درآمدی بر فلسفه ریاضی

در دو شماره قبلى بحث از موضوع علم ریاضى از نگاه شناخت‏شناسى و تأمل در نحوه پیدایش مفاهیم ریاض و جایگاه علم ریاضى در تقسیم‏بندى علوم از دیدگاه قدما به میان آمد و همچنین نظر فلاسفه اسلامى در کیفیت شکل‏گیرى گزاره‏هاى ذهنى در حین فعالیت ریاضى آورده شد، در این بخش انواع معقولات و مفاهیم کلى-موضوع و تعریف ریاضیات-تحولات ریاضى و حفظ وحدت موضوع آنها و تاملى در مفهوم مجموعه و عدد و بیان تعاریف مختلى که از عدد شده است به بحث گذاشته مى‏شوند.
انواع معقولات یا مفاهیم کلى
حال براى تعیین نوع و چگونگى مفاهیم ریاضى ابتدا به بیان انواع معقولات و سپس به ویژگیهاى هر یک از آنها مى‏پردازیم و آنگاه مشخص خواهیم نمود که مفاهیم ریاضى بر کدامیک منطبق است.
مفهوم کلى یا قابل حمل بر امور عینى است و به اصطلاح انصاف آن خارجى است، مانند مفهوم انسان که بر حسن و حسین و...حمل مى‏گردد و گفته مى‏شود«حسن انسان است»ویا قابل حمل بر امور عینى نیست و تنها بر مفاهیم و صورتهاى ذهنى، حمل مى‏گردد و به اصطلاح، انصاف آن ذهنى است. مانند مفهوم کلى و جزئى(به اصطلاح منطقى)که اولى صفت براى«مفهوم انسان»و دومى صفت براى «صورت ذهنى حسن»واقع مى‏شود.دسته دوم را که تنها حمل بر امور ذهنى مى‏شود«مفاهیم منطقى»یا «معقولات ثانیه منطقى»مى‏نامند.
اما مفاهیمى که قابل حمل بر اشیاء خارجى هستند بر دو دسته تقسیم مى‏شوند، یک دسته مفاهیمى که ذهن بطور خودکار از موارد خاص انتزاع مى‏کند.یعنى همین که یک یا چند ادراک شخصى به وسیله حواس ظاهرى یا شهود باطنى، حاصل شد فورا عقل مفهوم کلى آن را بدست مى‏آورد، مانند مفهوم کلى«سفیدى»که بعد از دیدن یک یا چند شى‏ءسفید رنگ انتزاع مى‏شود، یا مفهوم کلى «ترس»که بعد از پیدایش یک یا چند بار احساس خاص بدست مى‏آید.چنین مفاهیمى را مفاهیم ماهوى یا معقولات اولى مى‏نامند. دسته دیگر مفاهیمى هستند که انتزاع آنها نیازمند به کند و کاو ذهنى و مقایسه اشیاء با یکدیگر مى‏باشد، مانند مفهوم علت و معلول که بعد از مقایسه دو چیزى که وجود یکى از آنها متوقف بر وجود دیگرى است و با توجه به این رابطه انتزاع مى‏شود.مثلا هنگامى که آتش را با حرارت ناشى از آن مقایسه مى‏کنیم و توقف حرارت را بر آتش مورد توجه قرار مى‏دهیم، عقل مفهوم علت را از آتش و مفهوم معلول را از حرارت، انتزاع مى‏کند و اگر چنین ملاحظات و مقایساتى در کار نباشد، هرگز اینگونه مفاهیم بدست نمى‏آیند. چنانکه اگر هزاران بار آتش دیده شود و یا هزاران بار، حرارت احساس شود، ولى بین آنها مقایسه‏اى انجام نگیرد و پیداش یکى از دیگرى مورد توجه واقع نشود، هرگز مفهوم علت و معلول بدست نمى‏آید اینگونه مفاهیم را«مفاهیم فلسفى»یا«معقولات ثانیه فلسفى»مى‏نامند. (1)
پس مى‏توان چنین نمودارى رسم کرد:
بطور کلى ویژگى هر یک از معقولات * را مى‏توان به شرح ذیل بیان داشت:
1-مفاهیم ماهوى
-مفاهیمى که ذهن بطور خودکار از موارد خاص انتزاع مى‏کند.
-حکایت از ماهیت اشیاء و حدود وجودى آنها دارد و به منزله قالبهاى خالى براى موجودات هستند.
-هر مفهوم کلى که در ازاء آن یک تصور حسى یا خیالى یا وهمى وجود داشته باشد بطورى که فرق بین آنها فقط در کلیت و جزئیت باشد از مفاهیم ماهوى است.
-هر مفهوم اولى یا ماهوى، یا بر مجردات قابل اطلاق است یا بر مادیات.
-هر مفهوم ماهوى دلالت بر ذات معین و در نتیجه موجودات معینى مى‏کند.بعلاوه دایر شمول وکلیت مفاهیم ماهوى محدودتر است.(بالفعل محدودتر است یعنى مصادیق بالفعل ماهوى محدودتر است).
-قابل حمل بر امور عینى است.
2-مفاهیم منطقى
-این مفاهیم از خارج اخذ نشده‏اند.(از مصادیقى خاص اخذ نشده‏اند).
-قابل حمل بر امور عینى نیستند.
-این معقولات ذهنى محض هستند و ظرفشان فقط ذهن است.
-ما به ازاء و مصداقى در خارج ندارند.
-مفاهیمى که ذهن با کند و کاو و مقایسات و.. بدست مى‏آورد.
-این مفاهیم حالات ذهنى براى معقولات و مفاهیم موجود در ذهن هستند.
(*)در بیان بخشى از این ویژگیها از منابع زیر استفاده شده است، آموزش فلسفه، ج 1، ص 176-178، شرح مبسوط منظومه مرتضى مطهرى، ج 3، ص 291-301، دروس شواهد الربوبیه، دکتر دینانى، دانشگاه تربیت مدرس، دروس فلسفه تطبیقى، استاد ملکیان، دانشکده الهیات.
3-مفاهیم فلسفى
-انتزاع این مفاهیم نیازمند کند و کاو ذهنى و مقایسه اشیاء با یکدیگر است.
-قابل حمل بر امور عینى هستند.
-ما را به ازاء و مصداقى در خارج ندارند.
-از انحاء وجود موجودات(نه حدود ماهوى آنها) حکایت مى‏کنند.
-در ازاء مفاهیم فلسفى، مفاهیم و تصورات جزئى وجود ندارد.
-چنین مفاهیمى هم بر مادیات و هم بر مجردات قابل اطلاق است.
-دلالت بر ذات معیّن و موجودات معینى نمى‏کنند و دایره شمول آنها بسیار وسیع‏تر است.
حال باید به این سؤال پاسخ داد که مفاهیم ریاضى جزو کدام دسته از معقولاتى که ذکر شد، هستند؟ مفاهیم ریاضى، مفاهیمى قابل حمل ب رامور عینى هستند.مثال ما مى‏گوییم 7 صندل، 4 انسان، 18 درخت و...یا مفاهیم هندسى نیز انصافشان در خارج است و خارج را وصف مى‏کنند و در مورد امور عینى بکار مى‏روند، مثلا مى‏گوییم، این کتاب مربع است یا آن سنگ دایره است یا این خانه مکعب است و...(به عبارت صحیح‏تر، شبیه مربع، دایره و مکعب هستند و منظور حمل اینها بر خارج است).
با توجه به شرایط مذکور هر یک از معقولات مى‏توان گفت که مفاهیم ریاضى از سنخ معقولات ثانى فلسفى هستند.چرا که اولا:براى آنها ما بازاء و مصداقى در خارج وجود ندارد.ما در خارج چیزى به نام عدد 6 نداریم.مثلا آنچه در خارج مى‏بینیم کتاب است و کتاب و کتاب و...ولى عدد 6 در خارج نیست و آنگاه که ما این کتب را یکى مى‏کنیم، عدد 6 انتزاع مى‏شود.یا در مورد کمیاب متصل مى‏توان گفت ما در خارج نقطه، خط یا سطح نداریم-هیچ ما بازاء و مصداقى براى این امور وجود ندارد.
ثانیا:کم منفصل و متصل هیچ گاه از حدود ماهوى شى‏ء حکایت نمى‏کند.اعداد و غیر به عنوان قالبهاى مفهومى براى تعیین حدود ماهوى وجود شى‏ء نیستند، یعنى از قبیل مفاهیم اسنان، درخت سنگ و...که به بیان«نوع»و جنس و فصل اشیاء مى‏پردازند، نمى‏باشند.
ثالثا:در ازاء چنین مفاهیم ریاضى تصورات جزئى وجود ندارد.آیا ما از عدد 6 یک تصور جزئى و یک تصور کلى داریم؟نه، مثلا در مورد انسان ما داراى تصورى جزئى از«حسن»هستیم و یک تصور کلى از او به نام«انسان»، لیکن در مورد عدد یا کم متصل مانند خط اینطور نیست.اساسا وقتى که ما بازاء یا مصداقى نباشد، تصور جزئى هم نخواهد بود.
رابعا:این مفاهیم هم شامل مادیات نمى‏شوند، و هم شامل مجردات.در مورد اعداد این امر واضح است، مثلا ما مى‏گوییم دو سنگ و سه فرشته.لیکن در مورد کمیاب متصل باید گفت با فرض قبول علام مثال(برزخ)که داراى اشکال هستند، این مفاهیم نیز صدق خواهند نمود.یعنى بر مجردات صرف قابل حمل نیستند.لیکن بر مجردات برزخى قابل حمل مى‏باشند.
خامسا، هیچ گاه دلالت بر ذات معین و شى‏ء معین و وجود معینى ندارند.هم قابل حمل نیز سنگ هستند و هم بر انسان وهم بر درخت و...و دایره شمول آنها بسى وسیع‏تر از مفاهیم ماهوى است.مفهوم 4 داراى افراد بالفعل بسیار زیادترى از مفهوم سنگ است.یا به عبارت دقیق‏تر مفهوم 4 بر موارد بیشترى از مفهوم«سنگ»قابل حمل است.
به علاوه با توجه با مطالبى که گذشت.روشن شد که مثلا مفهوم یک و دو و سه و...و صفر و کلاّ اعداد، مبتنى بر ادراک مفاهیم فلسفى«وحدت»، «کثرت»و «عدم»است.و مفاهیم کم متصل از قبیل سطح و خط و...از حدود عدمى اجسام انتزاع مى‏شود و ماهیت حقیقى شى‏ء را نمى‏رسانند.
و بر این اساس مى‏توان گفت که مفاهیم ریاضى، مفاهیمى ثانوى هستند.
اشکال و پاسخ
1-ممکن است به نظر آید که مفاهیم منطقى نیز بر خارج از خود مفهوم منطقى صدق مى‏کنند و خارج از خود را متصف مى‏کنند.مفهوم«کلى»در ذهن خارج از خودش افرادى دارد که عبارت از مفاهیم کلى دیگرى است، از قبیل:انسان، درخت، ماشین و...پس بدین نحو در گرو معقولات ثانى فلسفى قرار مى‏گیرد.
در پاسخ باید گفت که منظور از اتصاف و حمل بر امور عینى، انصاف خارج از«مفهوم»نیست.درست است که به یک معنى خارج را بر آنچه خارج از خود مفهوم است، اطلاق مى‏کنند لیکن در اینجا نظر به «خارج از ذهن»است، نه صرفا خارج از مفهوم درست است که ذهن دو مراتب است و هر مرتبه از آن مى‏تواند نسبت به مرتبه دیگر به عنوان خارج باشد، ولى منظور ما از خارج، خارج از ذهن به نحو مطلق است.در این حالت باید اضافه کرد مفاهیم ثانى فلسفى نیز در خارج از نفس مفهومشان-در خود ذهن اطلاق شود.
حتى با توسع مى‏توان گفت یک مفهوم ماهوى نیز مى‏تواند در مراتب دیگر ذهن مصداق داشته باشد و بر آن حمل شود، به فرض ما مى‏توانیم شخص خاصى را تخیّل کنیم و مفهوم انسان را در ذهن بر آن فرد حمل کنیم و بگوییم مثلا این فد خاص متخیل، انسان است.
ولى باید توجه داشت نظر ما درباره انصاف امور عینى توسط مفاهیم ماهوى و فلسفى(ثانى)این است که این مفاهیم علاوه بر آنکه ممکن است در ذهن و دستگه ادراکى انسان ما بازاء یا افرادى داشته باشند، مى‏توانند خارج از حیطه ذهن را نیز متصف کنند و این خصوصیتى است که مفاهیم منطقى از آن برخوردار نیستند.
2-در مورد مفاهیم ریاضى ما معتقد شدیم که این مفاهیم بر خارج قابل حمل بوده و یا خارج را متصف مى‏کنند.ولى این ادعا را تنها مى‏توان در مورد برخى مفاهیم یا نسبتها مانند اضافه یا کم کردن یا تقسیم کردن، در خارج بکار برد.ولى مفاهیم مجردى که در ریاضیات نوین بکار مى‏رود و نستبها و روابط و دستگاههایى که ترتیب داده مى‏شوند، هیچه ارتباطى با خارج ندارند به گونه‏اى که برخى از ریاضیدانها در این مراحل از تجرید، اصلا فکر انصفا خارج را نمى‏کنند و بلکه ممکن است به این جهت چنین فکر کنند که در حیطه منطق قرار گرفته‏اند و کارى با جهان خارج ندارند.قبل از بیان نظر خود بهتر است این اشکال و پاسخ آن را از زبان پى‏یر مارشل بشنویم.
او علم«هندسه»را مثال زده و چنین مى‏آورد: «هندسه که از ابتدا، هنگام مطالعه در مسائل روزانه زندگى بوجود آمد کم‏کم بخودى خود«علمى»شد و از مسائل«علمى»مولد خود استقلال پیدا کرد.اما وقتى که مجموعه مسائلى را که ضمن رشد و توسعه بر آن افزوده گشت، امتحان مى‏کنیم چنین بنظر مى‏آید که این علم کم‏کم از حقیقت دور مى‏شود، تا جایى که چنین تصور مى‏شود که بعضى از شعب آن داراى هیچ گونه فایده‏اى نیستند و فقط بعضى مشغولیات فکرى-مى‏باشند که اگر چه ارزش فوق العاده دارند، اما در عمل(یا درخارج)از آنها استفاده نمى‏شوند.
جواب این موضوع بسیار ساده است و خاص هندسه نمى‏باشد، بلکه در مورد تمام شعب علوم ریاضى صحت دارد، هیچ تئورى ریاضى وجود ندارد که روزى مورد استفاده واقع نشود و مورد استعمال علمى پیدا نکند، هر قدر هم که مجرد باشد، هر قدر هم که نظرى بوده و با حقیقت رابطه‏اى نداشته باشد، هر قدر هم که در ظاهر بیفایده بنظر آید، منتها ممکن است گاهى از اوقات مدت زمان نسبتا طویلى بعد از پیدایش خود بکار رود». (2) حال به تحلیل این موضوع مى‏پردازیم:
اولا باید گفت که منظور ما از انصاف خارج، کاربرد علمى یا فایده رسانى یا استفاده‏هاى دیگر نیست. بلکه منظور آن است که اساسا این مفاهیم در مورد اشیاء خارج ازذهن بکار مى‏روند و آنها را توصیف مى‏کنند.یا به عبارت دقیق‏تر، «مى‏توانند»توصیف کنند یا مى‏توان گفت این مفاهیم و روابط درباره خارج هستند و خلاصه«قابلیت»اتصاف خارج را دارند.
باید اضافه کرد آنچه مورد نظر ما است بنیادى‏تر از نظر مارشل مى‏باشد، چراکه کاربرد علمى و استفاده از ریاضیات در خارج، فرع این است که در ابتدا ریاضیات و مفاهیم آن مربوط به خارج بوده و درباره امور عینى باشند.یعنى در آغاز باید مفاهیم ریاضى امکان توصیف و ربط به خارج را داشته باشند و سپس کاربرد عبنى و عملى پیدا کنند.
در ثانى مى‏تون به نحو عام چنین گفت که:هر مفهوم ریاضى قابلیت کاربرد در امور خارجى را دارد. لیکن بعضى ازمفاهیم یا بالفعل و در حال حاضر در خارج بکار برده مى‏شوند و در علوم کابرد پیدا مى‏کنند و یا نسبت به این کاربرد بالقوه هستندو ممکن است در آینده بکار روند.ما نمى‏گوییم حتما بکار مى‏رود، نه.ما نظرمان این است که ممکن است این مفاهیم و به تبع آن تئوریها تا ابد در خارج بکار نروند، ولى این سخن بدین معنا نیست که قابلیت انصاف خارج را با لذات ندارند.بر خلاف مفاهیم ریاضى، مفاهیم منطقى بالذات قابلیت انصاف خارج را ندارند.شاید بتوان چنین گفت که مفاهیم منطقى چنان هستند که به امکان عام ممکن نیست که خارج را متصف کنند، ولى مفاهیم ریاضى ممکن است به امکان عام که در مورد امور عینى حمل شده، و آنها را وصف نمایند.مى‏توان این بیانات را بدین نحو ترسیم کرد:
مفاهیم منطقى:ذاتا اقتصادى اتصاف خارج را ندارند.
مفاهیم ریاضى:ذاتا اقتضاى انصاف خارج را دارند:
1-یا در حال حاضر در علوم بکار رفته و در طبقه‏بندى و توصیف اشیاء بکار مى‏روند.
2-یا نسبت به این کاربردى‏پذیرى و استفاده عملى بالقوه هستند.
باید در نظر داشت که اتصاف در مقسم به نحو ابهام و احمال است و در اقسام به نحو تعیّن و تشخیص یعنى ما مى‏گوییم مفاهیم ریاضى در خارج بدون تعیّن و تشخیص و بدون در نظر گرفتن اشیاء معین، قابلیت انصاف دارند.حال یا این قابلیت، در مورد اشیاء معین و مشخص کابرد پیدا مى‏کند یا نسبت به کاربرد، در اشیاء معین بالقوه است و امکان کاربرد را در آینده دارد.
انواع معقولات ثانى فلسفى
از بحثهایى که در گذشته داشتیم ما بایک طیف وسیعى از معقولات مواجه شدیم که براى تمام آنها عنوان«معقولات ثانى فلسفى»را انتخاب و حمل کردیم.بعلاوه مفاهیم دیگرى نیز وجود دارد که فلاسفه آنها را جزو معقولات ثانى فلسفى مى‏دانند، مانند«مفهوم باید و واجب اخلاقى و حقوقى»که در زمره همان معقولات قرار مى‏گیرند (3) حال سئوال این است که تمام این معقولات ازیک سنخ مى‏باشند یا تفاوتهایى نیز دارند؟
کاملا واضح است که این معقولات در عین داشتن صفات مشترک داراى تفاوتهاى اساسى نیز مى‏باشند.در این میان آنچه ممکن است موجب اشتباه گردد عنوان واحدى است که ما به همه مفاهیم داده‏ایم.لیکن باید در نظر گرفت که این عنوان واحد را مى‏توان در حکم وجه اشتراک کلى آن معقولات در نظر گرفت و ویژگیهاى مختص هر یک را به آن عنوان اضافه نمود.به نظر مى‏رسد راه حل مناسب دیگرى نیز غیر از این طریق موجود باشد تا راه هر نوع مغالطه و اشتباه را سد نماید.
ما مى‏توانیم در مورد تقسیم‏بندى کلى معقولات، که پیشتر انجام دادیم، تجدید نظر نموده و بگونه‏اى این تقسیم‏بندى را انجام دهیم که تفاوتهاى بین خود معقولات ثانى نیز معین گردد بدین ترتیب که:
با توجه به این نمودار هر یک از معقولات ثانى فلسفى، اخلاقى و ریاضى و...غیر از همدیگر خواهند بود.معقولات ناشى فلسفى عامترین و عالى‏ترین معقولاتى است که بشر در تفکر فلسفى خود با آنها سر و کار دارد از قبیل مفاهیم وجود، وحدت، کثرت، علت، معلول، واجب، ممکن و...این مفاهیم در حوزه تفکر فلسفى که بحث آن در مورد موجود بما هو موجود است، بکار مى‏رود.
به تعبیرى مى‏توان گفت موضوع فلسفه معقولات ثانى فلسفى است.موضوع فلسفه موجود است که معقولى ثانى است و نیز محمولاتى از سنخ معقولات ثانى فلسفى بر آن حمل مى‏شود، چنین معقولات ثانى فلسفى بدون در نظر گرفتن تعینى خاص براى موجود، بر آن حمل مى‏شوند.در مورد مفاهیم ثانى اخلاقى نیز قیود و حدود ویژه‏اى وجود دارد، مثلا معقولاتى است که متعلق به فعل ارادى و اختیارى انسان مى‏باشند و...در مورد معقولات ثانى ریاضى هم باید گفت معقولاتى است که به حوزه کمیات مربوط مى‏شود یعنى در پى بیان مفاهیم و روابط کمّى میان امور است.
موضوع و تعریف ریاضیات
بر اساس آنچه در بحثهاى گذشته انجام گرفت ما به تعریف و بیان موضوع ریاضیات نزدیک شده‏ایم باید اشاره کرد که بهترین راه براى تعریف یک علم این است که موضوع آن مشخص گردد و اگر قیودى دارد، دقیقا مورد توجه قرار گیرد.پس ما ابتدا در پى تعیین موضوع براى ریاضیات بر خواهیم آمد.
بشر مى‏تواند داراى نوعى ادراک باشد(و یا هست)که مفاهیم و روابط کمّى را انتزاع و بکار ببرد. نوعى از فعالیت ادراکى بشر در حوزه کمیات است. و همین حوزه و علم را از ابتدا به نام«ریاضیات»نام نهاده‏اند.تأملى تاریخى و یا شناخت‏شناسانه در فعالیت علمى وادراکى بشر ما را با این سنخ از فعالیت ادراکى حساس و چنین مفاهیم و روابط خاص در عالم ذهن آشنا خواهد ساخت.
یعنى چه ما از جهت پیشینى و یا از جهت پسینى و به عبارت دیگر چه از جهت معرفت‏شناسى و چه از جهت تأمل در تاریخ اندیشه به این موضوع بپردازیم و در نوع فعالیت علمى و ادراکى انسان جستجو کنیم. سنخى از ادراک و علم و مفاهیم و روابط را خواهیم یافت که حول«کمیاب»دور مى‏زنند.چنین علمى را ریاضیات نامیده‏اند.
قدما نیز به این نوع فعالیت خاص پى بودند و براى تعریف و تحدید آن، موضوع آن را بر اساس نوع فعالیت و متعلق فعالیت، «کمیت»فرض کرده بودند. آنچه قدما معتقد بودند این بود که موضوع ریاضیات «عدد و بعد»است که دو مفهوم ماهوى هستند.حال ما به بررسى و نقد این دیدگاه مى‏پردازیم.
کارى که ما با این نظر خواهیم نمود در سه مرحله قابل انجام است:اولا ما مى‏پذیریم که موضوع ریاضیات، «عدد و بعد»است.لیکن آن را بصورت کلى‏ترى بسان مى‏کنیم یعنى مى‏گوییم موضوع ریاضیات«کمیت منفصل و کمیت متصل قار الذات» است.گر چه امورى مانند«زمان»که کمیت منفصل است و غیر قار و«حرکت»نیز به اعتبارى مى‏تواند «متعلق»(به موضوع)مباحث ریاضى قرار گیرند. لیکن در این حالت هم، پس از ارتباط و در نظر گرفتن وجه شباهت آنها با کمیات منصل و متصل قار، موضوع مباحث ریاضى مى‏باشند.
ثانیا بنا به مباحث پیشین این مفاهیم از نسخ مفاهیم ماهوى نیستند بلکه از نوع مفاهیم ثانى هستند.
ثالثا باید بررسى کنیم که آیا این موضوع با توجه به پیشرفتهاى اخیر ریاضیات قابل قبول است یا نه؟
موضوع ریاضیات و بررسى اعتبار موضوع و تعریف آن.
مى‏دانیم که هر یک از علم داراى موضوعاتى هستند که در آن علم از احوال و ویژگیهاى آن موضوع بحث مى‏شود، در هر علم مسائل و قضایائى درباره موضوع مطرح مى‏گردد که مجموعا علم مشخصى را تشکیل مى‏دهد.در ریاضیات هم امر بر همین منوال است.منتها نکته‏اى را نباید فراموش کرد و آن اینکه ممکن اتس هر یک از حوال و ویژگیهاى آن موضوع، علم جدیدى باشد، یعنى با تجرید و انتزاع ویژگیهاى خاص از موضوع یک علم، مى‏توان آن را به عنوان علمى به ظاهر مستقل درآورد و در حول و حوش آن بحث و بررسى نمود. لیکن باید در نظر داشت که با این وصف ما یک علم بیشتر نداریم.و به عبارتى مى‏توان دومى را شاخه‏اى از اولى بحساب آورد.یا به تعبیرى، دومین علم که از اولى منتزع شده قابل تحویل به اولى است.
البته در اینجا تحویل‏پذیرى معناى معین و خاص خود را پیدا مى‏کند.بدین معنا که علم دومى یک علم مستقل نیست، بلکه تابعى از علم اولى است. مثلا علم حساب در واقع انجام و تحقیق محاسبات معینى از قبیل جمع، تفریق، ضرب و...بین اعداد معین است.مثلا چنین گزاره‏اى 9 5+4 در علم حساب بررسى مى‏گردد.یعنى انسان یکى از احوال و ویژگیهاى اعداد را روابط معین افزایش، کاهش، تقسیم، و ضرب‏پذیرى بین آن اعداددریافته است. توجه به چنین روابطى است که علم حساب را پایه‏گذارى نموده است.پس از مدتى مشخص شد که لازم نیست محاسبه بین اعداد معین انجام گیرد. بلکه اعداد داراى یک سلسله روابط صورى نیز هستند.یعنى مى‏توان معادلات و محاسباتى را تحقق بخشید که عدد معینى در آن بکار نرفته باشد، لیکن این معادله مربوط به«اعداد»و مختص به آنهاست؛ یعنى نوعى ویژگى و حالت خاصى را از رابطه بین «اعداد»دریافتند و این دریافت منجر به تحقق علم دیگرى به نام«جبر»گردید.
در واقع حساب علم محاسبه با اعداد معلوم بود، لیکن جبر عبارت از بکار بردن علامتهاى مختلف که نماینده اعداد مجهول و معلوم هستند و محاسبه آنها مى‏باشد. (4) یا مى‏توان گفت جبر نمایش مقادیر مختلف بوسیله حروف ویا علمى است که قوانین حساب عددى را به کمک عملهایى که روى مقادیر مجهول انجام مى‏شود، نشان مى‏دهد.مثلا در جبر با چنین گزاره‏هایى سر و کار داریم: 2b+b+ba2+2a 2(b+a)بر این اساس ما در جبر و فعالیت جبرى خود از موضوع خودمان که«اعداد و احوال و آثار و ویژگیهاى مربوط به آن»است خارج‏ نشده‏ایم.
در واقع درابتدا و در قدم اول نوعى روابط ساده را بین اعداد معین دریافته‏ایم و سپس روابطى پیچیده‏تر را درک کرده‏ایم و به همین منوال عمل نموده‏ایم و پیش رفته‏ایم.ما مى‏توانیم بنا به ظرفیت موضوع و نوع آن، اعتبارات مختلفى انجام داده و از زوایایى متعدد و از ویژگیهاى گوناگون آن براى تحقیق و کشف مسائل و قضایاى خاص استفاده کنیم، لیکن ریشه همه این اعتبارات و ویژگیها در ارتباط وثیق با موضوع و نوعیت خاص آن است.اینها در واقع شعاعهایى است که به اصل موضوع برمى‏گردد.
البته ما نمى‏گوییم هر اعتبارى مى‏توان نمود، بلکه اعتبارات و ویژگیهایى مورد نظر است که موضوع اقتضا مى‏کند.مثلا اعتبارات ریاضى که حول و حوش عدد و بعد انجام مى‏گیرد همه صبغه کمى دارند و سعى در بیان ویژگهاى کمى و روابط کمى است. مثلا کشف روابط جبرى بین اعداد یک ویژگى کمى بین آنهاست.یا در توپولوژى که شاخه‏اى از هندسه بشمار مى‏آید نظر به ویژگى«پیوستگى»است. (5) که خود از«بعد»منتزع شده است و مفهومى کمى و مقدارى است و سعى در تبیین نوعى روابط کمى خاصى دارد که بین اشکال خاص برقرار است و همینطور سایر ویژگها نیز چنین هستند.در واقع بر این اساس مى‏تون گفت تکامل ریاضیات در همین راستا صورت گرفته است.
«هلزى هال»در این راستا چنین مى‏آورد:«دو رشته اصلى که ریاضیات مقدماتى را تشکیل مى‏دهند، حساب و هندسه است.موضوع حساب اعداد است و هندسه به پراکندگى اجسام در مکان و توزیع رویدادها در مکان و زمان مى‏پردازد(یا بحث روى بعد است)حساب و هندسه به هم وابسته‏اند، زیرا فاصله‏ى زمانى و مکانى را مى‏توان اندازه گرفت و اندازه‏ها را با عدد نشان داد.کار شاخه‏هاى دیگر ریاضیات مقدماتى چیزى جز تأکید بیشتر بر جنبه‏هاى خاص هندسه و حساب نیست.مثلثات و هندسه تحلیلى، روشهاى کاربرد اعداد در هندسه هستند.حرکت‏شناسى، هندسه حرکت است.جبر و حساب دیفرانسیل و انتگرال هم گسترشهاى حساب هستند.» (6)
نباید در نظر گرفت که نظر ایشان تنها به گسترشهاى محدودى است، یعنى تنها شاخه‏هاى محدودى را در برمى‏گیرد.ولى به نظر مى‏رسد که تمام انواع گسترشهایى که صورت گرفته بى‏واسطه یا با واسطه به مراجع واحدى برمى‏گردد.ایشان براى تأیید مدعاى خود براى مثال حسابدارى را مثال مى‏زند که در عین اینکه با اعداد سر و کار دارند، جزو رشته‏هاى ریاضیات نیستند.لیکن به نظر مى‏رسد هر چند حسابدارى را نمى‏تون جزو رشته‏هاى ریاضیات محض دانست، اما مى‏توان آن را جزو رشته‏هاى ریاضیات کاربردى دانست.
نکته دیگرى که ما باید بدان اشاره کنیم اینکه، ما ملاک مرزبندى علوم را بر اساس«موضوع»قرار دایم، چرا که بهتر از معیارهاى دیگر هدف و انگیزه جداسازى علوم را تأمین مى‏کند و با رعایت آن ارتباط و هماهنگى درونى مسائل و نظم و ترتیب آنها بهتر حفظ مى‏شود.ولى مى‏توان در دسته‏بندى‏هاى فرعى، معیارهاى دیگرى را نیز در نظر گرفت مثلا مى‏توان علمى را به نام«خداشناسى»ترتیب داد و محور مسائل آن را خداى متعال قرار داد و سپس آن را به شاخه‏هاى فلسفى و عرفانى و دینى، منشعب ساخت که هر کدام با روش ویژه‏اى مسائل مربوط را مورد بررسى قرار دهند و در واقع معیار این انقسام جزئى را روش تحقیق تشکیل مى‏دهد.همچنین این حالت را در ریاضیات نیز مى‏توان بکار برد یعنى ریاضیات را مى‏توان به شاخه‏هاى گونه‏گونى منشعب کرد که هر شاخه بر اساس هدف خاصى مشخص شود، مانند ریاضیات فیزیک، ریاضیات اقتصاد و بدین ترتیب تلفیقى بین معیارهاى مختلف بوجود مى‏آید.
به عبارت دیگر اهداف متعدد، بعنوان معیار فرعى در نظر گرفته شود و مسائل متناسب با هر هدف بنام شاخه خاصى از علم مادر معرفى گردد. (7) بر این‏ اساس هم مى‏توان علومى مانند حسابدارى و...را زیر چتر موضوع واحدى قرار داد که موضوع ریاضیات را تشکیل مى‏دهد.
پس از این بحثها مى‏توان ریاضیات را چنین تعریف کرد که:ریاضیات علمى است که در خصوص احکام و مسائل معقولات ثانى کمّى(منفصل و متصل قار) بحث مى‏کند.
نظرى به تحولات ریاضى و حفظ وحدت موضوع
در اینجا خالى از فایده نخواهد بود اگر ما به نحو گذرا نظرى به تحولات تاریخ تفکر ریاضى براى درک سنخیت موضوعى آن تحولات و درک حوزه ویژه این علم بیندازیم.یعنى بحث بر این خواهد بود که تحولات ریاضى هنوز حول محور خاصى دور مى‏زنند و از وجه مشترک کمّى برخوردارند.
بحث را از هندسه شروع مى‏کنیم.هندسه در گذشته حول و حوش بعد و احوال و خصوصیات آن بحث مى‏کرد و هندسه اقلیدسى نمونه عالى فعالیت هندسى در گذشته است.اقلیدس، هندسه‏دان یونانى، در کتاب مشهور خود به نام«مقدمات»براى نخستین بار طرحى اساسى براى هندسه ریخت او کوشش کرد اصطلاحات به ظاهر واضح را با دقت شرح دهد و تعریف نماید و مفاهیمى را که معرف ساده‏ترین شکلهاى هندسى هستند.یعنى نقطه، خط، سطح و روابط متقابل بین آنها و آنچه را که تا آن زمان خود بخود معلوم شمرده مى‏شد، تحت نظم درآورد.این تعاریف را بایستى نقطه شروع همه کارهاى بعدى در هندسه دانست که بخودى خود راه تکامل بعدى را معین کردند.
هندسه‏هایى که در قرون بعدى به نام هندسه‏هاى نااقلیدسى تحقیق یافتند درست است که بعضى اصول اقلیدس را زیر سؤال مى‏بردند، لیکن محور بحث باز سر بعد و امتداد فضاهاى انتزاعى بود و خود مؤسسان چنین هندسه‏هایى مى‏گفتند هندسه اقلیدسى تنها جزئى از خواص واقعى«فضا»را منعکس مى‏کند و هندسه‏هاى نااقلیدسى خواص بیشترى از فضا را بیان مى‏کند.کارهاى لباچفسکى، ریمان و گاوس حول محور بعد مى‏گردید، منتها دید تازه‏اى نسبت به بعد یافته بودند و فضا را با کیفیت جدیدى مى‏دیدند.حتى ریاضى‏دان انقلابى آلمانى، یعنى هلبرت نیز در بیان اصول پستگاه خود و پردازش دستگاه ریاضى خود تنها حول محور خط و نقطه و سطح بحث مى‏کند و قضایایش را ترتیب مى‏دهد.
در هندسه قضایایى و هندسه تحلیلى یا مختصاتى، مسائل و قضایا حول شکلهایى مانند صفحه‏هاى چند وجهى‏ها، اجسام کروى و سایر اجسام هندسى که داراى شکل ساده‏اى هستند، مى‏باشد که خود، صورتهاى مختلفى از بعد مى‏باشند.حتى فعالیتهاى جدیدى که در همین راستا انجام گرفته تنها شکلهایى بغرنجتر و پیچیده‏تر را موضوع مورد مطالعه قرار داده‏اند و از حوزه کلى اشکال خارج نشده‏اند و شکلهایى مانند بیضى، سهمى، هدلولى و...را مورد مطالعه قرار داده‏اند.
مبحث«گراف»در هندسه که با نامهاى گوناگونى چون طرح، نگاره، دیاگرام، نقشه و...نیز بیان شده است باز چیزى جز پردازشى جدید از خطوط و نقطه‏ها نیست.براى بیان ساده گراف باید گفت اغلب، و به بهانه‏هاى مختلف، شکلى را رسم مى‏کنیم که از نقطه‏هایى که نماینده چیزهایى هستند، تشکیل شده است.و در حالتى که بین این چیزها، رابطه‏هایى وجود داشته باشد، نقطه‏ها را به کمک خطهایى به هم وصل مى‏کنیم.
در مورد«توپولوژى»که یکى از جوانترین علوم ریاضى است باید گفت که همانا یکى از شاخه‏هاى هندسه بشمار مى‏آید و اندیشه نخستین توپولوژى نیز کاملا هندسى است و در عین آنکه دانشى بسیار انتزاعى است لیکن با توجه به ویژگى بعد که عبارت از پیوستگى است، حاصل شده است.بحث در توپولوژى نیز برتر اشکال خاصى و تبدیلاتى است که اشکال مى‏توانند داشته باشند. (8)
در مورد«اعداد»نیز مسأله از همین قرار است، ابتدا تنها علم مرسوم، علم حساب بود و در این علم از روابط معینى مانند جمع، تفریق و...بین اعداد معین بحث مى‏شد.ولى در یونان قدیم افلاطون دست به ابتکار جالبى زد و تقسیم جالب توحهى در حساب بوجود آورد و بین علم حساب یا علم عددها ولژیستیک یا هنر محاسبه تفاوت گذاشت.پس از آن در طى قرون و اعصار علاوه بر اینکه حساب کاملا ثابت و مستحکم شد، لژیستیک نیز توسعه خارق العاده‏اى به خود گ رفت که در تهیه زمینه یک علم جدید یعنى جبر سهم بزرگى داشت.
یکى از مشخصات خیلى بارز جبر، بکار بردن علامتهاى مختلف است(یعنى چیزى که مخصوص جبر مى‏باشد)که نماینده عددهاى مجهول و یا معلوم هستند، این علامتها به تدریج به وجود آمدند و به همان ترتیب به موازات آنها جبر نیز چه در جهت تکنکى و چه در جهت اختصار شرقیات جدیدى مى‏نمود.نمایش مقادیر مختلف بوسیله حروف اجازه مى‏دهد که عملها را روى عددهاى نظرى به طور کلى انجام دهیم و قوانین حساب عددى را به کمک عملهایى که روى مقادیر مجهول انجام مى‏شد، نمایش دهیم.خلاصه امروز مشخصات اصلى جبر براى ما عبارت است از:تنظیم محاسبه‏ها و استعمال علامتها براى عمومى کردن قواعد، بر این اساس مى‏بنیم که علامتهاى جبرى جایگزین اعداد مى‏شود و رابطه بین علائم همان رابطه‏هاى گذشته به اضافه روابط کمى جدیدى است که کشف گردیده است، یعنى بحث حول ویژگیهاى صورى اعداد و روابط کمى موجود بین اعداد و انجام محاسبه‏هاى کمى است.
به همان نسبت که خبر پیش مى‏رفت و توسعه پیدا مى‏کرد، با علومى مانند:حساب بى‏نهایت کوچکها، نظریه تابعها و حساب عالى ارتباط ناگسستنى پیدا نمود.به این ترتیب، علم جبر دامنه وسیعى به خود گرفت اما مرزهاى این علم هم کم و بیش معین شد و دانشمندان سده بیستم دریافتند که فکر واهى دکارت درباره عمومى کردن روشهاى جبرى نمى‏تواند به ثمر برسد.
مثلثات که از«اندازه‏گیرى مثلث»آمده است، بیان ساده‏اى از محاسبه‏هایى که در بسیارى موارد هندسى بکار مى‏رود، به هر زاویه، چند عدد نسبت داده مى‏شود و آنها را خطهاى مثلثاتى آن زاویه گوید(سینوس، کسینوس و تانژانت)، مثلثات مسطحه درباره روابط بین ضلعها و خطهاى مثلثاتى زاویه‏هاى یک چند ضلعى و مخصوصا مثلث مطالعه مى‏کند.مثلثات کروى درباره مسأله‏هاى شبیه به آن، یعنى رابطه‏هاى بین اجزاء چند ضلعى منحنى الخط روى یک کره که بوسیله دایره‏هاى عظیمه‏اى مشخص شده است، مطالعه مى‏کند.
در نجوم چون ستاره‏ها را مانند نقطه‏هایى که روى یک کره سماوى قرضى قرار گرفته‏اند، در نظر مى‏گیرند، احتیاج زیادى به هندسه و مثلثات کروى دارند، در این علم نیز نظریه اشکال و اعداد است. در مورد حساب احتمالات و آنالیز ریاضى با حساب بى‏نهایت کوچکها باید گفت که در اولى بحث روى محاسبات کمى درباره حوادث متغیر و مختلف است و در دومى محاسبات کمى متوجه مقادیر کوچک است.
سال 1874 سال انتشار اولین اثر انقلابى کانتور یعنى«تئورى مجموعه‏ها»است، که بتدریج جاى بسیار ارجمندى در مباحث ریاضى به خود گرفت، «مجموعه»یکى از مفاهیم ریاضى(مانند مفاهیم نقطه و خط در هندسه)مى‏باشد که«تعریف نشده است»منظور از یک«مجموعه»دسته‏اى است از اشیایى که کاملا مشخص شده باشند، در واقع هر مجموعه یک«کل»است و بین این«کل»ها روابط کمى معینى وجود دارد.که تئورى مجموعه‏ها در صدد کشف این روابط است.در این رشته نیز مفاهیمى از قبیل تهاى(یا صفر)، اجتماع، اشتراک، تفاضل و... براى بیان مقاصد محاسبانى بکار مى‏وند. (9) با توجه به بیان این بحث و مسائلى که در آن مطرح شد اشاره به دو نکته ضرورى است:
1-جبر پول، ریاضیات یا منطق؟
در سال 1854«جرج بول»کتاب معروف خود را تحت عنوان«مطالعاتى درباره قوانین فکر»که منطق ریاضى و حساب احتمالات بر آنها استوار است، منتشر کرد، جرج بول به رؤیایى که ریاضى‏دانان نامى چون لایب نیتز و دمورگان در مورد«وارد ساختن منطق در حیطه جبر»داشتند، جامه عمل پوشاند.در واقع پول منطق را به نوعى جبر ساده و آسان تبدیل کرد.او استدلال درباره یک موضوع را به وسیله دستورهاى ساده جبرى بیان نمود.
توضیح اینکه در هر رشته از علوم و مخصوصا ریاضى مسائل پیچیده و مشکلى مطرح مى‏شود که حل آنها طولانى و نتیجه‏گیرى، دشوار و پیچیده مى‏باشد.یعنى هم حل استدلال بسیار طولانى مى‏شود و هم ارتباط میان معلوماتى که در روند استدلال طرح مى‏شود، پیچیده مى‏گردد.دراین حالت سئوالى که مطرح مى‏شود این است که آیا نمى‏شود قانونهایى را یافت که بتوان به کمک آنها، روشى کلى براى حل این مسأله‏ها پیدا کرد بطورى که جستجوى جواب، به همان سادگى حل مسأله‏هاى حسابى، ممکن باشد؟ظاهرا جورج بول در برابر چنین پرسشهایى قرار گرفته است.او نتیجه بررسیهاى خود را در کتاب«مطالعاتى درباره قوانین فکر»منتشر کرد.
او در مقدمه کتاب خودش مى‏نویسد:«موضوع این رساله، عبارت است از بررسى قانونهاى بنیانى آن قسمت از فعالیتهاى عقلانى که به یارى آنها داوى انجام مى‏گیرد، و بیان این قانونها به زبان علامتى و تنظیم نوعى محاسبه براى آنها، تا بتوان علم منطق را شکل داد و روشهاى آن را سازمان بخشید...».
اولین قدم در طریق صورى نمودن و علامتى نمودن گزاره‏هاى حساب در جبر مقدماتى برداشته شده بود.در جبر مقدماتى، بررسیها ما، جدا از ماهیت چیزها، انجام مى‏گیرد.در جبر مقدماتى تنها به کمیت آنها و بستگى‏هایى که بین آنها برقرار است، یعنى ارتباطات کمى، کار داریم.و این فعالیت خود، قدمى براى زمینه‏سازى جهت تعمیم«روش»جبر مقدماتى در حوزه‏هاى کلى و عام شد.روش جبر مقدماتى یعنى بکار بردن علامت بجاى اشیاء است.
در جبر بول که از جهت روش با جبر مقدماتى اشتراک دارد، هیچ یک از ویژگیهاى یک گزاره مورد نظر نیست.بجز اینکه این گزاره درست است یا نادرست.عملهایى که بطور عمده در جبر بول وجود دارند عبارتند از:
عمل نفى)X(ضرب منطقى با ترکیب عطفى و جمع منطقى یا ترکیب فصلى، روابطى که در جبر بول مطرح است، روابط منطقى است نه روابط کمى. به این جهت آنچه در جبر بول بدین صورت مطرح مى‏شود:
xvy yvx یا x.)y.z( )x.y(.z
هیچگاه عینا همان روابطى نیست که در جبر مقدماتى به این صورت نوشته مى‏شود. (10)
شa+b b+a یا a+)b+c( )a+b(+c.
چنانکه دیدیم بول دنبال قانومندى‏هاى کلى اندیشه بشر و قالبهاى کلى استدلال و استنتاج و قواعد صورى عام مى‏باشد.او دنبال شرایط صدق و کذب صورى گزاره‏هاست.او در پى کشف قواعد فکر است تا با عمیات صورى، صدق و کذب سمائل را از جهت صورت روشن سازد و از این طریق هر چه بیشتر بر سادگى، راحتى، استحکام و صحت استدلال بیفزاید و ذهن را هر چه فزونتر ازخطا مصون دارد. پس موضوع جبر بول مفاهیم و عناوین منطقى است. منطق بدنبال یافتن قالبهاى اساسى فکر و بیان روشها و شرایط و انواع استدلالها و...است تا اندیشه بشرى از جهت صورى(و نیز از جهت مادى)دچار خطا نشود.
در حالى که ریاضیات متکفل بحث در صورتهاى گوناگون استدلال یا غیره نیست، بلکه فقط بکار برنده آنها است.ریاضایت با ابزار منطق و با تکیه بر کاوشهاى منطقى در زمینه صور گوناگون استدلال و با تغذبه از فضاهایى که منطق بر روى آن مى‏گشاید، در قلمرو خاص خود که پرداختن به مفاهیم و روابط کمّى میان امور است، به فعالیت مى‏پردازد.
2-تأملى در مفهوم«مجموعه»و«عدد»
امروز مفهوم«مجموعه»در تمام ریاضیات، مفهومى بنیادى تلقى مى‏شود، حتى بنیادى‏تر از مفهوم عدد.در واقع تقریبا همه مفاهیم مورد توجه در ریاضیا از نظریه مجموعه‏ها نشأت مى‏گیرند و مفاهیم کلى با استفاده از زبان نظریه مجموعه‏ها بیان مى‏شود، این نظرى است که ریاضیدانان معتقد بدان هستند. (11)
یکى از این تلاشهاى گسترده توسط جمعى از ریاضیدانان جوان فرانسوى که با نام مستعار «بورباکى»فعالیت مى‏کردند، انجام شده و حاصل آن کتابى به نام«اساس ریاضیات»بود.تلاش این کتاب چند جلدى که بیشتر آن در دهه 55-1945 نوشته شده است، متوه این موضوع است که تمامى ریاضیات محض را به شکلى منظم با استفاده از مفاهیم مجموعه و تابع شر و بسط دهد. (12)
این بیان مى‏تواند دلیل اهمیتى باشد که ریاضیدانان بدان علت، به نظریه مجموعه‏ها اقبال نام دارند.ما در اینجا در صدد تحلیل مفهوم«مجموعه»و کنکاشى کلى در این مفهوم هستیم و سپس نتایج این بررسى را به مشاهده خواهیم نشست.
الف-انواع مجموعه و بیان خصوصیات هر یک
ابتدا براى تعیین حدود و مرزهاى تحقیق و بررسى‏مان بهتر است بین سه نوع از«مجموعه»و سه بیان از مفهوم و تعریف آن امتیاز قائل شویم.مفهوم مجموعه در سه حوزه طرح مى‏گردد:عرفى، ریاضى و فلسفى.
مجموعه به معناى«عرفى»آن در واقع عبارت از دسته‏اى از اشیاء هستند کاه اکثرا متجانس و یکنواخت بوده و داراى تناهى اجزاء است، و علاوه بر آن هر چه مجموعه بایستى از یک شى‏ء متعین و چه بسا محسوس و موجود تشکیل شود.
معناى«ریاضى»مجموعه بر اساس تعریف مؤسس و مبتکر آن یعنى کانتور چنین است:«مجموعه هر گونه بر هم نهاده‏اى است چون M، از اشیاء مشخص و کاملا متفاوت تجربه و یا ذهن ما(که هر یک از آنها را عضو M مى‏نامیم)بصورت یک گل» (13) توضیح ساده و فراگیرى که از مجموعه مى‏توان ارائه داد و در اصل تغییر بیان کانتور مى‏باشد چنین است که:منظور از مجموعه، دسته‏اى از اشیاء مشخص و کاملا متفاوت که هر یک عضو آن دسته بوده و بصورت یک کل است. در اینجا«دسته»حاکى از تعدد نیست و ممکن است مجموعه داراى یک عضو باشد یا اصلا نباشد.
مجموعه ممکن است متناهى یا نامتناهى باشد.و مفهوم«دسته»هیچ حکمى را در مورد یکنواختى نوع چیزهایى تشکیل دهنده مجموعه، بیان نمى‏کند.یک مجموعه کاملا خوب ممکن است متشکل از سه عدد، دو مثلث و یک تابع باشد.بدیهى است که مفهومى با این کلیت و عمومیت، میدان وسیعى براى مثالهاى نامأنوس فراهم مى‏سازد.ولى، مجموعه‏هاى مورد توجه در ریاضیات لزوما آنهایى هستند که از اشیاء ریاضى تشکیل مى‏شوند.در یک سطح مقدماتى با مجموعه‏هایى مانند اعداد یا مجموعه‏هایى نقاط در صفحه، مجموعه‏هاى منحنهاى هندسى و مجموعه‏هاى توابع آشنا مى‏شویم و در ریاضیات پیشرفته‏تر به مجموعه‏هاى متنوع‏تر فراوانى برمى‏خوریم. (14)
در«فلسفه یا هستى‏شناسى»مفهوم«مجموعه» همان مفهوم«کثرت»و در همان معناست.یعنى در تعریف کثرت ما با مفهوم مجموعه سر و کار داریم و تعریف کثرت منوط به مفهوم مجموعه است.و بر همین اساس کسانى که کثرت را چنین تعریف کرده‏اند که:«کثیر مجموعه‏اى از واحدها است»مورد اعتراض واقع شده و گفته‏اند که این، تعریف شى‏ء به‏ خودش است.علامه طباطبائى مى‏فرمایند:«تعریف کثیر با مجموعه همان تعریف کثیر یا کثیر است». (15)
بر این اساس مجموعه فلسفى در واقع همان کثرت است که در مقابل وحدت قرار مى‏گیرد و بعبارت دیگر هر کجا مجموعه باشد، کثرت تحقق دارد. مفهوم مجموعه هم، مبتنى بر درک مفهوم کثرت است.در این حالت مجموعه مى‏تواند اعم از متجانس یا نامتجانس و متناهى یا نامتناهى باشد.لیکن در این معنى ما هیچگاه مجموعه‏اى با«یک عضو»یا «هیچ عضو و نهى»نخواهیم داشت.چرا که در این معنى«مجموعه واحد»یا«مجموعه تهى»یک مفهوم متناقض خواهد بود.
باید اضافه کرد که در فلسفه«یک»مجموعه را «کثیر»مى‏نامند، یعنى مجموعه را بعد از آنکه بصورت «یک»و واحد، در نظر مى‏گیرند، مجموعه مى‏نامند و آن را قبول مى‏کنند.زیرا از جهت فلسفى ممکن نیست که کثیر از آن جهت که کثیر است، در خارج موجود باشد و اساسا قابل تصور هم نیست. (16)
بطور خلاصه مى‏توان گفت مجموعه در هستى شناسى یعنى«کثرتى که بصورت واحد در نظر گرفته شده است و بصورت یک واحد لحاظ شده است.»
مفهوم مجموعه از نظر شناخت‏شناسى یک مفهوم ثانى است.یا به تعبیر دقیقتر«معقول ناشى ریاضى یا کمى»است.
ب-تعاریف و معانى عرفى، ریاضى و فلسفى عدد
در عرف معمولا به«کاربرد»عدد مى‏پردازند.عدد را وسیله‏اى کمّى براى اندازه‏گیرى و تعیین تعداد و مقادیر اشیاء قلمداد مى‏کنند.در عرف بیشتر با خود مفهوم مجرد اعداد سر و کار ندارند.
در مورد معناى ریاضى«عدد»باید گفت که معناى این مفهوم با توجه به مکاتب فلسفه ریاضى مختلف و متفاوتى که در تاریخ تفکر ریاضى و یا فلسفى وجود داشته و دارند، تفاوت مى‏کند.در این میان مى‏توان به دو دیدگاه مشهور اشاره نمود.دیگاه اول، دیدگاه شهودى است که مفاهیم ریاضى و از جمله عدد را با توجه به دریافت شهودى و بدیهى معنا مى‏کند.عدد در نظسر ایشان کمیتى است که ما به تدریج با درک واحدها و تکرار آنها حاصل مى‏کنیم. (17) و اساسا عدد یک مفهوم بدیهى است.
نظر دیگر در مورد عدد و بنیادهاى آن، مربوط به مکتب منطق‏گرایى است.پیشینه این مکتب چندان طولانى نیست و تنها از اواخر قرن 19 مطرح شده است.لیکن دیدگاههاى جالب و بحث‏انگیزى را باعث گردیده است.این دیدگاه در واقع دنباله‏رو جبریانى است که در آن سعى بر این است که به مفاهیم ریاضى عمق و ژرفاى بیشترى داده شود. یعنى در پى کشف فضاهاى گسترده و پهناورى است که از افق مفاهیم عادى یا بنیادى ریاضى نمودار است.و باید گفت«عمق یک مفهوم ریاضى از دیدگاه ریاضیدانان به ساختارهاى بنیادى‏تر و مفاهیم غیر بدیهى‏اى که در بطن موضوع مورد بحث نهفته است، دست پیدا مى‏کند». (18)
این، طریقتى است که منطق‏گرایان در آن قدم زده‏اند.براى اینکه عقیده این گروه را بهتر دریابیم شمائى کلى از معتقدات آنها را بیان مى‏کنیم و در این راه به مبانى و اصول تفکر آنها هم به نحو گذرا اشاهر مى‏کنیم.
نظریه فرکه درباره تعریف و حد منطقى، نظریه‏اى است واقع‏گراى، یعنى حد منطقى را قولى مى‏داند که دلالت بر ماهیت بکند و در نتیجه قائل به ماهیت قابل اشاره از براى اشیاء ریاضى معرف است.نظیه راسل نظریه‏اى است«نام‏گراى، یعنى تعریف را صرفا وسیله‏اى براى تبدیل یک سرى علائم به علائم دیگر میداند.براى راسل تعریف صرفا بیانى است از ترکیب تازه‏اى از علائم بر مبناى ترکیبى از پیش شناخته شده، و بنابر این تعریف را در اصل قولى که دلالت بر چیزى بکند نمى‏داند، بلکه تعریف را قولى مى‏داند داراى قابلیت ایجاد تسهیل در مراحل اثبات. بر مبناى چنین نظره‏اى تعریف نوعى اختصار در بیان مطالب دانسته شده است و براى راسل تعریف یک عدد خاصى(مثلا وقتى مى‏گوییم تنها عددى که خلاف خاصیت را دارد)، با یک طبقه از اعداد(مثلا طبقه اعداد صحیح تقسیم‏پذیر به دو)بیانى است از چیزهایى صرفا منطقى، غیر مادى و ذهنى، فگه معتقد است که اعداد، اشیاء منطقى هستن و هدف فلسفه ریاضى این است که آنها را مشخص کند.البته بزعم فرگه تعریف عدد از طریق متمایز کردن آن در یک مرحله ساختمان ریاضى کافى نیست، و نیز نمى‏توان عدد را بعنوان یک اصل موضوعه تعریف کرد.باید عدد را از طریق تعریف مشخص نود و باید تعریف، قولى که دلالت بر ماهیت مى‏کند، باشد، و در نتیجه باید وجود عدد از طریق تعریف بیان شود.
بر این اساس مى‏توان گفت لب راه حل منطق‏گرایى، تشخیص صحیح حالت منطقى اعداد طبیعى است.اعداد طبیعى نسبتهایى منطقى‏اند که نه به اشیاء بل به مفاهیم تعلق دارند.اینکه عددى خاص مثلا 3، تعداد یک مفهوم است بدین معنى است که سه شى‏ء در تحت آن قرار مى‏گیرند.و همین مطلب را مى‏توانیم به کمک مفاهیم منطقى که قبلا ارائه شده است، بیان کنیم مثلا فرض کنید معنى 2m)F(اینست که لااقل دو شى‏ء در تحت مفهوم F واقع مى‏شوند. (19)
بطور خلاصه فلاسفه ون منطق‏دانهایى نظیر فرگه و راسل و وایتهد نشان دادند که مفهوم عدد از نظر منطقى مفهومى پیچیده است و مى‏تواند به مفاهیم ساده‏تر که متضمن ترتیب، رده و تناظرها است، «کاهش»پیدا کند. (20) و اساسا باید گفت که این مفهوم ساده‏تر همان«مجموعه»است.راسل و وایتهد در کتاب اصول ریاضیات)Principia mathematical(معتقدند که مفهوم مجرد«پنج» عبارت است از مجموعه تمام دسته‏هایى از اشیاء که تناظر یک به یک با 5 کتاب دارند. (21) به زبان ساده اینها مى‏خواهند ایده شهودى شمارش و عدد را به زبان مجموعه‏ها بیان کنند (22) مفهوم«مجموعه»و «تناظر»مفاهیمى است که در تعریف عدد درج مى‏شود.البته مفهوم اساسى و بنیادى براى تعریف عدد همانا مفهوم«مجموعه»است.
در مورد معناى«عدد»از دیدگاه فلسفى چنانکه قبلا هم به نحو جسته و گریخته در طى مباحث گذشته اشاره شده است، مى‏توان چنین بیان داشت: در آغاز باید دانست که از دیدگاه فلسفى تعریف و بیان جنس و فصل یک مفهوم، مختص مفاهیم ماهوى است.یک مفهوم ثانى با جنس و فصل تعریف نمى‏شود، چون حد ماهوى ندارد بلکه براى تعریف یک مفهوم غیر ماهوى و فلسفى، مفاهیم ساده‏تر و یا مترادفات آن مفهوم را براى درک بهتر آن بکار مى‏برند.در واقع تعریف در اینجا نه براى بیان جنس و فصل، بلکه براى توضیح و وضوح بخشى به مطلب است.
تعریف عدد در فلسفه همان تعریف کمیت منفصله است.پس باید گفت عدد معقولى ثانى است که ذاتا قابل انقسام است باید اشاره کرده که مفهوم«عدد» خود مفهوم ماهوى بشمار نمى‏آید و مفهومى ثانوى استو جزو معقولات ثانى بشمار مى‏آید.در فلسفه و هستى‏شناسى در تعریف عدد، نظر به انقسام‏پذیرى آن است و کمیت‏پذیرى آن از نوع منفصل است نه متصل.
در مورد عدد بحث دیگرى نیز مى‏توان کرد و آن بحث شناخت‏شناسانه است.در این مقام ما به کیفت انتزاع مفهوم عدد مى‏پردازیم.و در حین تحقیق مشخص خواهیم کرد که درک«مجموعه» (هم به اصطلاح فلسفى و هم تا حدودى نزدیک به اصطلاح ریاضى)مقدم بر درک«عدد»است.
پیشتر گفتیم که مفاهیم فلسفى از قبیل وحدت، کثرتو عدم منشأ پیدایش مفاهیم ریاضى هستند. عدد به اصطلاح فلسفى که نه واحد را شامل مى‏شود و نه تهى یا صفر را، ابتدا با درک کثرت حاصل مى‏شود، و درک کثرت مقدم بر هر ادراکى است.  (البته لازم به توضیح است که کثرت خود مبتنى بر درک وحدات است یعنى ما فرض مى‏کنیم وحدت را درک نموده‏ایم و سپس نظر به فراتر از درک وحدت داریم، چون گفتیم عدد در فلسفه از«دو»آغاز مى‏شود).براى درک اعداد ما ابتدا وحدات و یا کثرت را بصورت«با هم»در نظر مى‏گیریم و سپس مفهوم عدد معینى را انتزاع مى‏کنیم.یعنى مثلا ما وقتى افرادى را مشاهده مى‏کنیم، آنها را واحد مى‏یابیم و بعد وقتى مثلا دو واحد از آنها را با هم در نظر مى‏گیریم، مفهوم«دو»را انتزاع مى‏کنیم.بعبارت دیگر ما واحدها را کنار هم مى‏گذاریم و یکجا در نظر گرفته و سپس مفهوم عدد را انتزاغ مى‏کنیم. (23)
ما به کثرت و وحدات نظر جمعى و مجموعه‏اى نموده و سپس مفهوم عدد را کسب مى‏کنیم.بر این اساس مى‏توان گفت مفهوم«مجموعه»رتبتا مقدم بر درک مفهوم«عدد»است و تا ما به درک مجموعه نائل نشویم و وحدت را بطور مجموعه‏اى و یک کل واحد درک نکنیم، به مفهوم عدد دست نخواهیم یافت.
باید اضافه کرد«مجموعه»خود کاملا معروض عدد است و از حیطه تعدد و کمیت نمى‏تواند خارج شود. مجموعه و عدد دو روى یک سکه هستند.هر کجا مجموعه حضور داشته باشد، تعدد و در نتیجه عدد وجود دارد و هر کجا عدد وجود داشته باشد مجموعه تحقق دارد.
ماحصل
آنچه ازبحث فلسفى و معرفت‏شناسانه ما چه در بحثهاى پیشین و چه با توجه به بحث اخیر حاصل مى‏شود، از این قرار است:
1-مفهوم«مجموعه»در معناى فلسفى آن دقیقتر از مفهوم ریاضى آن است.در عین حال که مشترکات اساسى در این دو معنى دیده مى‏شود، ولى مفاهیمى مانند:«مجموعه‏اى بایک عضو»یا«مجموعه تیه»یک سلسله مفاهیم متناقض به نظر مى‏آیند.
2-اساس در بحث شناخت‏شناسى و تعیین مفهوم بنیادى براى عدد و تحقیق در مفاهیم متقدم، هدف کشف مفاهیم حقیقى و دست‏یابى به نحوه انتزاع از نظرگاه فلسفى است(که مبتنى بر پیش فرصتهایى فلسفى از قبیل رابطه وحدت و کثرت و...است) لیکن، تحلیل ریاضى و صورى عدد و تحقق بخشیدن به مفهوم مجموعه، اساسا و مهمتر از همه براى ایجاد فرصت براى مباحثى از ریاضیات جدید بوده است یا به عبارت دیگر هدف، گذرا به اندیشه‏هاى پیچیده‏تر ریاضى براى راهیابى به افقهاى صورى جدیدى مى‏بشاد.به همین جهت در برخى مواقع با چنین هدفى، فرضهایى در نظریه مجموعه‏ها مى‏شود که پارادوکسهایى را به دنبال مى‏آورد.
3-مفهوم«مجموعه»هم مانند مفهوم«عدد»جزو معقولات ثانى ریاضى است و معروض کمیت مى‏باشد.بر این اساس اولا منفک از مفاهیم ماهوى و منطقى است و ثانیا در حوزه بحث ریاضى با موضوع خاص آن است.(و چه بسا مى‏توان گفت کمیت آن از نوع منفصل است).
4-به نظر مى‏رسد ریاضیدانها و منطقدانهایى که به دنبال تحلیل صورى عدد و تحویل آن به مجموعه هستند، در تحلیل دقیق چنین تحویلى کاملا موفق نشده‏اند و چه بسا این به سبب عدم درک صحیح رابطه مفهوم مجموعه و عدد باشد.چنانکه پیشتر گذشت این دو مانند دو روى سکه هستند و قائل شدن به تمایز کامل میان آن دو، درست نیست.اگر هدف ما از ابتدا بر این باشد تا با تکیه بر مجموعه، کلا خود را از حیطه کمیت و عدد خارج سازیم و خود را مثلا به مفاهیم منطقى مربوط ساخته و پایه‏اى براى اعداد بریزیم، این طریق مناسبى به نظر نمى‏رسد. هر چند در عمل و به طور صورى به بازى یا علائم بپردازیم.
در این مورد به بیان یکى از ریاضیدانان مشهور نظر مى‏کنیم.ایشان پس از بیان کیفیت ساخت اعداد با توجه به مفهوم مجموعه چنین مى‏گوید:«چه بسا که به نظر افراد غیر متخصص، همه این‏ها بارى پوچى باشد که تنها مى‏تواند جنبه سرگرم کننده داشته‏ باشد، بدینصورتکه اعتراض شود که مگر در استدلال از همان رقمهاى 1 و 2 و 3، منتهى به صورتى پنهانى‏تر استفاده نمى‏کنیم.ولى چنین اعتراضهایى(که بر حق هستند)منطق‏دانها را قانع نمى‏کند، زیرا دقیتقتر کردن این تعریفها، زمینه استوارى را به وجود مى‏آورد و راه را براى گذار به اندیشه‏هاى پیچیده ریاضى هموار مى‏کند.» (24)
5-متعلق مفهوم«عدد»و همچنین مفهوم«مجموعه»نه تنها«مفاهیم»بلکه«امور عینى» هم هست.یعنى این دو مفهوم هم بر امور عینى و هم بر امور ذهنى قابل حمل هستند.مفاهیم منطقى هستند که صرفا بر مفاهیم ذهنى حمل مى‏شوند و راهى براى حمل به خارج ندارند.اگر ما منطق را قوانین اندیشه‏ها معنا کنیم هیچگاه مفاهیم آن بر خارج از ذهن حمل نمى‏شوند و متعلقى در خارج نخواهند داشت.نیز نتیجه مى‏توان گرفت، هر مفهومى که از این مفاهیم متولد شود«به فرض امکان»آن هم صیغه منطقى خواهد داشت و ارتباطى با خارج پیدا نمى‏کند.(ذکر این نکته ضرورى است که منظور از حمل در مفاهیم منطقى و ریاضى و فلسفى بر امور ذهنى، به نحو عام ومطلق مورد نظر است و چه بسا از جهت نوع حمل با هم متفاوتند.)
6-باید در نظر داشت که ما نسبت به هر مفهومى در نظر داریم.نظر استقلالى و نظر آلى، در نظر استقلالى ما تنها به خود مفهوم فى نفسه، بدون آنکه آن را مرآت چیزى خارج از این مفهوم بدانیم، نظر مى‏کنیم، و در نظر آلى است که ما این مفهوم را مرآت و آینه‏اى براى ناشن دادن امورى وراء این مفهوم قرار مى‏دهیم مانند آینه که یکبار به خودش نظر مى‏کنیم و یک بار در آن براى دیدن غیر آن مى‏نگریم.
در مورد مفهوم عدد هم جریان از همین قرار است یا در مورد مفهوم مجموعه هم همینطور مى‏باشد. وقتى مى‏گوییم عدد یعنى مجموعه‏اى که در تناظر یک به یک یا چند شى‏ء است، باید به اعتبار و لحاظ خود توجه کنیم.این تعریف-به فرض قبول-تنها ناظر به دیدگاه آلى است.در دیدگاه استقلالى عدد را مى‏توان همان مجموعه خواند، لیکن به مجموعه اشیاء بلکه مجموعه وحدات.در این مقام دیگر بحث از تناظر و...نیست.عدد در این نظر مجموعه‏اى از وحدات است که با نظر واحد لحاظ شده است و مثلا عدد 5 را تشکیل داده است.به علاوه به کار بردن مفهوم تناظر خود خالى از اشکال به نظر نمى‏رسد. عدد بر معدودات صدق مى‏کند و بر آنها حمل مى‏شود، آنها جزو«افراد و مصادیق»عدد هستند، ولى آیا این رابطه را مى‏توان«تناظر»نامید؟
7-مسأله دیگرى که توجه بدان لازم است اینکه آیا مجموعه یک مفهوم کلى است یا کل است؟تعریفى که علماى منطق ما از کلى به عمل آورده‏اند این است که اگر لفظى که بر معنایى دلالت مى‏کند(مفهوم) قابل صدق بر کثیرین باشد یا به تعبیر دیگر اقتضاى شرکت داشته باشد یا اقتضاى منبع شرکت نکند، آن را کلى گویند، مثل انسان، خورشید و...بر عکس اگر قابل صدق بر کثیرین نباشد جزئى است و کل عبارت از مجموعه‏اى از دو یا چند چیز است که در خارج وجود دارند و به تعبیر دیگر کل عبارت از مجموعه(به معناى متعارف نه به معناى مصطلح ریاضى یا...) افراد و اجزاء خارجى است.
در مورد تعریف منطقى و مصطلح مجموعه گئورک کانتور واضع نظریه مجموعه‏ها چنین مى‏گوید:«منظور من از مجموعه، هر گونه بر هم نهاده‏اى است چون M، از اشیاء مشخص و کاملا متفاوت تجربه و یا ذهن ما(که هر یک از آنها را عضو M مى‏نامیم)به صورت یک کل».
تعریفى که کانتور از مجموعه کرده است از جهتى شبیه کل است، زیرا به گفته وى بر هم نهاده‏اى است از اشیاء بصورت یک کل، ولى از سوى دیگر قانونى که یک مجموعه را تعریف مى‏کند، چنانکه خواهیم دید، به«کلى»شباهت دارد.حال براى روشن شدن‏ مطلب به تفاوتهاى کلى و کل اشاره مى‏کنیم:
الف-کل عبارت از مجموع اجزاء است ولى کلى عبارت از مجموع اجزاء نیست.
ب-کل به حمل مواطات، به رسم یا حد بر اجزاء خود قابل حمل نیست، ولى کلى چنین است.
ج-وجود کل بدون وجود جزء محال است، ولى وجود کلى بى‏وجود جزئى محال نیست.
چ-اجزاء کل ممکن است محصوره و محدود باشد، لیکن مصادیق کلى محصور و محدود نیست.
ح-کل جزو جزء خود نیست، ولى کلى مى‏تواند جزو جزء یا فرد خود باشد.
خ-کل در حد جزء واقع نیست، در صورتى که کلى در تعریف یا حد جزئى واقع است.
«کل»بودن مجموعه از اصول موضوعه آن آشکار است.اصول موضوعه‏اى که توسط«رزملو»و «فرانکل»بیان شده‏اند.
اصل موضوع اول مى‏گوید:«دو مجموعه در صورتى با هم مساوى‏اند که داراى عضوهاى یکسان باشند، در اینجا هویت یک مجموعه با اجزاء آن شناسانده شده است و از این جهت با مفهوم کل بیشتر مطابقت دارد.
اصل موضوع دوم مى‏گوید که براى دو شى مختلف aو b مجموعه‏]b و a[وجود دارد که داراى دو عضو b و a است، در اینجا هم مجموعه با مفهوم کل قرابت دارد.
از سوى دیگر مى‏گوییم«مجموعه همه اعداد طبیعى»یا«مجموعه اعداد زوج»، «اعداد طبیعى»یا «اعداد زوج»مفاهیمى است کلى که داراى افراد است و بر هر یک از افراد خود تحمل مواطات صدق مى‏کند.
در نظریه مجموعه‏ها، هر مجموعه‏اى را عضو خود قرار مى‏دهند و بنابر این مجموعه از این جهت با کلى مطابقت پیدا مى‏کند.بعلاوه مجموعه‏اى که داراى هیچ عضو نباشد(یا داراى یک عضو باشد یعنى کمتر از دو عدد عضو باشد)مجموعه مستقلى فرض مى‏کنند، پس مجموعه در اینجا کل نیست، بلکه کلى است. پرسشى که در اینجا مطرح است اینکه چگونه مجموعه مى‏تواند هم مابازاى کل و هم مابازى کلى باشد؟آیا این خود یک تناقض و منشأ تناقض نیست؟ پاسخ این است که مانعى ندارد که مجموعه به دو اعتبار مختلف مصداق کل و کلى باشد، مثلا اگر مجموعه همه انسانها(عمر-زید و بکر، خالد و...) را در خارج در نظر بگیریم یک کل است، ولى اگر مفهوم واحد انسان را که قابل حمل بر این افراد کثیر انسان است ملحوظ بداریم، دیگر کل نیست بلکه کلى است.پس اشکالى ندارد که مجموعه به دو اعتبار مختلف کل و کلى باشد، اشکال از آنجا ناشى مى‏شود که این دو اعتبار مختلف را نادیده بگیریم و یا اینکه هر دو را در یک اعتبار خلاصه کنیم.چنانکه روش غربیان است. (25)
یادداشتها
(1)-آموزش فلسفه استاد مصباح، ج 1، ص 176 و 177، مرکز نشر سازمان تبلیغات اسلامى.
(2)-تاریخ هندسه، پى‏یر مارشل، ترجمه حسن صفارى، ص 122.
(3)-آموزش فلسفه، ج 1، ص 181.
(4)-تاریخ حساب، رنه‏تاتون، ترجمه پرویز شهریارى، ص 126.
(5)-هندسه در گذشته و حال، پرویز شهریارى، ص 176.
(6)-تاریخ و فلسفه علم، هلزى هال و لویس ویلیام، ترجمه آذرنگ، ص 40، انتشارات سروش.
(7)-آموزش فلسفه، ج 1، ص 72 و 74.
(8)-هندسه در گذشته و حال، پرویز شهریارى و سرگرمیهاى توپولوژى، استفن‏بار، ترجمه پرویز شهریارى.
(9)-تاریخ حساب، رنه‏تاتون، ترجمه پرویز شهریارى و کتاب ریاضیات جدید، سال اول آموزش متوسطه و منطق ریاضى بزبان ساده، ناصر بروجردیان.
(10)-کتاب ریاضیات جدید، سال اول آموزش متوسطه، ص 1 و هندسه در گذشته و حال، ص 332-340
 (11)-مبانى ریاضیات، استوارت تال، ترجمه ابراهیمى، ص 47 و 48.
(12)-مجله جنگ ریاضى، 1366، شماره 1، ص 18.
(13)-دومین یادنامه علامه طباطبایى، مقاله«تعارضات نظریه مجموعه‏ها»، دکتر اعوانى، ص 246.
(14)-مبانى ریاضیات، ص 48.
(15)-نهایة الحکمه، علامه طباطبایى، المرحله السابعة، الفصل الاول، ص 138.
(16)-شناخت، عطاء الله کریمى، ج 1، ص 35.
(17)-آشنایى با تاریخ ریاضیات، هاوارد.و ایوز-ترجمه وحیدى اصل، جلد 2، ص 324.
(18)-مجله فرهنگ و اندیشه ریاضى، 1361، شماره 2، ص 59.
(19)-فلسفه ریاضى، حسین ضیائى، ص 15 و 30.
(20)-مجله رشد ریاضى، شماره 21، ص 10.
(21)-همان مأخذ شماره 31، ص 8.
(22)-مبانى ریاضیات، ص 162.
(23)-آموزش فلسفه، استاد مصباح، ج 2، ص 183.
(24)-من ریاضیدانم، نوبرت وینر، ترجمه پرویز شهریارى، ص 65.
(25)-دومین یادنامه علامه طباطبایى، مقاله«تعارضات نظریه مجموعه‏ها»، دکتر اعوانى، ص 246-249.