درآمدی بر فلسفه ریاضی

در شماره پیش، موضوع علم ریاضی از نگاه شناخت‏شناسی و تأمل در مفاهیم و گزاره‏های ذهنی در حین فعالیت ریاضی آورده شد و در ادامه آن جایگاه علم ریاضی در تقسیم‏بندی علوم از دیدگاه قدماء مشخص گردید.در بخش حاضر نظر فلاسفه اسلامی در این باره به بحث گذارده می‏شود.
نظر فلاسفه اسلامی
به اعتقاد این فلاسفه، ذهن در ابتدا از هیچ چیزی اصلا تصوری ندارد و مانند لوح سفیدی است که فقط استعداد پذیرفتن نقش را دارد، بلکه به بیان دقیق‏تر نفس در ابتدا تکون فاقد ذهن است و سپس تصوراتی از قبیل انسان، درخت، مقدار، رنگ و شکل و عدد و...از طریق حواس و با استفاده از تجرید و تعمیم برای ذهن حاصل شده است و لیکن ذهن بشر واجد یک سلسله تصورات دیگری نیز هست که از راه هیچ یک از حواس قابل توجیه نیست و ناچار از راههای دیگری(علم حضوری)وارد ذهن می‏شود. (1)
فلاسفه اسلامی معمولا مفاهیم ریاضی را جزو معقولات اولی یا ماهوی می‏دانند که مستقیما صورت‏ یک امر خارج از ذهن است و در نتیجه تجرید و تعمیم حاصل شده‏اند؛یعنی از قبیل مفاهیم انسان، درخت و سنگ و...هستند. (2) دیدگاه ایشان در مورد تجرید نیز چنین است:انتزاع در اصطلاح فلسفه و روانشناسی معمولا به یک عمل خاص ذهنی گفته می‏شود که آن را تجرید نیز می‏توان نامید، به این نحو که ذهن پس از آنکه چند چیز مشابه را درک کرد، آنها را با یکدیگر مقایسه می‏نماید و صفات مختص هر یک را از صفت مشترک آنها تمیز می‏دهد و از آن صفت مشترک یک مفهوم کلی می‏سازد که بر همه آن افراد کثیره صدق می‏کند.در این هنگام گفته می‏شود که این مفهوم کلی از این افراد انتزاع شده است، مثل مفهوم انسان که از زید و عمر و غیره انتزاع شده است.در اصطلاح‏های فلسفی کلمه انتزاع در موارد دیگر نیز استعمال می‏شود. (3)
پس ما بدین ترتیب ابتدا اشیاء را مشاهده نموده و آنگاه به تدریج مفهوم یک و دو و...یا مفهوم سطح و خط و...را از آنها انتزاع نموده‏ایم.فلاسفه اسلامی مفاهیم ریاضی از قبیل عدد، خط، سطح و...را تحت مقوله کم که از جمله اعراض است و از مفاهیم ماهوی است، مورد بحث قرار داده‏اند.می‏توان نظر فلاسفه اسلامی را در مورد کیفیت انتزاع مفاهیم ریاضی چنین بیان داشت«گفتیم که مفاهیم ریاضی از سنخ مقعولات اولیه یا ماهوی هستند که مستقیما از طریق حس گرفته شده و با اعمال ذهن نظیر تعمیم و تجرید و ترکیب در ذهن به شکل معقول و کلی درآمده‏اند.
مثلا مفهوم«دو»از مشاهده دوشی، در ذهن به شکل معقول و کلی درآمده است، یعنی از مشاهده«دو شئ خاص»درذهن وارد شده، ولی«دو»از«شئ»جدا و مجرد شده است و قابلیت تعمیم دارد، یعنی بر دو کتاب، دو قلم، دو میز و...اطلاق می‏شود». (4)
در مورد مفهوم«یک»فلاسفه اسلامی دارای نظر خاصی بوده و معتقدند که وحدت(یک)اگر چه مبدأ و مقوم عدد است، ولی خود عدد نیست و اساسا داخل در مقوله کم نیست.چه تعریف عدد و کم بر آن صادق نیست، زیرا قابل تقسیم نیست.بنابراین کمترین عدد دو است و سلسله اعداد با آن آغاز می‏شود همچنین باید دانست که ایشان نسبت وحدت را با عدد مانند نسبت نقطه با خط نمی‏دانند.
چه وحدت جزء عدد است و مقوم آن، در صورتی که نقطه جزء خط و مقوم آن نیست، بلکه نهایت آن است. (5)
مفهوم«وحدت»از دیدگاه فلاسفه اسلامی جزو معقولات ثانی فلسفی است و کم منفصل که همان عدد است از تکرار شدن واحد فراهم می‏اید. (6) پس در این صورت بایستی بحث را به کیفیت انتزاع مفهوم وحدت کشانید.نکته‏ای که به نظر می‏رسد ادراک«اعداد»مبتنی بر ادراک«تعدد»و«تکثر»یا به عبارت بهتر مفهوم«کثرت»است و بایستی در کنار مفهوم«وحدت»در پی اطلاع از کیفیت انتزاع مفهوم «کثرت»هم باشیم.
علامه طباطبایی درخصوص انتزاع این مفاهیم چنین نظری دارند که ما پس از درک مفاهیم ماهوی بین آنها نسبتی برقرار می‏کنیم.از نسبت بین یک ماهیت و خودش مفهوم«است»و از عدم نسبت یک ماهیت با ماهیت مخالف خودش مفهوم«نیست»را ایجاد می‏کنیم.در قضیه سالبه نسبت سلب را به طرفین قضیه(موضوع و محمول)می‏دهد و بوسیله همین کار هر یک از طرفین از آن یکی جدا شده و همدیگر را طرد می‏کنند و از همین جا معنای کثرت نسبی(یا عدد)را می‏یابد، چنان که در قضیه موجبه چون طرفین را از این معنی(کثرت یا عدد)تهی می‏یابد به این حال نام«وحدت»می‏دهد، و از همین جا روشن خواهد شد که«کثرت»معنایی است سلبی و«وحدت»سلب سلب است، ولی چون این سلب سلب منطبق به نسبت ایجابی(است)می‏باشد، نسبت وحدت یا نسبت ایجاب در مصداق یکی خواهد بود. در این کار و کوشش ذهنی که در حیطه قضیه صورت گرفته مفاهیم بدنی ترتیب حاصل می‏شوند:
1-مفهوم ماهوی(مانند سفیدی)
2-مفهوم ماهوی دیگر(مانند سیاهی)
3-است
4-نیست
5-کثرت نسبی
6-وحدت نسبی
چون قوه مدرکه ما می‏تواند چیزی را که بدست آورده دوباره با نظر استقلالی نگریسته و تحت نظر قرار دهد، از این رو نسبتهایی را که بعنوان رابطه، میان دو مفهوم یافته بود، با نظر استقلالی نگریسته و در مورد هر نسبت یک یا چند مفهوم استقلالی تهیه می‏نماید و در ضمن این گردش و کار مفاهیم وجود-عدم- وحدت-کثرت را که به شکل نسبت ادراک نموده بود، ابتدائا با حال اضافه(وجود محمول از برای موضوع)، (عدم محمول از برای موضوع)و...و پس از آن بی‏اضافه(وجود-عدم-وحدت-کثرت)، و همچنین سایر مفاهیم عامه و خاصه را که اعتباری می‏باشد، تصور می‏نماید. (7)
باید در مورد مفهوم«صفر»هم تذکر داد که حکمای اسلامی، مفاد فلسفی و هستی‏شناسی آن را هیچ و پوچ یعنی عدم می‏دانند. (8) و بر این اساس انتزاع مفهوم«صفر»نیز منوط به انتزاع مفهوم«عدم»خواهد بود، ما در بالا کیفیت انتزاع مفهوم«عدم»را هم از دیدگان علامه طباطبایی ذکر کردیم.می‏توان اضافه کرد که مفهوم فلسفی صفر هم یک مفهوم ثانی فلسفی است.
در مورد انتزاع یا تجرید کمیات متصل مانند خط، سطح و حجم و...نظر بر این است که«حجم»محصول تأمل و تجرید ذهن از جسم است و«سطح»از حد مشترک بین دو قسمت مفروض از جسم و«خط»از حد مشترک بین دو سطح و«نقطه»از حد مشترک بین دو خط انتزاع می‏شوند. (9)
نظر معاصرین بعد از علامه
برخی از متفکران معتقدند که می‏توان بیان ساده‏تری برای آشنایی ذهن با مفهوم وجود و سایر مفاهیم فلسفی ارائه داد، بدین صورت که هنگامی که نفس، یک کیفیت نفسانی مثلا ترس را در خودش مشاهده کرد و بعد از برطرف شدن آن، دو حالت خود را، در حال ترس و در حال فقدان ترس، با یکدیگر مقایسه نمود، ذهن مستعد می‏شود که از حالت اول مفهوم«وجود ترس»و از حالت دوم، مفهوم«عدم ترس»را انتزاع کند و پس از تجرید آنها از قید اضافه و نسبت، مفهومهای مطلق«وجود»و«عدم»را به دست آورد.این شیوه‏ای است که در انتزاع سایر مفاهیم فلسفی هم بکار می‏رود و از مقایسه دو موجود از دیدگاه خاصی دو مفهوم متقابل، انتزاع می‏شود، و از اینجا راز جفت بودن این مفاهیم، آشکار می‏گردد.
این چنین مفاهیم فلسفی نیاز به فعالیت درون ذهنی و مقایسه و تحلیل دارند(برعکس مفاهیم ماهوی که بطور اتوماتیک در ذهن انعکاس می‏یابند) و در اینجا هم دیدیم که چگونه ذهن بوسیله مقایسه دو حالت نفسانی استعداد انتزاع دو مفهوم متقابل وجود و عدم را پیدا می‏کند. (10)
در مورد انتزاع وحدت و کثرت می‏گویند هنگامی که عقل، فردی از یک ماهیت را در نظر می‏گیرد و آن را با خود ماهیت، مقایسه می‏کند و این تفاوت را مورد توجه قرار می‏دهد که ماهیت، قابل صدق بر افراد است ولی افراد، این ویژگی را ندارند، عنوان«تشخص» را از فرد، انتزاع می‏کند، و هنگامی که یک فرد را با چند فرد دیگر مقایسه می‏کند و تعددی در فرد واحد نمی‏بیند، وحدت را از آن، انتزاع می‏نماید. (11)
بنابراین هر یک از موجودات خارجی، وحدت شخصی دارند و هنگامی که بیش از یکی از آنها را در نظر بگیریم متصف به کثرت می‏گردند، و این هر دو صفت که مفهومهایی انتزاعی و از قبیل معقولات ثانیه هستند-بنابراصالت وجود-از وجود موجودات، انتزاع می‏شوند.به علاوه با توجه به اینکه ماهیتی را می‏توان تنها در نظر گرفت و می‏توان آن را با یک یا چند ماهیت دیگر لحاظ کرد، دو مفهوم متقابل«واحد»و «کثیر»انتزاع می‏شود. (12) به نظر می‏رسد که مفهوم وحدت و کثرت مفاهیمی باشند که از فعالیت دستگاه ادراکی دریافته‏های مصنوعی حاصل شده باشند.
بدین صورت که ما یک بار خود را یک«واحد»و یک وجود واحد درک می‏کنیم و بار دیگر خود را با حالات و افکار متفاوت لحاظ می‏کنیم و درمی‏یابیم.از این دو نوع یافتن خود، دو مفهوم وحدت و کثرت حاصل می‏شود.این نکته‏ای است که ایشان در کتاب دیگر خود بدان اشاره نموده‏اند.
ما حقیقت وجود را با علم حضوری می‏یابیم.در درجه اول وجود نفس و بعد قوا و افعال و انفعالات نفس را درمی‏یابیم.ما وقتی خود را ملاحظه می‏کنیم، می‏بینیم که در وجود ما چیزهایی تحقق دارد که در علم حضوری ما از هم انفصال ندارند.مثلا حالات نفسانی را با خود نفس، با علم حضوری می‏یابیم.ولی می‏بینیم این حالات نفس مثل امید، ترس، محبت، نفرت و...گو اینکه اموری هستند که با علم حضوری آنها را می‏یابیم، ولی از نفس ما جدا نیستند.
وجود محبت را نمی‏توان درک کرد بدون اینکه وجود نفس با آن درک شود، محبت در صورتی درک می‏شود که به صورت حالتی از نفس ملاحظه شود.
محبت بر خلاف نفس مستقل نیست.پس اینها در عین حال که دو چیزند-«من»جوهر است و«محبت» عرض-ولی از هم جدا نمی‏توانند باشند.بین اینها یک نحو اتصالی است.از اینجا ذهن با مفهوم اتصال و وحدت آشنا می‏شود.بعد که نفس را با اراده، محبت و سایر حالات نفسانی ملاحظه کرد، می‏بیند که وجود اینها متصل به نفس است.البته نه ارتباط و اتصال زمانی و مکانی، بلکه وجودش طوری است که نمی‏شود گفت:من یکی و اراده هم یکی است.اصلا اراده در شعاع وجود شما تحقق پیدا می‏کند، اگر وجود دارد، قائم به نفس شماست و اگر قیام ندارد، وجود ندارد.نه اینکه مستقل است.اگر محبت وجود دارد در نفس شما می‏تواند وجود داشته باشد...وجود آن بگونه‏ای است که نمی‏تواند مستقل از نفس، تحقق پیدا کند.
وقتی این را در وجود خود ملاحظه کنیم دو لحاظ می‏توان کرد:
1-نفس یک موجود است و همه چیزهایی که در نفس وجود دارد اخلال نفس است، یعنی با نظر استقلالی به آن نمی‏نگریم، کما اینکه مستقل هم نیست.نفس زید یک موجود است.پس آیا محبت، عداوت، اراده و...وجود ندارد؟بلی، پس چطور نفس یک موجود است؟به این طریق که اینها اظلال آن هستند و استقلال ندارند.
2-گاهی نظر استقلالی به آن می‏کنیم و می‏گوییم محبت زید غیر از عداوت اوست و هر دو غیر از اراده‏اش می‏باشند. (13)
از اینجاست که دو مفهوم وحدت و کثرت، یا غیریت یا تعدد حاصل می‏شود و از همین جا می‏توان حدس زد که اعداد مختلف هم که مصادیقی از کثرت هستند از قبیل معقولات ثانیه می‏باشند، نه از قبیل معقولات اولی و مقولات ماهوی آنچنان که اکثر فلاسفه قائل شده‏اند. (14)
از دیدگاه استاد مصباح مفاهیم ریاضی جزو معقولات ثانیه هستند، یعنی چه کم منفصل و چه متصل جزو معقولات ثانی می‏باشند.ایشان چنین می‏آورند:
«آنچه در این میان از همه روشن‏تر است عدد است که وقتی دقت کنیم، می‏بینیم با اینکه اتصافش در خارج است، ولی عروضش خارجی نیست.من باب مثال ابتدا خدا حضرت آدم را خلق کرد بعد همسرش را.آیا در اینجا غیر از وجود این دو، شئ خاصی به نام‏ عدد دو تحقق می یابد؟تا زمانی که حضرت آدم تنها بود عددی نبود(چون عدد کمیت است و قابل انقسام و«یک»چون مبدأ اعداد است و قابل قسمت نیست عدد محسوب نمی‏شود)وقتی هم انسان دوم را خلق کرد آن هم یک انسان بیش نبود، ولی وقتی این دو با هم تحقق می‏یابد، می‏گوییم:«دو تا».آیا این«دو» چیزی زائد بر آن انسانهاست یا این ذهن ماست که اینها را با هم مقایسه می‏کند و آن را انتزاع می‏کند.
وقتی خدا فرد سوم را هم خلق کرد، ذهن عدد سه را انتزاع می‏کند نه اینکه عدد دو از بین می‏رود و چیزی به نام سه موجود می‏شود.
این(ها)خاصیت معقولات ثانیه است، بنابراین عدد ماهیت نیست.از شواهد دیگر این است که عدد بر عدد می‏تواند حمل شود:می‏شود گفت دو تا«دو».
در اینجاهر یک از و جفت، عدد دو را دارند و مجموعا عدد چهار را، ولی اگر هر چفتی را جداگانه در نظر بگیریم دو جفت خواهیم داشت.اینها وابسته به نظر ماست، ولی اگر ماهیت حقیقی بود، تابع نظر ما نبود.
پس عدد ماهیت نیست و جنس ندارد.
به نظر می‏رسد که کمیت متصل هم نحوه وجود جسم است.یعنی جسمی که در خارج داریم نحوه وجودش طوری است که قابل انقسام، یعنی دارای امتداد است.منتهی ما گاهی امتداد جسم را یک‏جا در نظر می‏گیریم و می‏گوییم حجم دارد و گاهی توجهمان را به یک سو جلب می‏کنیم و می‏گوییم سطح دارد و گاهی هم به منتهی الیه سطح توجه می‏کنیم و می‏گوییم خط دارد.این تعدد حجم و سطح و خط، تابع نظر ماست و الاّ جسم در خارج یک وجود بیشتر ندارد و یک ماهیت بیشتر موجود نیست و آن ماهیت جسم است و جسم بودن بدون امتداد اصلا معنی ندارد.اصلا حقیقت جسمیت یعنی جوهر قابل انقسام و دارای سه بعد، نه اینکه جوهری تحقق یابد و بعد عرضی به نام امتداد با سطح یا حجم و یا... بر آن عارض شود.پس اختلاف مفاهیمی که از یک شئ انتزاع می‏شود، دلالت بر تحقق چند ماهیت در طول یا عرض هم نمی‏کند، بلکه این تابع نظر ماست.
مؤید این مطلب اینکه ما حجم را از حدود جسم یعنی از منتهی الیه وجود جسم بدست می‏آوریم، سطح را از منتهی الیه حجم، خط را از منتهی الیه سطح و نقطه را از منتهی الیه خط انتزاع می‏کنیم.
پس اینها در واقع از منتهی الیه جسم از جهات مختلف انتزاع می‏شوند و منتهی الیه یا طرف، امری عدمی است.یعنی جایی که جسم تمام می‏شود چیزی دیگر به نام سطح بوجود نمی‏آید، بلکه از آنجا به بعد جسم نیست.در خود سطح هم در انتهای آن که دیگر چیزی نیست خط بوجود می‏آید.اینها مفاهیمی است که از انتها و جهت تمام شدن انتزاع می‏شود و حیثیت اینها یک حیثیت عدمی است.
البته بعضی از بزرگان به این مطلب توجه داشته‏اند و گفتاند کمیت دو لحاظ دارد:«یکی به لحاظ نهایت جسم که از این جهت، عدمی است و یکی به لحاظ مقدار که از این لحاظ مقوله کم استو امری وجودی است.ولی همین دو جهت را هم لحاظ کردن تابع لحاظ ماست و خود این تقسیم هم شاهد نظر ماست که چون خط و سطح و...نهایت وجود جسم حساب می‏شود ماهیت حقیقی نیستند، بلکه انتزاع ذهن ما هستند.
به نظر ما کمیت، چه متصل و چه منفصل، از نحوه وجود شئ انتزاع می‏شود و به عبارت دیگر کمیت متصل از عوارض تحلیلیه وجود جسمانی است و کمیت منفصل از عوارض تحلیلیه عامه هستند.» (15)
دیدگاه روانشناسی
از نظر روانشناسی برای حصول مفاهیم ریاضی بطور کلی ذهن نیازمند تجرید و فعالیت تجریدی است.از دیدگاه روانشناسی تجرید و تعمیم پایه اعمال عالی ذهن می‏باشند و به ما معانی مجرد و کلی را می‏دهند.این دو در حقیقت دو عمل تفکیک ناشدنی ذهن هستند، لیکن می‏توان برای سهولت امر مطالعه و تحقیق آنها را جداگانه بررسی نمود.
تجرید به آن عمل ذهن گویند که یک صفتی از صفات چیزی یا یک جزء از اجزاء معنایی را به نظر آورده سبب می‏شود که سایر صفات و اجزاء مورد غفلت قرار گیرند، در صورتی که آن جزء یا آن صفت به تنهایی و مستقلا نمی‏تواند وجود داشته باشد.مثلا تصور شکل، قطر یا رنگ یا وزن یک کتاب قطع نظر از سایر صفات و خصوصیات آن، تجرید خواهد بود.
تجرید یا ارادی است یا غیر ارادی.تجرید غیر ارادی آن است که توسط حواس صورت می‏گیرد، زیرا هر یک از آنها در ضمن عمل طبیعی خود واسطه انتزاع و احساس صفتی از صفات اشیاء است و از وجود صفات دیگر بکلی غفلت دارد.چنانکه با حس باصره فقط نور و رنگ، با سامعه فقط صوت، با شامه فقط بو و... ادراک می‏شوند، از همین روست که یکی از حکما بدن را«ماشین تجرید»خوانده است.
تجرید ارادی آن است که مستلزم توجه و عمل مخصوص نفس بوده، تصور معانی مجرد را مانند کم و کیف و وضع میسر می‏سازد؛شخص می‏تواند از تمام اجزاء و صفاتی که مثلا«کتابی»را تشکیل می‏دهند، تنها به شماره صفحات یا به حجم آن توجه کند(کم)، یا فقط رنگ جلد یا مرغوبی کاغذ یا زیبایی طبع آن را در نظر آورد(کیف)، یا آنکه وضع آن را روی میز و نسبت‏اش را با سایر کتابها و اشیاء تصور کند(وضع)و بر همین قیاس.
برای تجرید درجاتی قائل شده‏اند، زیرا از تصور صفتی از صفات امری محسوس و جزئی گرفته تا ادراک کلی‏ترین مفاهیم و همچنین معانی دیگری که میان این دو طرف نهایی قرار دارند، همه را تجرید دانسته‏اند.مثلا تصور سفیدی فلان تکه کاغذ معین، درجه اول تجرید و تصور سفیدی بطور کلی(یعنی قطع نظر از کاغذ مزبور و از هر چیز دیگر)درجه دوم تجرید، و تصور رنگ، درجه سوم تجرید و تصور کیفیت درجه چهارم تجرید خواهد بود.چنانکه تصور شماره صفحات فلان کتاب معین درجه اول و تصور همان شماره بی قید صفحه یا چیز دیگر، درجه دوم و تصور عدد درجه سوم و تصور کم درجه چهارم تجرید می‏باشد.
جمعی از روانشناسان معنی تجرید را محدود کرده، می‏گویند تصور صفات محسوسه اشیاء مثلا تصور سفیدی فلان کاغذ، تجرید حقیقی نیست، بلکه نوعی«دقت»است، زیرا سفیدی آن کاغذ از سایر خصوصیات این چیز، «بر طبق قانون کلی مجاورت» جدا نشدنی است.ذهن در صورتی به مقام تجرید حقیقی نائل می‏شود که سفیدی مطلق را-یعنی با چشم‏پوشی از اشیاء معین-تصور کند.و تجرید به این معنی به کار تشکیل مفاهیم کلیه می‏رود و از تعمیم تفکیک نشدنی خواهد بود.
در مورد تعمیم باید گفت هر گاه ذهن صفت یا صفاتی را که از اموری انتزاع شده است عنوان گروهی از افراد نامحدود قرار داده و مفهوم کلی بسازد، گوییم به عمل تعمیم پرداخته است.فرق میان تعمیم و تجرید این است که تجرید انتزاع معنی است از مصادیق و ملاحظه آن بصورت کلی و تعمیم ملاحظه همان معنی است به اعتبار صدق او بر جزئیات مختلف. (16)
از روانشناسان بسیار مشهوری که در طریق حصول ادراکات و مفاهیم سعی وافری نموده است، می‏توان از پیاژه نام برد.طبق نظر پیاژه یک کودک معمولی پیش از دو سالگی قبل از انجام هر کاری می‏تواند در نزد خود چگونگی انجام آن را بسنجد، مشروط بر آنکه وضعیت پیش آمده، ساده و برایش آشنا باشد.اما برای درک مفاهیم تجریدی ریاضی نظیر 1 و 2 و 3 و...کودک باید از دریافتهای محیط پیرامون و اعمال خود تا مرحله تجرید، روندی تجریدی و طولانی را طی کند. (17)
برای آشنایی بهتر با نظر پیاژه به جزئیات نظر او می‏پردازیم.در مورد توانایی درک مفهوم عدد، او بر این عقیده است که توانایی کار کردن با اعداد و درک مفهوم عدد از توانایی طبقه‏بندی کردن و ردیف کردن اشیاء ناشی می‏شود، زیرا هر عدد معرف طبقه‏ای از امور است و مجموعه‏ای از پدیده‏ها را که از لحاظ تعداد مشترک هستند، نشان می‏دهد.ضمنا سری اعداد به ترتیب به دنبال یکدیگر ردیف شده‏اند، به این معنی که هر عدد از عدد قبلی بزرگتر و از عدد بعدی کوچکتر است.در مرحله عملیات محسوس (11-7 سالگی)کودک قادر می‏شود اعمال را درونی کند، یعنی می‏تواند آنچه را که قبلا به صورت آشکار و بر روی اشیاء و امور واقعی انجام می‏داد، اکنون در ذهن خود انجام دهد.به سخن دیگر، در این مرحله کودک می‏تواند درباره اشیاء فکر کند.اما این تفکر به اشیاء واقعی یعنی اشیاء قابل دستکاری محدود می‏شود.
پیاژه منطق کودک را در این دوره منطق طبقه‏بندی، روابط، و اعداد می‏نامند، نه منطق امور فرضی، زیرا کودک در این مرحله قادر است اشیاء را بر حسب ویژگیهایشان طبقه‏بندی کردده و بر حسب رابطه‏ای که با یکدیگر دارند مرتب کند، و از طریق دستکاری آنها، به شمارش آنها بپردازد.بطور خلاصه، ویژگیهای فکری کودکان را در مرحله عملیات محسوس، به نحو زیر می‏توان خلاصه کرد:
1-توانایی درک مفهوم بقاء
2-توانایی طبقه‏بندی کردن و ردیف کردن
3-توانایی درک مفهوم عدد و کار کردن با اعداد
4-توانایی استدلال منطقی بر حسب اشیاء و امور محسوس و عینی. (18)
باید اضافه کرد که کلمه«تجربه»آن گونه که پیاژه آن را بکار می‏برد شامل بدست آوردن دانش جدید از طریق عمل بر روی اشیاء است، ولی این جریان به گونه‏های مختلف دانش، امکان رشد یافتن را می‏دهد.بنابراین می‏توان متقابلا از انواع مختلف تجربه سخن به میان آورد.دو گونه از تجاربی که برای نظریه پردازی پیاژه عمده‏ترین نقش را دارند.عبارت از تجربه فیزیکی و تجربه منطقی-ریاضی هستند.
دانش فرد از خواص و صفات اشیاء، محصول تجربه فیزیکی فرد با آن اشیاء بوده و حاصل عملی است که وی بر روی آنها انجام داده است.معرفتی که از تجربه منطقی-ریاضی حاصل می‏شود درباره اشیاء نیست، بلکه معرفتی از خود افعال و عملیات فیزیکی و نتایج آنهاست.
برای مثال فرد از طریق تجربه فیزیکی نسبت به وزن اشیا شناخت پیدا می‏کند.و یا این حقیقت که اگر سایر شرایط یکسان و ثابت نگهداشته شوند به موازات افزایش وزن، حجم نیز افزایش پیدا می‏کند و مانند آن.هر شی دارای وزنی است، هر چند که ما عملی را به هیچ وجه بر روی آن صورت ندهیم.
لکن ممکن است که ما با عملیات خود خصوصیات و کیفیاتی را وارد عالم ساخته و مطرح بنماییم که پیش از آن مطرح نبوده‏اند.
برای مثال ممکن است که تعدادی ریگ را برداشته و آنها را در یک دریف قرار دهیم.در این صورت ما عنصر ترتیب را مطرح ساخته‏ایم.برای نمونه فرض کنید که ما ریگها را شمارش کردیم و حاصل جمع آن معین شد، پس از آنکه ترتیب مهره‏ها را تغییر دادیم، دوباره آنها را شمارش نموده و بار دیگر به همان حاصل جمع می‏رسیم.پیاژه مدعی است که ما بدین ترتیب به این موضوع پی می‏بریم که تعداد عناصر و اشیای یک مجموعه از چگونگی ترتیب قرار گرفتن آنها مستقل است.وی این امر را نمونه خوبی از نوع معرفتی که مبتنی بر تجربه منطقی-ریاضی است تلقی می‏نماید.آنچه که ما در مثال بالا دریافتیم همان رابطه‏ای است که بین دو عمل برقرار است و نه (یا تنها نه)کشف خاصیتی که متعلق به ریگها می‏باشد.
نکته حائز اهمیت آن است که نوع عملیاتی که منجر به تجربه منطقی-ریاضی می‏گردد دقیقا همان انواعی هستند که اسا و پایه را برای ساختهای عملیاتی تشکیل می‏دهند، موقعی که پیاژه از تجربه منطقی-ریاضی سخن می‏راند، بار دیگر این نکته را اثبات می‏کند که حتی سرچشمه و ریشه‏های عالی‏ترین شکل استدلال انتزاعی در عمل بیرونی و فیزیکی قرار دارد.
پیاژه جریانات انتزاعی را در تجربه اعم از تجربه فیزیکی یا تجربه منطقی-ریاضی وارد می‏داند.در مورد تجربه فیزیکی، آگاهی پیدا کردن از وزن از طریق نوعی انتزاع صورت می‏گیرد که این امر خود برابر است با چشم‏پوشی از سایر خصوصیات شی از قبیل حجم یا شکل.برای آنکه وزن مورد توجه قرار گیرد بدین سان منتزع گشته و یا از کل«بیرون آورده می‏شود»و لیکن موقعی که فرد از طریق عملیات خود خاصیت و کیفیتی را منتزع می‏سازد، این امر مستلزم عملیات و وقایع دیگری سوای آنچه در بالا ذکر گردید می‏باشد.
بدین ترتیب پیاژه استدلال می‏کند که تنها نادیده گرفتن سایر خصوصیات شی کافی نیست، بلکه علاوه بر آن، انتزاع مزبور مستلزم جریانی است مبتنی بر بازسازی.اینک بیان خود پیاژه را در این مورد نقل می‏کنیم:
«عمل انتزاع که از عملیات فیزیکی آغاز می‏گردد، تنها در جداسازی و یا ملاحظه عناصر مجزا از یکدیگر، قرار نداشته و در آن خلاصه نمی‏شود.بلکه این امر مستلزم بازسازی عناصری است که از سطح پایین به سطح بالا انعکاس یافته‏اند».
برای مثال نظر بر این است که هر گاه عملیات منطقی عینی به وجود می‏آیند، به دقت این گونه بازسازی صورت می‏گیرد.دلیل آنکه پیاژه انتزاع را که خود از عملیات فیزیکی منشأ می‏گیرد، بازتابی تلقی می‏نماید دو چیز است، اول آن که خود نقل قول بالا نشان می‏دهد که وی در حقیقت از یک استعاره استفاده می‏جوید:یعنی ساختمان سطح زیر در ساختمان سطح بالاتر خود، «منعکس»یا«افکنده» می‏گردد.دوم، افزایشی که در میزان اندیشمندی و هشیاری فرد پدید می‏آید، خود نشان دهنده این تغییر است. (19)
مرور و ما حصل
از آنچه گذشت می‏توان چنین نتیجه گرفت که هم دکارت و هم کانت، هر یک به بیانی معتقد به مفاهیم پیش از تجربه هستند.به اعتقاد ایشان ریاضیات ریشه در ساختار ذاتی ذهن دارد و ذهن فی نفسه بدون هیچ ارتباطی با حس و تجربه دارای بنیادهای ریاضی و تجریدی است.این نظریه با مشکلاتی مواجه است که پیشتر بدانها اشاره شد.
باید بدین نکته اشاره نمود که نظرات دکارت و کانت، نظرات فلسفی هستند و برای ابطال آنها ما نمی‏توانیم به تجربه متوسل شویم، زیرا قضایای فلسفی با شواهد تجربی ابطال ناپذیرند، تنها راه چاره ابطال فلسفی آنهاست.ابطال آنها منوط به ناسازگاری و تناقض آنها با اصول متعارف و موضوعه فلسفی است که هم خود آن فیلسوف و هم ناقد آن، آنها را پذیرفته‏اند.
سه نظریه بعدی، یعنی نظر لاک و فلاسفه اسلامی و روانشناسی، به نظر می‏رسد که خود را از اشکالات وارد بر دو نظریه قبلی رهانیده‏اند.لیکن در هر یک از آنها از جهتی دیگر اشکالات جدیدی پیش می‏آید.
باید در نظر داشت که این سه نظریه ناظر به تحقق تمام انواع مفاهیم است و نه فقط مفاهیم ریاضی؛و از این جهت نظریه لاک و روانشناسی جدید مبتلا به اشکالاتی هستند که در مباحث قبل به آنها اشاره شده است.و چه بسا فلاسفه متقدم اسلامی هم تا این اندازه به ساختار ذهن و اشکالات متعدد، متوجه نبوده‏اند و دریافتی سطحی از مسأله داشته‏اند و به این وسیله مورد اشکال واقع می‏شوند.تنها در دوره اخیر است که تلاشهای وسیعی برای حل معضل شناخت انجام گرفته و نتایج بسیار پرباری حاصل شده است. (20)
وجه اشتراک این سه نظریه-که وجه اشتراک بر حق و صادقی نیز هست-از این قرار است که هر یک به نحوی دخالت حس را در تحقق مفاهیم ریاضی دخیل می‏دانند.یعنی معتقدند بدون دخالت حس و دخل و تصرف ذهنی دریافته‏های حسی، مفاهیم ریاضی حاصل نمی‏شوند.ولی این نکته را باید اضافه نمود که این سه مکتب معتقد به خالی بودن ذهن از هر نوع مفاهیم پیشینی هستند، پس‏ فرآورده‏های حسی به اضافه فعالیت خاص ذهنی موجب تحقق چنین مفاهیمی می‏شوند.این نکته را اضافه کردیم تا اشکال نشود که کانت هم معتقد به دخالت داده‏های حسی در تحقق شناخت است.
کانت بین داده‏های حسی و مقولات به تباین قائل است و ذهن را قبل از ورود داده‏های حسی حاوی صور پیشینی می‏داند که به نحو فطری بر روی داده‏ها اعمال می‏شوند.این داده‏های حسی نیستند که با تجرید صور مجرد ذهن را تشکیل دهند، بلکه داده‏های حسی تنها در حکم«فعال کننده»صور پیشینی هستند.چرا که از نظر کانت مقولات پیشینی فی نفسه نمی‏توانند معلوماتی را حاصل کنند، بلکه این حسیات است ک آنها را به تکاپو و تحقق شناخت وا می‏دارد.
برای بیان وجوه اختلاف این سه نظریه لازم است تا نظریه فلاسفه اسلامی را به دو قسم تقسیم کنیم، یعنی فلاسفه اسلامی متقدم و فلاسفه اسلامی معاصر.پس بر این اساس با چهار مکتب در مورد بحث شناخت بطور عام و مفاهیم ریاضی بطور خاص مواجه هستیم.
ما به اختصار به سه وجه اختلاف در بین این نظریات اشاره می‏کنیم:
1-مسأله فقدان یا وجدان ذهن
نخستین وجه اختلاف در بین این نظریات مربوط به این مسأله است که آیا کودک به هنگام تولد(یا حتی پیش از آن)دارای ذهن هست یا نه؟آنچه از سخنان لاک و نیز روانشناسان و فلاسفه متقدم اسلامی برمی‏آید این است که آنان معتقد به وجود عنصری به نام ذهن هستند.دیدگاه ایشان چنین است که ذهن همچون ظرفی است که ادراکات و تصورات و تصدیقات مظروف آن هستند.ذهن همچون اتاق خالی است که به تدریج با اسباب و وسایل پر می‏شود.کودک با ذهن خالی به دنیا می‏آید.یعنی ذهن«هست»لیکن«خالی»می‏باشد.
لیکن معاصرین از فلاسفه اسلامی معتقدند که اساسا «نفس در ابتداء تکون فاقد ذهن است». (21) در واقع ذهن مرتبه‏ای از نفس است که در ابتدا تحقق نیافته است و تحقق آن هم بدین گونه نیست که مرتبه‏ای خالی و تهی در نفس تحقق یابد که آن را «ذهن»بنامیم، بلکه ذهن چیزی جز ادراکات ما نیست.
مجموعه ادراکات و تصورات و...را ما ذهن می‏نامیم.«ذهن»یک مفهوم ماهوی نیست، بلکه یک معقول ثانی فلسفی است.ما برای ذهن نه ما به ازاء داریم و نه مصداق معین.ما از مجموعه ادراکات و فعالیتهای نفسانی خاص خود مفهوم «ذهن»را انتزاع نموده‏ایم، نه آنکه فضایی خالی در نفس به نام ذهن وجود داشته باشد.
مثل ما مانند تفاوت دیدگاه نیوتنی با دیدگاه اینشتینی نسبت به«مکان»است که اولی مکان را ظرفی مطلق تصور می‏نمود که همه اشیاء در آن جای دارند و دومی مکان را مولود اشیاء تصور می‏کرد و می‏گفت که مکان با اشیاء تحقق می‏یابد نه مستقل و مجزا از آنها.البته ذکر این نکته بی‏فایده نخواهد بود که این مسأله یکی از وجوه اختلاف بین فلاسفه و مکتب اصالت عقل اروپایی نیز می‏باشد.
مسأله تجرید
مکتب اصالت حس و روانشناسی و اکثر فلاسفه متقدم اسلامی دیدگاهی سطحی در مورد مسأله تجرید دارند و تنها از متقدمین فلاسفه اسلامی، ملا صدرا است که نظریه عمیق و بهتری در این مورد بیان داشته و معاصرین نیز این نظریه را پذیرفته‏اند.
در خصوص تفاوت این دو دیدگاه سطحی و عمیق شهید مطهری چنین می‏فرمایند:«راجع به مراحل حسی و خیالی و عقلی و چگونگی آنها یک نظریه معروفی است که از حرفهای بوعلی و بیشتر از حرفهای خواجه استفاده می‏شود و آن نظریه معروف«تجرید» است. این نظریه به یک مفهوم خیلی سطحی چنین می‏گوید که صورت خیالی همان صورت حسی است منهای بعضی خصوصیات و صورت عقلی همان صورت خیالی منهای بعضی خصوصیات است، کأنّه روی یک صورت که وارد ذهن می‏شود که نوع دخل و تصورفی می‏شود، یک نوع پیرایشی در آن صورت می‏گیرد، یک نوع تعیین از او گرفته می‏شود، صاف‏تر و صیقلی‏تر می‏شود، این می‏شود«صورت خیالی»بعد روی همان صورت نوع دیگری تصرف می‏شود، مقدار بیشتری صیقل می‏خورد، آن وقت«صورت عقلی»می‏شود.
آن تشبیه معروفی هم که امثال خواجه ذکر کرده‏اند برای این شکل پیدا می‏شود که اول صورت یک فرد در ذهن پیدا می‏شود، بعد صورت فرد دیگر پیدا می‏شود، بعد صورت فرد دیگر و...و بعد تدریجا این خصوصیات محو می‏شود، وقتی که این خصوصیات محو شد آن وقت یک حالت کلیت پیدا می‏کند و گفته‏اند مثل این است که یک مهر ثبتی را روی کاغذ می‏زنند یک نقش روشنی از یک شئ معین دارد، بعد یک بار دیگر که روی آن مهر می‏زنند یک مقدار مغشوش می‏شود و محو می‏گردد، و همینطور تا اینکه بالأخره همان حالت مهر بودنش هست ولی بدون اینکه مشخص باشد که در این مهر چه خصوصیاتی هست.
این نظریه سستی می‏باشد و توسط صدر المتألهین کاملا رد شده و نظریه دیگری که از بهترین نظریات ایشان است، مطرح شده است.این نظریه می‏گوید:نه صورت حسی به مرحله خیال بالا می‏رود و نه صورت خیالی به مرحله عقلی بالا می‏رود.اینها مراحل مختلف و مراتب مختلف هستند که امکان ندارد که هیچ کدام از مرتبه خودش تجافی بکند.همانطور که وقتی حس با خارج عینی مقابل می‏شود بعد صورت حسی در عالم حس ابداع می‏گردد، و معنایش این نیست که خارج در ذهن ما آمده است و آنگاه تغییر شکل یافته و به این شکل درآمده است، بلکه خارج سر جای خودش است و در رابطه حس و خارج این صورت-این صورت مماثل-متناسب با عالم حس در عالم حس ابداع می‏شود، وقتی هم که قوه خیال با صورت حسی مواجه می‏شود بعد صورت خیالی متناسب با عالم خیال ابداع می‏شود و صورت حسی در مقام خود باقی می‏ماند، و باز وقتی که عقل با صورت خیالی مواجه می‏شود، صورت عقلی متناسب با عالم عقل ابداع می‏گردد و صورت خیالی در مقام خود باقی است.یعنی هر صورت نسبت به مرتبه بعد معدّ می‏شود تا او بتواند در مرتبه خودش صورت مخصوص به خود را بسازد و بیافریند.» (22)
3-مسأله نوع مفاهیم ریاضی
از نظرات مکاتب اصالت حس(و شاید روانشناسی) و فلاسفه اسلامی متقدم(و بعضا معاصر)چنین بر می‏آید که معتقدند، مفاهیم ریاضی از قبیل مفاهیم «ماهوی»هستند.در صورتی که فلاسفه اسلامی از معاصرین معتقدند که مفاهیم ریاضی از قبیل «معقولات ثانی»یا مفاهیم ثانی می‏باشند.چون این مسأله دارای اهمیت فراوانی است ما به تشریح و توضیح آن می‏پردازیم.لیکن قبل از پرداختن به تعیین نوع مفاهیم ریاضی، مسأله‏ای را که ممکن است در مورد نظر جان لاک در خصوص انتزاع مفهوم «وحدت»و نوع مفهومی آن(که اساس اعداد به شمار می‏آورد)، مطرح شود، بیان کنیم.
«وحدت»در نظرگاه لاک
ممکن است سئوال شود تفاوت نظر لاک در مورد مفهوم«وحدت»با فلاسفه اسلامی در چیست؟جان لاک در خصوص تصور موجودیت و وحدت چنین می‏گوید:
«تصورات بسیطه دیگری هستند که خود را از هر دو راه احساس خارجی و فکر(حس داخلی یا وجدان)به ذهن می‏رسانند، نظیر لذت یا خوشی و عکس آن یعنی رنج یا ناراحتی و همچنین نیرو، موجودیت، وحدت...موجودیت و وحدت هم دو تصور دیگر هستند که از ناحیه هر یک از اشیاء خارجی و هر یک از تصورات درونی به فاهمه ما القاء می‏شوند.
موقعی که تصورات در ذهن ما هستند آنها را بالفعل در آنجا موجود می‏دانیم، چنانکه اشیاء خارجی را هم به همانطور موجود تصور می‏کنیم و معنی این ادراک این است که آنها واقعا هستند و موجودیت دارند و همچنین هر چیزی را که ما می‏توانیم آن را شئ واحد تصور کنیم اعم از اینکه واقعی یا عقلی باشند نسبت به فاهمه ما مشعر بر تصور وحدت است». (23)
ممکن است بتوان گفت که از جهت منشأ انتزاع، می‏توان مفاهیم موجودیت و وحدت را در دو نظرگاه فلاسفه اسلامی و جان لاک یکسان دانست، لیکن لاک اولا دیدگاهی ماهوی نسبت به این مفاهیم دارد و ثانیا کیفیت انتزاع آنها را توضیح نمی‏دهد و خیلی ساده با بیان کلمه«القا»موضوع را ختم می‏کند.
لاک فعالیت خاص ذهن را در مورد این مفاهیم بیان نمی‏کند.و اساسا قیاس کردن وجود و وحدت به امور نفسانی و وجدانی از قبیل لذت و الم و قدرت غلط است، زیرا چنین تصوراتی از این راه حاصل می‏شوند که انسان به حسب وجدان خود یک پدیده خاص نفسانی را در خود می‏یابد بعنوان لذت و یک پدیده دیگر می‏یابد، بعنوان اراده و یک پدیده دیگر بعنوان الم و...هر یک از این پدیده‏ها اولا نفسانی هستند و به امور غیر نفسانی صادق نیستند و ثانیا ذهن برای هر یک از آن پدیده‏ها یک مفهوم خاص درست کرده که هر یک از آن مفهومها فقط به یکی از امور نفسانی صادق است و به سایر امور نفسانی صادق نیست.یا در مورد اشیاء خارجی هم همینطور است.
پر واضح است که هیچ پدیده بالخصوصی نیست که چه در خارج و یا در درون انسان باشد که انسان آن را بعنوان وجود یا وحدت بیابد و هر کسی بالبداهه می‏داند که مفهوم وجود و وحدت بطوری هستند که شامل تمام آن پدیده‏های درونی و تمام پدیده‏های بیرونی هستند، علی هذا مفهوم وجود و عدم و وحدت و کثرت را که از مفاهیم عمومی و ثانی هستند نمی‏توان به مفهوم ادراک و اراده، لذت و الم و سایر امور خاص نفسانی قیاس کرد. (24)
یادداشتها
(1)-اصول فلسفه و روش رئالیم، علامه طباطبایی، ص 187 و 188.
(2)-همان مأخذ، ص 225 و 386.
(3)-همان مأخذ، ص 31.
(4)-شناخت، عطاء الله کریمی، ج 1، ص 135.
(5)-منطق صوری، دکتر خوانساری، ج 1، ص 143.
(6)-نهایة الحکمه، علامه طباطبائی، المرحلة السادسه، ص 110.
(7)-اصول فلسفه و روش رئالیسم، ص 200-215.
(8)-شناخت، ج 1، ص 86، پاورقی.
(9)-رهبر خرد، محمود شهابی، ص 63.
(10)-آموزش فلسفه، مصباح، ج 1، ص 275.
(11)-همان مأخذ، ص 328.
(12)-همان مأخذ، ص 320.
(13)-دروس فلسفه، مصباح، ص 115 و 116.
(14)-آموزش فلسفه، ج 1، ص 320 و 321.
(15)-دروس فلسفه، ص 228 و 229.
(16)-علم النفس یا روانشناسی از نظر تربیت، علی اکبر سیاسی، ص 244-247.
(17)-مجله جنگ ریاضی، مقاله«ریاضیات و ریاضی فکر کردن»، کارت رایت، ص 48.
(18)-روانشناسی پرورشی، دکتر سیف، ص 187 و 188.
(19)-ذهن کودک، مار گارت دونالدسون، ترجمه حسین نائلی، ص 181-184.
(20)-شرح مبسوط منظومه، شهید مطهری، ج 3، ص 357، پاورقی.
(21)-اصول فلسفه و روش رئالیم، پاورقی شهید مطهری، ص 188.
(22)-شرح مبسوط منظومه، ج 3، ص 292-294.
(23)-تحقیق در فهم بشر، جان لاک، دکتر رضا زاده شفق، ص 58 و 59.
(24)-اصول فلسفه و روش رئالیم، پاورقی شهید مطهری، ص 215 و 216.