی‏مناسبت نیست به اشکالی که در استدلال برهان صدیقین از نظر منطق ریاضی در کتاب هرم هستی به نظر رسید، اشاره شود.بدیهی است که در اینجا فقط نظر به جنبه منطقی و صوری آن می‏باشد نه جنبه فلسفی، در کتاب مذکور این جدول ارزش آمده است:
(*)این در صورتی است که منفصله حقیقیه دو جزء داشته باشد.
( *)دو مطلب فوق در مانعة الخلو و مانعة الجمع به معنای اخص می‏باشد (ر.ک:شرح مطالع، ص 209).
(@)اولی گزاره‏ای از ریاضیات و دومی مثلا از جغرافیا می‏باشد. Pq/PVqq-P])PVq(
)q-P([-P 0101/11 1111/10 1001/01 0101/00 بعد فرموده‏اند:«بطوری که در آخرین ستون جدول فوق ملاحظه می‏کنید زیر قضیه P که به معنی«واجب الوجود موجود است»تماما علامت صدق ترسیم شده و بنابراین در این جدول صدق منطقی برهان صدیقین ثابت و بلکه با منطق تجربی محسوس می‏باشد». (20)
چنانکه می‏بینیم در سطر سوم و چهارم اولین و آخرین ستون تناقض هست یعنی P هم کاذب فرض شده و هم صادق، و ستون آخر ارزش رابطه(-) می‏باشد نه ارزش P و ارزش P همان است که در ستون اول آمده، بنابراین صورت برهان مذکور همیشه صادق(توتولوژی(می‏باشد و خود P همیشه صادق نیست، لذا به این نحوه بیان صوری نمی‏شود واجب الوجود را اثبات کرد زیرا از صدق شرطیه صدق طرفین آن لازم نمی‏آید.
(1)-ر.ک:المنطق الوضعی، زکی نجیب محمود، ص 63.
(2)-ر.ک:مدخل منطق صورت، غلامحسین مصاحب، ص 24.
(3)-ر.ک:المنطق الوضعی، ص 64.
(4)-علم ما به عالم خارج، برتر اندارسل، ترجمه منوچهر بزرگمهر، ص 67 و 68.
(5)-ر.ک:مقدمة للمنطق و لمنهج البحث فی العلوم الاستدلالیة، آلفرد تارسکی، ترجمه عزمی اسلام، ص 64-59، این کتاب ترجمه اثر زیر است:
Introduction to logic and to the methodology of Deductive science
(6)-همان مأخذ، ص 61 و 62.
(7)-ر.ک:همان مأخذ، ص 62 و 63.
(8)-ر.ک:هرم هستی، مهدی حائری یزدی، ص 43.
(9)-ر.ک:شرح شمسیه، علامه شیرازی، انتشارات علمیه اسلامیه، ص 103.
(10)-ر.ک:همان مأخذ، ص 107.
(11 و 12)-ر.ک:شرح مطالع، علامه شیرازی، انتشارات کتبی نجفی، ص 204.
(13)-ر.ک:مأخذ سابق و شرح شمسیه، ص 107 و 108.
(14)-ر.ک:المنطق الوضعی، ص 68-69.
(15)-مقدمة للمنطق، ص 56.
(16)-ر.ک:همان مأخذ، ص 57-58.
(17)-ر.ک:هرم هستی، ص 65.
(18)-درآمی به منطق جدید، ضیاء موحد، ص 100 و 101.این کتاب یکی از بهترین کتابها درباره منطق ریضای می‏باشد که به زبان فارسی نوشته شده است.
(19)-ر.ک:شرح شمسیه، ص 108 و حاشیه میر سید شریف و حاشیه عصام و عبد الحکیم بر شمسیه و نیز شرح مطالع، ص 208 و 209 و بصائر نصیریه، ص 96.
(20)-هرم هستی، 46.